Κινητική ενέργεια: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: Προσθήκη: wo:Kàttanug imbiku |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
{{Κλασική μηχανική}}
'''Κινητική ενέργεια''' (Ε<sub>K</sub>, ΚΕ, Κ, ή ακόμη και Τ), είναι η [[ενέργεια]] που έχει ένα σώμα όταν κινείται και αναφέρεται στην ικανότητά του να παράγει [[έργο]]. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος, ορίζεται-υπολογίζεται ως το ήμισυ του γινομένου της [[μάζα|μάζας]] του επί το τετράγωνο της [[ταχύτητα|ταχύτητάς]] του:
:<math>
Όπου m
Συνεπώς κινητική ένέργεια έχουν τα σώματα που εκτελούν [[κίνηση]] ή [[περιστροφή]] ή [[ταλάντωση]]. Για παράδειγμα το βλήμα ή ο πύραυλος που εκτοξεύεται έχει κινητική ενέργεια λόγω της ταχύτητάς του. Όταν ένα όχημα επιβραδύνεται χάνει σταδιακά την κινητική του ενέργεια.
== Κλασική Μηχανική ==
=== Δείτε επίσης ===▼
Η κινητική ενέργεια είναι μια ποσότητα που προκύπτει φυσιολογικά από την εξίσωση του Νεύτωνα
:<math>\bold{F}=m\frac{d\bold{v}}{dt}</math>
μέσω ενός μαθηματικού τεχνάσματος. Αν πολλαπλασιάσουμε εσωτερικά και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το διαφορικό d'''r''', βρίσκουμε ότι:
:<math> \bold{F}\cdot d\bold{r}=m\frac{d\bold{v}}{dt}\cdot d\bold{r}\Leftrightarrow \bold{F}\cdot d\bold{r}=m \left(d\bold{v}\cdot\frac{d\bold{r}}{dt}\right)</math>
όπου χειριστήκαμε την παράγωγο d'''v'''/dt της ταχύτητας ως κλάσμα. Η ποσότητα d'''r'''/dt όμως είναι (εξ ορισμού) η ταχύτητα του σώματος. Συνεπώς,
:<math> \bold{F}\cdot d\bold{r}=m(d\bold{v}\cdot \bold{v}) </math>
Τα διανύσματα '''v''' και d'''v''' είναι προφανώς παράλληλα μεταξύ τους (διότι το διαφορικό d'''v''' της ταχύτητας ισούται με τη διαφορά '''v'''(t+Δt)-'''v'''(t) της ταχύτητας κάποια χρονική στιγμή t στο όριο που Δt→0, συνεπώς η διεύθυνση του διανύσματος στο όριο μιας απειροστής χρονικής μετατόπισης δεν αλλάζει), συνεπώς η μεταξύ τους γωνία είναι 0° και άρα το διανυσματικό τους γινόμενο ταυτίζεται με το γινόμενο των μέτρων τους. Δηλαδή,
:<math> \bold{F}\cdot d\bold{r}=mvdv </math>
Αν ολοκληρώσουμε αυτή την εξίσωση διαφορικών από μια χρονική στιγμή t<sub>0</sub> (με αρχική θέση και ταχύτητα r<sub>0</sub> και v<sub>0</sub> αντίστοιχα) σε μια τυχαία χρονική στιγμή t>t<sub>0</sub>, τότε
:<math> \int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r}'=m\int_{v_0}^{v} v'dv' </math>
Εν γένει, το αριστερό ολοκλήρωμα εξαρτάται από τη μορφή της δύναμης και έτσι δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε στο επίπεδο μιας γενικότερης συζήτησης. Το δεξιό ολοκλήρωμα όμως υπολογίζεται, με αποτέλεσμα να έχουμε τελικά
:<math> \int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r}'=m\left[\frac{1}{2}v'^2\right]_{v_0}^{v}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2-\int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r}'=\frac{1}{2}mv_0^2 </math>
Αυτή ακριβώς όμως είναι η λεγόμενη ''εξίσωση ενέργειας'', όπου εμείς έχουμε ορίσει αυθαίρετα τις ποσότητες
:<math> \frac{1}{2}mv^2, \ \ \ -\int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r}' </math>
ως '''κινητική''' και '''δυναμική''' ενέργεια αντίστοιχα. Ο λόγος που ονομάζουμε τον πρώτο όρο κινητική ενέργεια έχει να κάνει προφανώς με το γεγονός ότι εκείνος σχετίζεται με την ''κίνηση'' ενός σώματος, δηλαδή με την ταχύτητά του. Όταν ένα σώμα δεν έχει ταχύτητα ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο εμείς εφαρμόζουμε την εξίσωση του Νεύτωνα, τότε η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το μηδέν.
== Σχετικότητα ==
Στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, η κινητική ενέργεια υπόκειται σε ορισμένες διορθώσεις στην περίπτωση που ένα σώμα (ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς) κινείται με ταχύτητα κοντά σε εκείνη του φωτός. Συγκεκριμένα, στη σχετικότητα η μάζα εξαρτάται από τη ταχύτητα βάσει της σχέσης m=γm<sub>0</sub> (όπου γ ο παράγοντας του Λόρεντς και m<sub>0</sub> η μάζα ηρεμίας του σώματος), συνεπώς από τον ορισμό της κινητικής ενέργειας -όπως και στη κλασική περίπτωση- ως έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα από μια κατάσταση ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα) σε ταχύτητα v, θα έχουμε ότι:
:<math> K=\int_{0}^{\bold{r}} \frac{d\bold{p}}{dt}\cdot d\bold{r}'=\int_{0}^{\bold{p}} d\bold{p}\cdot\bold{v}'=\int_{0}^{\gamma m_0\bold{v}} \bold{v}'\cdot d(\gamma m_0\bold{v}')=\left[\gamma m_0 v'^2\right]_{0}^{v}-m_0\int_{0}^{v}\gamma v'dv'=\gamma m_0 v^2-m_0\int_{0}^{v}\frac{v'dv'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}} </math>
Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται σχετικά εύκολα, με αποτέλεσμα να καταλήξουμε στο εξής αποτέλεσμα:
:<math> K=\frac{m_0 v^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}+m_0 c^2\sqrt{1-(v/c)^2}-m_0c^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}-m_0c^2=(m-m_0)c^2 </math>
Η κινητική ενέργεια ενός σώματος στη Σχετικότητα εξαρτάται λοιπόν από τη σχετική διαφορά μεταξύ (m-m<sub>0</sub>) μεταξύ της σχετικιστικής μάζας και της μάζας ηρεμίας του. Είναι προφανές από τη προηγούμενη σχέση ότι στο όριο v→c, Κ→∞. Η φυσική σημασία αυτής της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς είναι ότι το έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα από v=0 σε v=c είναι ''άπειρη''.
Αντίθετα, στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (v/c<<1), θα περίμενε κανείς να βρει την κλασική έκφραση της κινητικής ενέργειας σύμφωνα με τον Νεύτωνα. Πράγματι, αν αναλογισθούμε ότι για μικρές τιμές του x η συνάρτηση (1-x<sup>2</sup>)<sup>-1/2</sup> προσεγγίζεται πολύ καλά από την έκφραση 1+(1/2)x<sup>2</sup>, τότε για x=v/c η σχετικιστική έκφραση της κινητικής ενέργειας θα προσεγγίζεται πολύ καλά από τη σχέση
:<math> K\approx m_0c^2\left[1+\frac{1}{2}(v/c)^2\right]-m_0c^2=m_0c^2+\frac{1}{2}m_0v^2-m_0c^2\Leftrightarrow K\approx \frac{1}{2}m_0v^2 </math>
που ταυτίζεται απόλυτα με τον κλασικό τύπο της κινητικής ενέργειας κατά Νεύτωνα. Βλέπουμε λοιπόν ότι στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων, η χρήση του κλασικού τύπου προσεγγίζεται πολύ καλά από τον κλασικό τύπο.
== Κβαντομηχανική ==
Στη Κβαντομηχανική, η κινητική ενέργεια (όπως και όλες οι μετρούμενες φυσικές ποσότητες) περιγράφεται από έναν ερμιτιανό τελεστή. Στη μη-σχετικιστική κβαντομηχανική, ο τελεστής της κινητικής ενέργειας ισούται με
:<math> \hat{K}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m} </math>
Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι ο τελεστής της κινητικής ενέργειας με τον τελεστή της ορμής μετατίθενται ([K,p]=0), το οποίο σημαίνει πως οι δύο τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοσυναρτήσεις. Γνωρίζουμε πως, στον χώρο των θέσεων, οι ιδιοσυνάρτηση που περιγράφει ένα σωματίδιο απόλυτα εντοπισμένης ορμής p (για ευκολία θα θεωρήσουμε κίνηση σε μια διάσταση) είναι η
:<math> \psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar} </math>
Η μεταθετικότητα των τελεστών K και p σημαίνει ότι ένα σωματίδιο με απόλυτα καθορισμένη κινητική ενέργεια p<sup>2</sup>/2m θα περιγράφεται επίσης από την ίδια ιδιοσυνάρτηση:
:<math> \psi_K(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar} </math>
Μια τέτοια κυματοσυνάρτηση, αν και αποτελεί λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, περιγράφει μια εντελώς αφύσικη κατάσταση με απολύτως εντοπισμένη ορμή (Δp=0) και άπειρη αβεβαιότητα στη θέση του (Δx=∞).
Το ίδιο επιχείρημα μπορεί να γενικευθεί και στον τριδιάστατο χώρο, μόνο που οι τελεστές ορμής και κινητικής ενέργειας θα δίνονται πλέον από τους τύπους
:<math> \hat{\bold{p}}=-i\hbar\bold{\nabla}, \ \ \ \hat{K}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 </math>
== Βιβλιογραφία ==
* Beiser, A. (2002). ''Σύγχρονη Φυσική''. Ελληνική έκδοση. Εκδόσεις ''τυπωθήτω'', Αθήνα.
* Τραχανάς, Σ. (2009). ''Κβαντομηχανική Ι''. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
* [[Κινητική ενέργεια ανέμων]]
| |||