Κινητική ενέργεια: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ r2.7.1) (Ρομπότ: Προσθήκη: si:චාලක ශක්තිය |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 11:
=== Μεταφορική Κινητική Ενέργεια ===
Για να αποκτήσει ένα σώμα ταχύτητα από την ηρεμία πρέπει να του ασκηθεί κάποια [[δύναμη]], έστω F, γιατί μεταβάλλεται η [[ορμή]] του. Για σχετικά μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός ισχύει με πολύ καλή προσέγγιση:
:<math>\bold{F}=m\frac{d\bold{v}}{dt}</math>
Γραμμή 19:
:<math> \bold{F}\cdot d\bold{r}=m\frac{d\bold{v}}{dt}\cdot d\bold{r}\Leftrightarrow \bold{F}\cdot d\bold{r}=m \left(d\bold{v}\cdot\frac{d\bold{r}}{dt}\right)</math>
όπου χειριστήκαμε την [[Παράγωγος|παράγωγο]] d'''v'''/dt της ταχύτητας ως [[κλάσμα]]. Η ποσότητα d'''r'''/dt όμως είναι (εξ ορισμού) η ταχύτητα του σώματος. Συνεπώς,
:<math> \bold{F}\cdot d\bold{r}=m\bold{v}\cdot d\bold{v} </math>
Γραμμή 27:
:<math> K_{\mu}= \int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r}'=m\int_{0}^{\bold{v}} \bold{v}'\cdot d\bold{v}'=m\left[\frac{1}{2}v'^2\right]_{0}^{v}=\frac{1}{2}mv^2 </math>
Αυτή η εξίσωση σημαίνει ότι για το έργο που απαιτείται για να αποκτήσει ένα σώμα μάζας m ταχύτητα v ξεκινώντας από την ηρεμία ισούται με (1/2)mv<sup>2</sup>. Άρα εξ' ορισμού η μεταφορική κινητική ενέργεια ενός σώματος στη [[Κλασική Μηχανική]] ισούται με:
:<math> K_\mu=\frac{1}{2}mv^2 </math>
Η κινητική ενέργεια, όπως υπολογίζεται, έχει σχέση με το [[σύστημα αναφοράς]] που χρησιμοποιούμε, γιατί από αυτό εξαρτάται η ταχύτητα.
== Σχετικότητα ==
Στην [[Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας]], η κινητική ενέργεια υπόκειται σε ορισμένες διορθώσεις στην περίπτωση που ένα σώμα (ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς) κινείται με ταχύτητα κοντά σε εκείνη του φωτός. Συγκεκριμένα, στη σχετικότητα η μάζα εξαρτάται από τη ταχύτητα βάσει της σχέσης m=γm<sub>0</sub> (όπου γ ο παράγοντας του Λόρεντς και m<sub>0</sub> η μάζα ηρεμίας του σώματος), συνεπώς από τον ορισμό της κινητικής ενέργειας -όπως και στη κλασική περίπτωση- ως έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα από μια κατάσταση ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα) σε ταχύτητα v, θα έχουμε ότι:
:<math> K=\int_{0}^{\bold{r}} \frac{d\bold{p}}{dt}\cdot d\bold{r}'=\int_{0}^{\bold{p}} d\bold{p}\cdot\bold{v}'=\int_{0}^{\gamma m_0\bold{v}} \bold{v}'\cdot d(\gamma m_0\bold{v}')=\left[\gamma m_0 v'^2\right]_{0}^{v}-m_0\int_{0}^{v}\gamma v'dv'=\gamma m_0 v^2-m_0\int_{0}^{v}\frac{v'dv'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}} </math>
Γραμμή 43:
:<math> K=\frac{m_0 v^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}+m_0 c^2\sqrt{1-(v/c)^2}-m_0c^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}-m_0c^2=(m-m_0)c^2 </math>
Η κινητική ενέργεια ενός σώματος στη Σχετικότητα εξαρτάται λοιπόν από τη σχετική διαφορά μεταξύ (m-m<sub>0</sub>) μεταξύ της σχετικιστικής μάζας και της μάζας ηρεμίας του. Είναι προφανές από τη προηγούμενη σχέση ότι στο [[όριο]] v→c, Κ→∞. Η φυσική σημασία αυτής της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς είναι ότι το έργο που απαιτείται για να φέρουμε ένα σώμα από v=0 σε v=c είναι ''[[άπειρο]]''.
Αντίθετα, στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (v/c<<1), θα περίμενε κανείς να βρει την κλασική έκφραση της κινητικής ενέργειας σύμφωνα με τον [[Νεύτωνα]]. Πράγματι, αν αναλογισθούμε ότι για μικρές τιμές του x η συνάρτηση (1-x<sup>2</sup>)<sup>-1/2</sup> προσεγγίζεται πολύ καλά από την έκφραση 1+(1/2)x<sup>2</sup>, τότε για x=v/c η σχετικιστική έκφραση της κινητικής ενέργειας θα προσεγγίζεται πολύ καλά από τη σχέση
:<math> K\approx m_0c^2\left[1+\frac{1}{2}(v/c)^2\right]-m_0c^2=m_0c^2+\frac{1}{2}m_0v^2-m_0c^2\Leftrightarrow K\approx \frac{1}{2}m_0v^2 </math>
Γραμμή 53:
== Κβαντομηχανική ==
Στη [[Κβαντομηχανική]], η κινητική ενέργεια (όπως και όλες οι μετρούμενες φυσικές ποσότητες) περιγράφεται από έναν [[Ερμιτιανός τελεστής|ερμιτιανό τελεστή]]. Στη μη-σχετικιστική κβαντομηχανική, ο [[τελεστής]] της κινητικής ενέργειας ισούται με
:<math> \hat{K}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m} </math>
Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι ο τελεστής της κινητικής ενέργειας με τον τελεστή της ορμής μετατίθενται ([K,p]=0), το οποίο σημαίνει πως οι δύο τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοσυναρτήσεις. Γνωρίζουμε πως, στον χώρο των θέσεων, η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει ένα σωματίδιο απόλυτα εντοπισμένης ορμής p (για ευκολία θα θεωρήσουμε κίνηση σε
:<math> \psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\ e^{ipx/\hbar} </math>
Η μεταθετικότητα των τελεστών K και p σημαίνει ότι ένα σωματίδιο με απόλυτα καθορισμένη κινητική ενέργεια p<sup>2</sup>/2m θα περιγράφεται επίσης από την ίδια ιδιοσυνάρτηση:
: <math> \psi_K(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\ e^{ipx/\hbar} </math>
Μια τέτοια κυματοσυνάρτηση, αν και αποτελεί λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, περιγράφει μια εντελώς αφύσικη κατάσταση με απολύτως εντοπισμένη ορμή (Δp=0) και άπειρη αβεβαιότητα στη θέση του (Δx=∞).
Το ίδιο επιχείρημα μπορεί να γενικευθεί και στον τρισδιάστατο [[Χώρος|χώρο]], μόνο που οι τελεστές ορμής και κινητικής ενέργειας θα δίνονται πλέον από τους τύπους
: <math> \hat{\bold{p}}=-i\hbar\
== Βιβλιογραφία ==
| |||