Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Βαρυτικό πεδίο»

Μικρές διορθώσεις, αλλαγή στο συμβολισμό και προσθήκη καινούριου θέματος.
μ
(Μικρές διορθώσεις, αλλαγή στο συμβολισμό και προσθήκη καινούριου θέματος.)
Το '''βαρυτικό πεδίο''' είναι ένα [[Επιστημονικό μοντέλο|μοντέλο]] που χρησιμοποιείται στη [[φυσική]] για να εξηγήσει πώς λειτουργεί η [[βαρύτητα]] στο σύμπαν. Στην αρχική της σύλληψη, η βαρύτητα ήταν μια [[δύναμη]] μεταξύ σημειακών [[Μάζα|μαζών]]. Μετά τον [[Ισαάκ Νεύτων|Νεύτωνα]], ο [[Πιέρ Σιμόν Λαπλάς|Λαπλάς]] προσπάθησε να μοντελοποιήσει την βαρύτητα ως ένα είδος δυναμικού [[Πεδίο (φυσική)|πεδίου]] ή [[Ρευστό|ρευστού]], και από τον 19ο αιώνα οι ερμηνείες για την βαρύτητα αντιλαμβάνονταν στο πλαίσιο πεδίων, παρά μιας σημειακής έλξης.
 
Στο μοντέλο πεδίου, σε αντίθεση με την αμοιβαία έλξη μεταξύ των σωματιδίων, τα σωματίδια παραμορφώνουν τον [[Χωροχρόνος|χωροχρόνο]] εξ αιτίας της [[Μάζα|μάζας]] τους, και αυτή η παραμόρφωση είναι αυτή που αντιλαμβανόμαστε εμείς σαν "«δύναμη"». Στην πραγματικότητα η δύναμη σε αυτό το μοντέλο δεν υφίσταται, απλώς η ύλη αντιδρά στην καμπύλωση του χωροχρόνου.
 
== Βαρυτικά πεδία στην Κλασική Μηχανική ==
[[Αρχείο:Gf1.png|300px|thumb|Το διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου στο χώρο σε απόσταση r από το σώμα μάζας Μ.|right]]
 
''Ένταση'', '''Εg''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα [[Μάζα|μάζας]] m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,
 
: <math> \bold{Eg}=-\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}}, </math>
 
όπου G=6.6742×10<sup>-11</sup> (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες [[Διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνούς συστήματος]]. Είναι επίσης φανερό ότι το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες [[Επιτάχυνση|επιτάχυνσης]] (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και θα εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, '''F''', που θα ασκηθεί στο σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την "«πηγή"» του βαρυτικού πεδίου, θα ισούται προφανώς με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,
 
: <math>\bold{F}=m\bold{Eg}=-G\frac{Mm}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} </math>
 
που ταυτίζεται με τη γνωστή δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα.
 
=== Βαρυτικό δυναμικό - σημειακή πηγή ===
Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως ''Νευτώνειο Δυναμικό'') είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως ''μείον'' το [[Έργο|έργο]] ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μια θέση αναφοράς r<sub>0</sub> σε μια απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:
 
: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{Eg}\cdot d\bold{r} </math>
 
Αν αντικαταστήσουμε την ακριβή μορφή του βαρυτικού πεδίου στο παραπάνω ολοκλήρωμα, εύκολα βρίσκουμε ότι:
 
: <math> \Phi(r)=GM\int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}'\cdot d\bold{r'}}{r'^2}=GM\int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{r'^2}=-GM \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) </math>
 
Στο προηγούμενο ολοκλήρωμα κάναμε χρήση του γεγονότος ότι, λόγω της σφαιρικής συμμετρίας του προβλήματος, μόνο η ακτινική συνιστώσα dr του διαφορικού της ακτίνας θέσης συνεισφέρει στο εσωτερικό γινόμενο <math>\boldsymbol{\hat{r}}\cdot d\bold{r}</math>. Όπως είναι φανερό, το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται με απροσδιοριστία μίας σταθεράς, που είναι φυσικά το αυθαίρετο σημείο r<sub>0</sub> το οποίο θεωρούμε ως θέση αναφοράς. Το πώς θα επιλέξουμε αυτό το σημείο δεν έχει καμία απολύτως σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η '''διαφορά''' βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο. Αυτό επαληθεύεται εύκολα αν θεωρήσουμε δύο σημεία σε απόσταση r<sub>a</sub> και r<sub>b</sub> από την πηγή του βαρυτικού πεδίου, οπότε η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ των δύο αυτών σημείων θα ισούται με
 
: <math> \Phi(r_b)-\Phi(r_a)=-GM \left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}\right)+GM \left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right) </math>
 
Για δική μας διευκόλυνση όμως, συνηθίζεται να παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το άπειρο, δηλαδή θεωρούμε ότι r<sub>0</sub>→∞. Ο λόγος που διαλέγουμε αυτό το σημείο ως σημείο αναφοράς είναι διότι Φ(∞)=0, δηλαδή το δυναμικό στο άπειρο ''μηδενίζεται''. Γενικά, στα διάφορα είδη δυναμικών επιλέγουμε τα σημεία αναφοράς με τέτοιο τρόπο ώστε η μορφή του δυναμικού να είναι όσο τον δυνατόν απλούστερη. Βάσει αυτών που είπαμε λοιπόν, μπορούμε να ορίσουμε τελικά το βαρυτικό δυναμικό (με την εκλογή του απείρου ως το σημείο αναφοράς) ως εξής:
 
: <math> \Phi(r)=-\frac{GM}{r} </math>
 
Όπως είναι φανερό, η εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς οδηγεί αμέσως στο αποτέλεσμα ότι το βαρυτικό δυναμικό θα είναι παντού ''αρνητικό''.
[[Αρχείο:Gf2.png|350px|thumb|Η περίπτωση της συνεχούς κατανομής μάζας - θέσεις ως προς τυχαία επιλεγμένο σύστημα αναφοράς.|right]]
 
Τα πράγματα αλλάζουν όταν δεν έχουμε μονάχαμία ένα σώμασημειακή μάζαςμάζα Μ που δημιουργεί ένα σφαιρικά συμμετρικό βαρυτικό πεδίο τριγύρω τουτης. Εν γένει, θα θέλαμε να βρούμε μιαμία σχέση που να μας δίνει το βαρυτικό δυναμικό μιας ''συνεχούς'' κατανομής μάζας. Για να το κάνουμε αυτό, θα θεωρήσουμε καταρχάς ότι η κατανομή αυτή χαρακτηρίζεται από μια χωρική πυκνότητα ρ('''r'''), η οποία εν γένει μπορεί να αλλάζει από θέση σε θέση στην κατανομή. Αν τώρα επιλέξουμε αυθαίρετα ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η απόσταση ενός τυχαίου σημείου της συνεχούς κατανομής συμβολίζεται με '''r'''', τότε είναι φανερό πως η συνολική μάζα, Μ, της κατανομής θα ισούται με το ολοκλήρωμα
 
: <math> M=\int \rho(\bold{r'})d^3 \bold{r'} </math>
 
Επίσης, μια στοιχειώδης μάζα, dM, της κατανομής σε απόσταση ''' r' ''' θα ισούται με το γινόμενο ρ('''r'''')d<sup>3</sup>'''r' ''' (ήτοι η πυκνότητα στο σημείο αυτό επί τον στοιχειώδη όγκο που καταλαμβάνει η στοιχειώδης μάζα αυτή). Το στοιχειώδες βαρυτικό δυναμικό, dΦ, που θα προκαλεί μια τέτοια στοιχειώδης μάζα σε μία απόσταση r από την αρχή των αξόνων, θα ισούται συνεπώς με
 
: <math> d\Phi(r)=-G\frac{dM}{|\bold{r}-\bold{r'}|}=-G\frac{\rho(\bold{r'})d^3\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|}, </math>
 
όπου |'''r'''-''' r''''| η ''σχετική'' απόσταση μεταξύ της στοιχειώδους μάζας και του σημείου στο οποίο θέλουμε να προσδιορίσουμε την απειροστή συνεισφορά του δυναμικού.
 
Βάσει της αρχής της επαλληλίας λοιπόν, δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε(=[[ολοκλήρωμα|ολοκληρώσουμε]]) τη συνεισφορά κάθε στοιχειώδους μάζας ολόκληρης της κατανομής. Το συνολικό βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων θα ισούται λοιπόν με:
 
: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>
 
Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί μόνο να υπολογισθεί εάν γνωρίζουμε τη γεωμετρία της κατανομής μάζας. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μιαμία ''σημειακή μάζα'' στη θέση r'=0 (πάνω στην αρχή των αξόνων μας δηλαδή). Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε μιαμία ασυνεχή κατανομή μαθηματικά, γίνεται συνήθως με τη λεγόμενη ''[[Δέλτα του Ντιράκ|συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ]]''. Μπορούμε λοιπόν να περιγράψουμε το σημειακό σωματίδιο από την εξής κατανομή μάζας:
 
: <math> \rho(\bold{r'})=M\ \delta(\bold{r'}) </math>
 
Αυτό μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν ολοκληρώσουμε τις δύο σχέσεις της παραπάνω εξίσωσης πάνω σε όλο το χώρο. Αντικαθιστώντας τώρα αυτή τη κατανομή μάζας στο ολοκλήρωμα που μας δίνει το δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων, βρίσκουμε ότι
 
: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}\ \xrightarrow{\rho(\bold{r'})=M\delta(\bold{r'})}\ \Phi(r)=-GM\int \frac{\delta(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}=-\frac{GM}{r}, </math>
 
που συμφωνεί με το αποτέλεσμα που είχαμε βρει για το δυναμικό σημειακής μάζας. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο τύπος που μας δίνει τητο δυναμικό μιαςμίας συνεχούς κατανομής μάζας είναι εντελώς γενικός.
 
ΑςΕπιστρέφοντας επιστρέψουμεστον όμως στην έκφρασητύπο του δυναμικού που βρήκαμεστη γιαπερίπτωση μιατης συνεχήσυνεχούς κατανομήκατανομής μάζας:,
 
: <math> \Phi=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>
 
Παίρνονταςκαι παίρνοντας το ανάδελτα και των δυοδύο μελών, βρίσκουμε: ότι
 
: <math> \bold{\nabla}\Phi=-G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\left(\frac{1}{|\bold{r}-\bold{r'}|}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}d^3\bold{r'} </math>
 
Τέλος, αν δράσουμε άλλη μια φορά με τον ίδιο τελεστή καταλήγουμε στο παρακάτω σημαντικό αποτέλεσμα:
 
: <math> \nabla^2\Phi=G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\cdot\left(\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})[4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r'})]d^3\bold{r'}=4\pi G \rho(\bold{r}) </math>
 
Η εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ είναι μία ''[[Εξίσωση Πουασόν|εξίσωση Πουασόν]]'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.
 
=== Χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού ===
 
Ποια είναι όμως η φυσική σημασία του βαρυτικού δυναμικού και για ποιο λόγο να ορίσει κάποιος μία τέτοια περίπλοκη ποσότητα; Αρχικά, επενθυμίζεται ότι το βαρυτικό δυναμικό ορίστηκε μαθηματικά ως
 
: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{Eg}\cdot d\bold{r} </math>
 
Η παραπάνω σχέση είναι απολύτως ταυτόσημη με την
 
: <math> \bold{Eg}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r), </math>
 
και ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι η διανυσματική συνάρτηση '''Εg''' περιγράφει ένα ''συντηρητικό πεδίο'' (ή ''αστρόβιλο''), και τα συντηρητικά πεδία ικανοποιούν τη σχέση
 
: <math> \bold{\nabla}\times\bold{Eg}=0 </math>
 
Η αντικατάσταση της μορφής που δόθηκε προηγουμένως για το βαρυτικό πεδίο συναρτήσει του δυναμικού μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη αστροβιλότητας.
 
Αυτό σημαίνει πως αν γνωρίζουμε ποιάποια είναι η μορφή του δυναμικού, τότε μπορούμε παίρνοντας το ανάδελτά του να βρούμε ποιάποια είναι η ακριβής διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου. Γνωρίζοντας όμως εκ των υστέρων ποια είναι η μορφή του δυναμικού γιαστη περίπτωση μίατης σημειακήσημειακής πηγήπηγής, μπορούμε να πάρουμε το ανάδελτά της για να ελέγξουμε αν όντως το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα μας δώσει τη γνωστή διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου:
 
: <math> \bold{Eg}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r)=-\left(\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\boldsymbol{\hat{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(-\frac{GM}{r}\right)=\boldsymbol{\hat{r}}GM\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{GM}{r^2}\boldsymbol{\hat{r}} </math>
 
Που είναι βεβαίως η ακριβής έκφραση του βαρυτικού πεδίου σημειακής πηγής όπως είχε υπολογισθεί προηγουμένως.
 
Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σχέση '''Εg'''=-'''∇'''Φ μας δίνει τη διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου μιας κατανομής μάζας αν γνωρίζουμε το αντίστοιχο δυναμικό που προκαλεί αυτή. Πολλές φορές ο προσδιορισμός κάθε συνιστώσας του βαρυτικού πεδίου βάσει των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα είναι μια αρκετά πολύπλοκη (αν όχι αδύνατη) διαδικασία, ειδικά για κατανομές μάζας που δεν έχουν κάποια συμμετρία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδέχεται η επίλυση της εξίσωσης ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ που θα υπακούει το δυναμικό να είναι πολύ ευκολότερη (ή τουλάχιστον δυνατόν να επιλυθεί αριθμητικά). Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση Πουασόν, βρίσκουμε το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου που μας ενδιαφέρει και, τέλος, παίρνουμε το ανάδελτα του δυναμικού για να βρούμε τις αντίστοιχες συνιστώσες του βαρυτικού πεδίου.
 
=== Σχέση με τη δυναμική ενέργεια ===
 
Το βαρυτικό δυναμικό '''''δεν''''' ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, '''V''', ορίζεται ως
 
: <math> V(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r} </math>
 
Επειδή όμως ισχύει ότι '''F'''=m'''Eg''', αποδεικνύεται εύκολα ότι η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι η εξής:
 
: <math> V(r)=m\Phi(r) \ \ \ </math>
 
Αν λοιπόν γνωρίζουμε ποιο είναι το βαρυτικό δυναμικό που δημιουργεί μια συγκεκριμένη κατανομή μάζας στο χώρο, τότε σε κάθε θέση μπορούμε να υπολογίσουμε ποια θα είναι η δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που τοποθετείται στο σημείο αυτό μέσω της προηγούμενης σχέσης.
 
=== Η Κλασική εικόνα πεδίων ===
 
Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των ''πεδίων'' - όπως ακριβώς και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Εν γένει, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις:
 
* ''Μια οποιαδήποτε κατανομή μάζας παράγει βαρυτικό δυναμικό σύμφωνα με την εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ''
* ''Το βαρυτικό πεδίο προκαλεί επιτάχυνση '''ga'''=-'''∇'''Φ βάσει του 2ου νόμου του Νεύτωνα''
 
==== Βαρύτητα και νόμος του Γκάους ====
 
Όπως και στον Ηλεκτρομαγνητισμό, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον [[Νόμος του Γκάους|νόμο του Γκάους]] για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μία δεδομένη κατανομή μάζας. Σύμφωνα με τον νόμο αυτόν,
 
: <math> \oint_{S} \bold{g}\cdot d\bold{S}=\int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\bold{g}\ dV </math>
 
όπου S και V η επιφάνεια και όγκος αντίστοιχα που ορίζει η επιφάνεια Γκάους που επιλέξαμε. Όμως,
 
: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\bold{g}=-4\pi G\rho </math>
 
Συνεπώς, αν αντικαταστήσουμε στο νόμο του Γκάους καταλήγουμε στην παρακάτω εξίσωση για το βαρυτικό πεδίο:
 
: <math> \oint_{S} \bold{g}\cdot d\bold{S}=-4\pi G M_{\textrm{enc}} </math>
 
Το σύμβολο M<sub>enc</sub> αναπαριστά τη συνολική μάζα που περικλύει η επιφάνεια Γκάους που επιλέξαμε. Η χρήση της παραπάνω εξίσωσης για τον υπολογισμό της έντασης του βαρυτικού πεδίου ενδείκνυται μόνο όταν ένα πρόβλημα έχει επαρκή συμμετρία. Ειδάλλως, είναι πολλές φορές προτιμότερο να καταφύγουμε είτε σε χρήση ειδικών τεχνασμάτων (όποτε εκείνα είναι εφαρμόσιμα), είτε στην επίλυση της εξίσωσης Πουασόν που ικανοποιεί το βαρυτικό δυναμικό.
 
== Βιβλιογραφία ==
386

επεξεργασίες