Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 5:
Στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου]] το '''Απολλώνιο πρόβλημα''' συνίσταται στην κατασκευή [[Κύκλος|κύκλων]] που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο [[Απολλώνιος ο Περγαίος]] (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}''. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον [[Πάππος|Πάππο]]. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει η όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
Το 16ο αιώνα, ο [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολές]] χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κατασκευές με κανόνα και διαβήτη]]. Ο [[Φρανσουά Βιέτ]] κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε [[σημείο]]) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε [[ευθεία]]). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον [[Ισαάκ Νιούτον]], ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].
Αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν [[άλγεβρα|αλγεβρικές μεθόδους]], οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε [[αλγεβρική εξίσωση|αλγεβρικές εξισώσεις]]. Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή [[συμμετρία]] του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους που ο άλλος αποκλείει (Σχήμα 2). Ο [[Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν]] (''Joseph Diaz Gergonne'') χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτές οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων.
| |||