Ολοκλήρωμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
αλλαγή του ορισμού σε γενικότερο, έπεται και δεύτερη επεξεργασία |
ολοκλήρωση προηγούμενης επεξεργασίας |
||
Γραμμή 14:
Σημειώνεται ότι ισχύει: <math>\lim_{||P||\to 0} n =0</math>
Στην περίπτωση που το D είναι [[διάστημα (μαθηματικά)|διάστημα]] με άκρα τα a,b (a μεγαλύτερο ή ίσο του b) το ολοκλήρωμα συμβολίζεται με:
Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της [[αντιπαράγωγος συνάρτηση|αντιπαραγώγου]] ή [[παράγουσα συνάρτηση|παράγουσας]] συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση ''F'' της οποίας η [[παράγωγος]] είναι η αρχική ''f''. Σ' αυτή την περίπτωση λέγεται και '''αόριστο ολοκλήρωμα''', ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονται '''ορισμένα ολοκληρώματα'''. ▼
<math>\int_{b}^{a} f(x)\, dx</math>
▲Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της [[αντιπαράγωγος συνάρτηση|αντιπαραγώγου]] ή [[παράγουσα συνάρτηση|παράγουσας]] συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση ''F'' της οποίας η [[παράγωγος]] είναι η αρχική ''f''. Σ' αυτή την περίπτωση λέγεται και '''αόριστο ολοκλήρωμα''', ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονται '''ορισμένα ολοκληρώματα'''. Τα αόριστα ολοκληρώματα δεν αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο υποσύνολο του πεδίου ορισμού, άρα δεν προσδιορίζουμε ''που ολοκληρώνουμε'', ενώ κατά τα άλλα ο συμβολισμός παραμένει ο ίδιος. Ο λόγος για αυτό είναι οι σχέσεις:
*<math>\int_{b}^{x} f'(x)\, dx=f(x)+c<sub>1</sub></math>
*<math>(\int_{b}^{x} f(x)\, dx)'=f(x)+c<sub>2</sub></math>
όπου c<sub>i</sub> οποιαδήποτε [[πραγματικός αριθμός|πραγματική σταθερά]]
Με άλλα λόγια το ολοκλήρωμα της παραγώγου ισούται (με μία διαφορά) με την αρχική συνάρτηση. Άρα για να βρούμε την αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμά της.
Μερικοί συγγραφείς θεωρούν διαφορετική την έννοια της αντιπαραγώγου από το αόριστο ολοκλήρωμα. Η διαφορά είναι ότι αντιπαράγωγος είναι κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει την ''f'', ενώ το αόριστο ολοκλήρωμα της ''f'' είναι μια ''οικογένεια συναρτήσεων'' που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια σταθερά, κάθε μια από τις οποίες είναι αντιπαράγωγος της ''f''.<ref>{{cite web|url=http://www.math.upatras.gr/~grapsa/eap-pli12/eap_indefinite_integral.doc |title=Το Αόριστο Ολοκλήρωμα |accessdate=05-10-2008 |author=Θεοδούλα Ν. Γράψα |format=doc |work=Βοηθητικό υλικό Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου}}</ref>
| |||