Ολοκλήρωμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

Ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός του ολοκληρώματος δόθηκε από τον [[Μπέρναρντ Ρίμαν]]. Βασίζεται σε ένα [[όριο (μαθηματικά)|όριο]] που προσεγγίζει την επιφάνεια μιας καμπυλόγραμμης περιοχής με το να σπάει την περιοχή σε κάθετες λωρίδες. Τον [[19ος αιώνας|19ο αιώνα]] άρχισαν να εμφανίζονται πιο εξελιγμένες έννοιες του ολοκληρώματος, όπου ο τύπος της συνάρτησης όπως και το πεδίο ορισμού της ολοκλήρωσης έχουν γενικευθεί. Το [[επικαμπύλιο ολοκλήρωμα]] ορίζεται για συναρτήσεις δύο ή τριών μεταβλητών, και το διάστημα της ολοκλήρωσης <nowiki>[</nowiki>''a'',''b''<nowiki>]</nowiki> αντικαθίστανται από μια [[καμπύλη]] μεταξύ δυο σημείων του επιπέδου ή του χώρου. Στο [[επιφανειακό ολοκλήρωμα]], η καμπύλη αυτή αντικαθίσταται από μια [[επιφάνεια]] στον τρισδιάστατο χώρο. Τα ολοκληρώματα [[διαφορική μορφή|διαφορικής μορφής]] παίζουν θεμελιώδη ρόλο στη σύγχρονη [[διαφορική γεωμετρία]]. Αυτές οι γενικεύσεις του ολοκληρώματος αρχικά εξελίχθηκαν από τις ανάγκες της [[φυσική|φυσικής]], και παίζουν σημαντικό ρόλο στη διατύπωση πολλών φυσικών νόμων, κυρίως αυτών της [[ηλεκτροδυναμική|ηλεκτροδυναμικής]]. Σύγχρονες έννοιες της ολοκλήρωσης βασίζονται στην αφηρημένη μαθηματική θεωρία γνωστή ως [[Ολοκλήρωμα Λεμπέγκ|ολοκλήρωση Λεμπέγκ]], που αναπτύχθηκε από τον [[Ανρί Λεμπέγκ]].

 

==Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού==