Εξίσωση Σρέντινγκερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

{{Κβαντική μηχανική}}

== Η εξίσωση ==

=== Αξιωματική Προσέγγιση ===

όπου '''H''' είναι ο τελεστής της [[Χαμιλτονιανή μηχανική|Χαμιλτονιανής (Hamiltonian)]] του [[Σύστημα|συστήματος]] που εξετάζουμε, '''i''' η [[Φανταστικός αριθμός|φανταστική μονάδα]], '''t''' ο χρόνος, '''r''' η θέση στο χώρο και '''ħ''' η σταθερά [[Δράση (φυσική)|δράσεως]] του [[Μαξ Πλανκ|Planck]].

 

 

:<math>H=\frac{p^2}{2m}+V(\bold{r})\ ,</math>

 

 

:<math>\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{\bold{r}})</math>

 

=== Πώς σκέφτηκε ο Σρέντινγκερ ===

 

:<math>\bold{E}=\bold{E}_0e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}+\bold{E}_0e^{-i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)}\ ,</math>

όπου '''E₀''' το πλάτος των κυμάτων, '''r''' το άνυσμα θέσης, '''k''' το [[κυματάνυσμα]] ή κυματαριθμός των κυμάτων, '''t''' ο χρόνος και '''ω''' η κυκλική ή γωνιακή συχνότητα των κυμάτων.

 

 

:<math>p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k \Rightarrow \bold{p}=\hbar \bold{k}</math><ref name=" εξίσωση 1.45">{{cite book|last=Zettili|first=Nouredine|title=Quantum Mechanics Concepts and Applications|year=2009|publisher=John Wiley and Sons|isbn=978-0470026786|pages=688|page=18}}</ref>

:<math>E=h\nu=\hbar \omega</math>

 

 

Σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξίσωση που περιγράφει την ηλεκτρική συνιστώσα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παίρνει τη μορφή:

:<math>\nabla^2\bold{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\bold{E}</math>

 

 

:<math>\Psi(\bold{r},t)=ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar} \ ,</math>

Η ιδέα λοιπόν είναι η εξής: Έστω σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται σε ένα μονοδιάστατο "σωληνάκι" μήκους L με αδιαπέραστα τοιχώματα. Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε την απαίτηση αυτή μαθηματικά, είναι να πούμε ότι το δυναμικό του προβλήματος έχει την εξής μορφή:

 

 

Η μαθηματική απαίτηση το δυναμικό να είναι άπειρο εκτός του διαστήματος [0,L] μας εξασφαλίζει ότι το κινούμενο σωματίδιο δεν θα μπορέσει ποτέ να διαπεράσει τα τοιχώματα του "σωλήνα". Ο όρος "απειρόβαθο πηγάδι" προκύπτει ακριβώς από τη μορφή του δυναμικού, καθώς μπορεί κανείς να φανταστεί πως το σωματίδιο είναι ουσιαστικά εγκλωβισμένο σε ένα είδος πηγαδιού άπειρου βάθους - με άλλα λόγια, όση ενέργεια κι αν έχει το σωματίδιο δεν θα καταφέρει ποτέ να διαφύγει.

:<math>\psi(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)} \ ,\ \ \ \ </math>

 

 

Σύμφωνα με τα προηγούμενα λοιπόν, θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε να ικανοποιεί τις εξής μαθηματικές συνθήκες:

Η συνάρτηση του ημιτόνου μηδενίζεται μόνο για ακέραια πολλαπλάσια του π, συνεπώς

 

 

Αν αντικαταστήσουμε λοιπόν τη σταθερά k στη μορφή της κυματοσυνάρτησης που βρήκαμε προηγουμένως, έχουμε ότι:

:<math>\psi(x)=A\sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}</math>

 

 

Επιστρέφοντας πίσω λοιπόν στη σχέση που προέκυψε από την απαίτηση ψ(x=L)=0, παρατηρούμε ότι:

:<math>k^2=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\xrightarrow{k^2=2mE/\hbar^2}E_n=\left(\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\right)n^2, \ \ n=1,2,3,...</math>

 

 

Όσον αφορά την κυματοσυνάρτηση που βρήκαμε, είναι φανερό ότι δεν είναι μόνο μια, αλλά ένα ''άπειρο'' πλήθος διαφορετικών συναρτήσεων για κάθε διαφορετική τιμή του κβαντικού αριθμού n. Οι συναρτήσεις αυτές που προκύπτουν από την επίλυση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Σρέντιγκερ ονομάζονται ''ιδιοσυναρτήσεις'' της Χαμιλτονιανής, και κάθε μια έχει μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή(=ενέργεια). Γι' αυτό το λόγο, στις ιδιοσυναρτήσεις δίνεται συνήθως ως δείκτης η τιμή του κβαντικού αριθμού που χαρακτηρίζει κάθε ιδιοσυνάρτηση, όπως ακριβώς και στις διαφορετικές τιμές της ενέργειας. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, οι ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος είναι οι εξής:

:<math>\psi_n(x)=A_n\sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}</math>

 

 

 

 

:<math> \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)</math>