Βικιπαίδεια

Εξίσωση Σρέντινγκερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
μ Το Εξίσωση Σρέντιγκερ μετακινήθηκε στο Εξίσωση Σρέντινγκερ πάνω από την ανακατεύθυνση: Ορθή απόδοση ονόματος στα ελληνικά
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 1:
{{Κβαντική μηχανική}}
H '''εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ''' είναι μία [[διαφορική εξίσωση]] η οποία προτάθηκε από τον [[Αυστρία|Αυστριακό]] φυσικό [[Έρβιν ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ]] το 1925, για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση [[κβαντομηχανικό σύστημα|κβαντομηχανικών συστημάτων]]. Παίζει κεντρικό ρόλο στην [[κβαντομηχανική]] θεωρία, με σημασία ανάλογη του [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|δεύτερου νόμου του Νεύτωνα]] στην [[κλασσική μηχανική]].
== Η εξίσωση ==
=== Αξιωματική Προσέγγιση ===
Η [[εξίσωση]] που επινόησε ο ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ είναι η εξής:
 
:<math>\hat{H}\Psi(\bold{r},t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t), </math>
Γραμμή 25:
:<math>\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})</math>
 
Έχοντας την ακριβή μορφή μορφή της Χαμιλτονιανής στην αναπαράσταση θέσεων, μπορούμε να γράψουμε τη πλήρη μορφή της εξίσωσης ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ:
 
:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})\right)\Psi(\bold{r},t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t)</math>
Γραμμή 31:
Για δεδομένη μορφή δυναμικού, η εξίσωση αυτή μπορεί πάντοτε (τουλάχιστον θεωρητικά) να λυθεί είτε αναλυτικά (για ακριβώς επιλύσιμα δυναμικά, όπως ο αρμονικός ταλαντωτής), είτε αριθμητικά με τη βοήθεια υπολογιστή.
 
=== Πώς σκέφτηκε ο ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ ===
Παραπάνω είδαμε μία [[Αξίωμα|αξιωματική]] προσέγγιση προς την εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ, το πώς όμως εκείνος κατέληξε στην εξίσωσή του δεν το γνωρίζουμε ακριβώς. Παρ' όλα αυτά, πιστεύεται ότι θα πρέπει να σκέφθηκε κάπως έτσι: Στον ηλεκτρομαγνητισμό, στα [[Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία|ηλεκτρομαγνητικά κύματα]], η ηλεκτρική συνιστώσα (Ε) όταν είναι [[Μονοχρωματική ακτινοβολία|μονοχρωματική]] περιγράφεται από την εξής μορφή:
 
:<math>\bold{E}=\bold{E}_0e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}+\bold{E}_0e^{-i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}\ ,</math>
Γραμμή 44:
:<math>E=h\nu=\hbar \omega</math>
 
όπου '''λ''' το [[μήκος κύματος]] ή από τον [[Λουί ντε Μπρολί|De Broglie]] (ντεDe ΜπρέιγBroglie) το [[Μήκος κύματος De Broglie|μήκος υλικού κύματος ή μήκος κύματος De Broglie]].
 
Σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξίσωση που περιγράφει την ηλεκτρική συνιστώσα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παίρνει τη μορφή:
Γραμμή 60:
όπου '''p''' θα είναι η [[ορμή]] του σωματιδίου, '''Ε''' η [[Ενέργεια|ενέργειά]] του και '''a''', '''b''' τα πλάτη που εν γένει θα είναι [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικοί αριθμοί]], αφού δεν γνωρίζουμε αν η Ψ είναι μετρήσιμο μέγεθος ή όχι. Επίσης τώρα η Ψ έχει [[Μονόμετρο μέγεθος|βαθμωτό]] και όχι [[Διάνυσμα|διανυσματικό]] χαρακτήρα όπως το ηλεκτρικό πεδίο (αυτή είναι η απλούστερη δυνατή μορφή).
 
Λόγω της κυματικής εξίσωσης, σκεφτόμαστε να [[Παράγωγος|παραγωγίσουμε]] αυτή τη σχέση μία και δύο φορές ως προς τον χρόνο και ως προς την θέση (παραγώγιση ως προς τη θέση σε περίπτωση περισσότερων των μία διαστάσεων σημαίνει να πάρουμε το [[ανάδελτα]] της). Γνωρίζοντας εμείς την εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ, καταλαβαίνουμε ότι η δεύτερη παραγώγιση ως προς τον χρόνο και η πρώτη παραγώγιση ως προς τη θέση δε μας χρειάζονται, οπότε υπολογίζουμε τις άλλες δύο και έχουμε:
 
:<math>\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t)=\frac{E}{i\hbar}\left(ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}\right)\Leftrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t)=E\Psi(\bold{r},t)</math>
Γραμμή 66:
:<math>\nabla^2\Psi(\bold{r},t)=-\frac{p^2}{\hbar^2}\left(ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}\right)=-\frac{2mE}{\hbar^2}\Psi(\bold{r},t)\Leftrightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\bold{r},t)=E\Psi(\bold{r},t)</math>
 
Παραπάνω υποθέσαμε ότι το δυναμικό ισούται με 0, δηλαδή ότι έχουμε ένα ελέυθεροελεύθερο σωμάτιο, οπότε και η ενέργεια του σωματιδίου θα ισούται με την κινητική του ενέργεια, δηλαδή Ε=p<sup>2</sup>/2m. Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις είναι αμέσως φανερό ότι
 
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bold{r},t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\bold{r},t)\ ,</math>
Γραμμή 74:
:<math>\Psi(\bold{r},t)=ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}</math>
 
== Αναλυτική Επίλυση της εξίσωσης ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ ==
Η μόνη ουσιαστική μέθοδος για να λύσουμε αναλυτικά μία μερική διαφορική εξίσωση (διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων) όπως είναι η εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ, είναι η μέθοδος του χωρισμού μεταβλητών. Βάσει της μεθόδου αυτής, αν έχουμε μια συνάρτηση π.χ. δύο μεταβλητών u(x,y) η οποία ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση της μορφής Lu(x,y)=0 με L ένα γραμμικό διαφορικό τελεστή που γράφεται ως άθροισμα επιμέρους τελεστών, καθένας εκ των οποίων είναι ένας τελεστής ''μιας'' μόνο από τις τρεις μεταβλητές που υποθέσαμε, τότε μπορούμε να γράψουμε τη ζητούμενη συνάρτηση στη μορφή u(x,y)=X(x)Y(y), όπου Χ και Y δυο συναρτήσεις μιας μόνο μεταβλητής.
 
Το ίδιο μπορούμε να εφαρμόσουμε όσον αφορά την κυματοσυνάρτηση που προκύπτει ως λύση της εξίσωσης ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ, αν και μόνο αν ο τελεστής
 
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math>
Γραμμή 89:
Η συνάρτηση ψ('''r''') είθισται να ονομάζεται ''χωρική'' κυματοσυνάρτηση, μιας και εμπεριέχει χωρική πληροφορία (είναι συνάρτηση της μεταβλητής '''r'''). Αντίθετα, η συνάρτηση Τ θα είναι μια συνάρτηση που θα περιγράφει πως εξελίσσεται η ''ολική'' κυματοσυνάρτηση Ψ στο χρόνο.
 
Αν αντικαταστήσουμε τη μορφή αυτή της Ψ στην εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ, βρίσκουμε ότι:
 
:<math> \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\right)\psi(\bold{r})T(t)=0</math>
Γραμμή 105:
:<math>\hat{H}\psi(\bold{r})=\lambda\psi(\bold{r}) </math>
 
Η εξίσωση αυτή είναι μια λεγόμενη ''εξίσωση ιδιοτιμών'', και η επίλυσή της θα μας προσδιορίσει τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής. Επειδή όμως η Χαμιλτονιανή ταυτίζεται με την ενέργεια του συστήματος, οι ιδιοτιμές της θα ταυτίζονται με τις ενεργειακές στάθμες του συστήματος. Η ενεργειακή κβάντωση που είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της Κβαντομηχανικής είναι ένα αναπόφευκτο μαθηματικό αποτέλεσμα της θεωρίας ιδιοτιμών. Συνεπώς, μπορούμε να πούμε ότι η σταθερά '''λ''' που εισαγάγαμε αυθαίρετα κατά την εφαρμογή μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών, θα είναι η ενέργεια, Ε, του συστήματος. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στη λεγόμενη ''χρονοανεξάρτητη εξίσωση ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ'':
 
:<math>\hat{H}\psi(\bold{r})=E\psi(\bold{r})\Leftrightarrow \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bold{r})\right)\psi(\bold{r})=E\psi(\bold{r}) </math>
Γραμμή 135:
:<math> P=|\Psi(\bold{r},t)|^2=|\psi(\bold{r})e^{-iEt/\hbar}|^2=|\psi(\bold{r})|^2|e^{-iEt/\hbar}|^2=|\psi(\bold{r})|^2 </math>
 
Η πιθανότητα είναι δηλαδή '''ανεξάρτητη του χρόνου'''. Και πάλι, αυτό είναι μια άμεση μαθηματική συνέπεια της μη-εξάρτησης του δυναμικού από το χρόνο. Τα συμπεράσματα αυτής της ανάλυσης όμως είναι πολύ σημαντικά, καθώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για ένα σύστημα δεδομένης Χαμιλτονιανής με χρονοανεξάρτητο δυναμικό, αρκεί μονάχα να λύσουμε το χρονοανεξάρτητο μέρος της εξίσωσης ΣρέντιγκερΣρέντινγκερ. Όλες οι ποσότητες που μας ενδιαφέρουν θα προκύψουν εν τέλει από τη χωρική κυματοσυνάρτηση.
 
=== Γιατί Ε είναι η ενέργεια του σωματίου; ===
Γραμμή 252:
* Χρησιμοποιήθηκαν επίσης σημειώσεις από το μάθημα της Κβαντικής Μηχανικής Ι του τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών
== Παραπομπές ==
{{παραπομπές}}
<references/>
 
[[Κατηγορία:Κβαντική μηχανική]]
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Εξίσωση_Σρέντινγκερ"