Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ολοκλήρωμα»

αλλαγή του ορισμού σε γενικότερο, έπεται και δεύτερη επεξεργασία
(αλλαγή του ορισμού σε γενικότερο, έπεται και δεύτερη επεξεργασία)
[[Αρχείο:Integral example.png|thumb|right|Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ''f''(''x'') από το ''a'' στο ''b'' είναι η επιφάνεια πάνω από τον άξονα ''x'' και κάτω από την καμπύλη ''y'' = ''f''(''x''), μείον την επιφάνεια κάτω από τον άξονα ''x'' και πάνω από την καμπύλη, για ''x'' στο διάστημα [''a'',''b''].]]
Η '''ολοκλήρωση''' είναι στοιχειώδης έννοια των προχωρημένων [[μαθηματικά|μαθηματικών]], ειδικά στα πεδία του [[απειροστικός λογισμός|απειροστικού λογισμού]] και της [[μαθηματική ανάλυση|μαθηματικής ανάλυσης]]. ΔεδομένηςΈστω μιαςένα [[συνάρτηση|συνάρτησης]] ''f'' με ανεξάρτητη μεταβλητή την x. Έστω υποσύνολο D του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Έστω (μεταβλητή) ''x[[διαμέριση]]'') P, μιαςn [[πραγματικόςστοιχείων, αριθμός|πραγματικής]]του [[Μεταβλητήσυνόλου (Μαθηματικά)|μεταβλητής]]D, με ''xλεπτότητα'' και||P||. έναΜε απλά λόγια διαμέριση λέγεται οποιοσδήποτε τρόπος κομματιάζει το D σε n κομμάτια, ενώ η λεπτότητά δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι της διαμέρισης. Ένα κομμάτι της διαμέρισης συμβολίζεται με [[διάστημα (μαθηματικά)διαφορικό|διάστημαδx]]. Σε κάθε στοιχείο δx<nowikisub>[i</nowiki>''a'',''b''<nowiki>]</nowikisub> της [[Πραγματικόςδιαμέρισης αριθμός#η(δηλαδή ευθείασε τωνκάθε πραγματικώνκομμάτι) αριθμών|γραμμήςεπιλέγεται τωνένα πραγματικώνσημείο αριθμών]],x<sub>i</sub> τοκαι '''ορισμένουπολογίζεται ολοκλήρωμα'''η f(x<sub>i</sub>). Έστω το άθροισμα:
 
: <math>\int_asum_{i=1}^b{n} f(xx_i)\,dxdelta x_i</math>
 
Τότε ως '''ορισμένο ολοκλήρωμα''' της f στο D ορίζεται το [[όριο]] (αν υπάρχει):
αντιστοιχεί στο [[εμβαδό]] της περιοχής του επιπέδου ''xy'' που περικλείεται από το [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γράφημα]] της ''f'', τον άξονα ''x'' και τις κάθετες γραμμές ''x''=''a'' και ''x''=''b'', μείον την επιφάνεια που βρίσκεται κάτω από τον άξονα ''x''.
 
<math>\lim_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^{n} (f(x_i)\delta x_i)</math>
 
Ο ορισμένο ολοκλήρωμα συμβολίζεται με <math>\int_{P} f(x) dx</math>, δηλαδή ισχύει:
 
<math>\int_{P} f(x) dx\equiv\lim_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^{n} (f(x_i)\delta x_i)</math>
 
Σημειώνεται ότι ισχύει: <math>\lim_{||P||\to 0} n =0</math>
 
Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της [[αντιπαράγωγος συνάρτηση|αντιπαραγώγου]] ή [[παράγουσα συνάρτηση|παράγουσας]] συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση ''F'' της οποίας η [[παράγωγος]] είναι η αρχική ''f''. Σ' αυτή την περίπτωση λέγεται και '''αόριστο ολοκλήρωμα''', ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονται '''ορισμένα ολοκληρώματα'''.
4.329

επεξεργασίες