Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Βαρυτικό πεδίο»

μ
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ
Τέλος, αν δράσουμε άλλη μια φορά με τον ίδιο τελεστή καταλήγουμε στο παρακάτω σημαντικό αποτέλεσμα:
 
:<math> \nabla^2\Phi=G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\cdot\left(\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})[4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r'})]d^3\bold{r'}\Leftrightarrow \nabla^2 \Phi=4\pi G \rho(\bold{r}) </math>
 
Η εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ είναι μία ''[[Εξίσωση Πουασόν|εξίσωση Πουασόν]]'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.
 
=== Χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού ===
Αυτό σημαίνει πως αν γνωρίζουμε ποιά είναι η μορφή του δυναμικού, τότε μπορούμε παίρνοντας το ανάδελτά του να βρούμε ποιά είναι η ακριβής διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου. Γνωρίζοντας όμως εκ των υστέρων ποια είναι η μορφή του δυναμικού για μία σημειακή πηγή, μπορούμε να πάρουμε το ανάδελτά της για να ελέγξουμε αν όντως το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα μας δώσει τη γνωστή διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου:
 
:<math> \bold{E}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r)=-\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(-\frac{GM}{r}\right)=\hat{r}GM\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)\Leftrightarrow \bold{E}(r)=-G\frac{MGM}{r^2}\hat{r} </math>
 
Που είναι βεβαίως η ακριβής έκφραση του βαρυτικού πεδίου σημειακής πηγής όπως είχε υπολογισθεί προηγουμένως.
386

επεξεργασίες