Βαρυτικό πεδίο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στο μοντέλο πεδίου, σε αντίθεση με την αμοιβαία έλξη μεταξύ των σωματιδίων, τα σωματίδια παραμορφώνουν τον [[Χωροχρόνος|χωροχρόνο]] εξ αιτίας της [[Μάζα|μάζας]] τους, και αυτή η παραμόρφωση είναι αυτή που αντιλαμβανόμαστε εμείς σαν "«δύναμη"». Στην πραγματικότητα η δύναμη σε αυτό το μοντέλο δεν υφίσταται, απλώς η ύλη αντιδρά στην καμπύλωση του χωροχρόνου.

''Ένταση'', '''Εg''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα [[Μάζα|μάζας]] m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,

: <math> \bold{Eg}=-\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}}, </math>

όπου G=6.6742×10^-11 (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες [[Διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνούς συστήματος]]. Είναι επίσης φανερό ότι το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες [[Επιτάχυνση|επιτάχυνσης]] (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και θα εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, '''F''', που θα ασκηθεί στο σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την "«πηγή"» του βαρυτικού πεδίου, θα ισούται προφανώς με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,

: <math>\bold{F}=m\bold{Eg}=-G\frac{Mm}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} </math>

Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως ''Νευτώνειο Δυναμικό'') είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως ''μείον'' το [[Έργο|έργο]] ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μια θέση αναφοράς r₀ σε μια απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:

: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{Eg}\cdot d\bold{r} </math>

: <math> \Phi(r)=GM\int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}'\cdot d\bold{r'}}{r'^2}=GM\int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{r'^2}=-GM \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) </math>

Στο προηγούμενο ολοκλήρωμα κάναμε χρήση του γεγονότος ότι, λόγω της σφαιρικής συμμετρίας του προβλήματος, μόνο η ακτινική συνιστώσα dr του διαφορικού της ακτίνας θέσης συνεισφέρει στο εσωτερικό γινόμενο <math>\boldsymbol{\hat{r}}\cdot d\bold{r}</math>. Όπως είναι φανερό, το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται με απροσδιοριστία μίας σταθεράς, που είναι φυσικά το αυθαίρετο σημείο r₀ το οποίο θεωρούμε ως θέση αναφοράς. Το πώς θα επιλέξουμε αυτό το σημείο δεν έχει καμία απολύτως σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η '''διαφορά''' βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο. Αυτό επαληθεύεται εύκολα αν θεωρήσουμε δύο σημεία σε απόσταση r_a και r_b από την πηγή του βαρυτικού πεδίου, οπότε η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ των δύο αυτών σημείων θα ισούται με

: <math> \Phi(r_b)-\Phi(r_a)=-GM \left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}\right)+GM \left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right) </math>

: <math> \Phi(r)=-\frac{GM}{r} </math>

Τα πράγματα αλλάζουν όταν δεν έχουμε μονάχαμία ένα σώμασημειακή μάζαςμάζα Μ που δημιουργεί ένα σφαιρικά συμμετρικό βαρυτικό πεδίο τριγύρω τουτης. Εν γένει, θα θέλαμε να βρούμε μιαμία σχέση που να μας δίνει το βαρυτικό δυναμικό μιας ''συνεχούς'' κατανομής μάζας. Για να το κάνουμε αυτό, θα θεωρήσουμε καταρχάς ότι η κατανομή αυτή χαρακτηρίζεται από μια χωρική πυκνότητα ρ('''r'''), η οποία εν γένει μπορεί να αλλάζει από θέση σε θέση στην κατανομή. Αν τώρα επιλέξουμε αυθαίρετα ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η απόσταση ενός τυχαίου σημείου της συνεχούς κατανομής συμβολίζεται με '''r'''', τότε είναι φανερό πως η συνολική μάζα, Μ, της κατανομής θα ισούται με το ολοκλήρωμα

: <math> M=\int \rho(\bold{r'})d^3 \bold{r'} </math>

Επίσης, μια στοιχειώδης μάζα, dM, της κατανομής σε απόσταση ''' r' ''' θα ισούται με το γινόμενο ρ('''r'''')d³'''r' ''' (ήτοι η πυκνότητα στο σημείο αυτό επί τον στοιχειώδη όγκο που καταλαμβάνει η στοιχειώδης μάζα αυτή). Το στοιχειώδες βαρυτικό δυναμικό, dΦ, που θα προκαλεί μια τέτοια στοιχειώδης μάζα σε μία απόσταση r από την αρχή των αξόνων, θα ισούται συνεπώς με

: <math> d\Phi(r)=-G\frac{dM}{|\bold{r}-\bold{r'}|}=-G\frac{\rho(\bold{r'})d^3\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|}, </math>

Βάσει της αρχής της επαλληλίας λοιπόν, δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε(=[[ολοκλήρωμα|ολοκληρώσουμε]]) τη συνεισφορά κάθε στοιχειώδους μάζας ολόκληρης της κατανομής. Το συνολικό βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων θα ισούται λοιπόν με:

: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>

Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί μόνο να υπολογισθεί εάν γνωρίζουμε τη γεωμετρία της κατανομής μάζας. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μιαμία ''σημειακή μάζα'' στη θέση r'=0 (πάνω στην αρχή των αξόνων μας δηλαδή). Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε μιαμία ασυνεχή κατανομή μαθηματικά, γίνεται συνήθως με τη λεγόμενη ''[[Δέλτα του Ντιράκ|συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ]]''. Μπορούμε λοιπόν να περιγράψουμε το σημειακό σωματίδιο από την εξής κατανομή μάζας:

: <math> \rho(\bold{r'})=M\ \delta(\bold{r'}) </math>

: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}\ \xrightarrow{\rho(\bold{r'})=M\delta(\bold{r'})}\ \Phi(r)=-GM\int \frac{\delta(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}=-\frac{GM}{r}, </math>

που συμφωνεί με το αποτέλεσμα που είχαμε βρει για το δυναμικό σημειακής μάζας. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο τύπος που μας δίνει τητο δυναμικό μιαςμίας συνεχούς κατανομής μάζας είναι εντελώς γενικός.

ΑςΕπιστρέφοντας επιστρέψουμεστον όμως στην έκφρασητύπο του δυναμικού που βρήκαμεστη γιαπερίπτωση μιατης συνεχήσυνεχούς κατανομήκατανομής μάζας:,

: <math> \Phi=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>

Παίρνονταςκαι παίρνοντας το ανάδελτα και των δυοδύο μελών, βρίσκουμε: ότι

: <math> \bold{\nabla}\Phi=-G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\left(\frac{1}{|\bold{r}-\bold{r'}|}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}d^3\bold{r'} </math>

: <math> \nabla^2\Phi=G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\cdot\left(\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})[4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r'})]d^3\bold{r'}=4\pi G \rho(\bold{r}) </math>

: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{Eg}\cdot d\bold{r} </math>

: <math> \bold{Eg}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r), </math>

και ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι η διανυσματική συνάρτηση '''Εg''' περιγράφει ένα ''συντηρητικό πεδίο'' (ή ''αστρόβιλο''), και τα συντηρητικά πεδία ικανοποιούν τη σχέση

: <math> \bold{\nabla}\times\bold{Eg}=0 </math>

Αυτό σημαίνει πως αν γνωρίζουμε ποιάποια είναι η μορφή του δυναμικού, τότε μπορούμε παίρνοντας το ανάδελτά του να βρούμε ποιάποια είναι η ακριβής διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου. Γνωρίζοντας όμως εκ των υστέρων ποια είναι η μορφή του δυναμικού γιαστη περίπτωση μίατης σημειακήσημειακής πηγήπηγής, μπορούμε να πάρουμε το ανάδελτά της για να ελέγξουμε αν όντως το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα μας δώσει τη γνωστή διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου:

: <math> \bold{Eg}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r)=-\left(\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\boldsymbol{\hat{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(-\frac{GM}{r}\right)=\boldsymbol{\hat{r}}GM\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{GM}{r^2}\boldsymbol{\hat{r}} </math>

Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σχέση '''Εg'''=-'''∇'''Φ μας δίνει τη διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου μιας κατανομής μάζας αν γνωρίζουμε το αντίστοιχο δυναμικό που προκαλεί αυτή. Πολλές φορές ο προσδιορισμός κάθε συνιστώσας του βαρυτικού πεδίου βάσει των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα είναι μια αρκετά πολύπλοκη (αν όχι αδύνατη) διαδικασία, ειδικά για κατανομές μάζας που δεν έχουν κάποια συμμετρία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδέχεται η επίλυση της εξίσωσης ∇²Φ=4πGρ που θα υπακούει το δυναμικό να είναι πολύ ευκολότερη (ή τουλάχιστον δυνατόν να επιλυθεί αριθμητικά). Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση Πουασόν, βρίσκουμε το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου που μας ενδιαφέρει και, τέλος, παίρνουμε το ανάδελτα του δυναμικού για να βρούμε τις αντίστοιχες συνιστώσες του βαρυτικού πεδίου.

: <math> V(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r} </math>

Επειδή όμως ισχύει ότι '''F'''=m'''Eg''', αποδεικνύεται εύκολα ότι η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι η εξής:

: <math> V(r)=m\Phi(r) \ \ \ </math>

* ''Το βαρυτικό πεδίο προκαλεί επιτάχυνση '''ga'''=-'''∇'''Φ βάσει του 2ου νόμου του Νεύτωνα''