Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Εξίσωση Σρέντινγκερ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
(Αφαιρέθηκαν περιττά πράγματα, φράσεις που παρέπεμπαν σε "συνομιλία" με τον αναγνώστη και έγιναν και διάφορες διορθώσεις-τροποποιήσεις.)
{{Κβαντική μηχανική}}
H '''εξίσωση Σρέντινγκερ (Schrödinger)''' είναι μία [[διαφορική εξίσωση]] η οποία προτάθηκε από τον [[Αυστρία|Αυστριακό]] φυσικό [[Έρβιν Σρέντινγκερ]] το 1925, για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση [[κβαντομηχανικό σύστημα|κβαντομηχανικών συστημάτων]]. Παίζει κεντρικό ρόλο στην [[κβαντομηχανική]] θεωρία, με σημασία ανάλογη του [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|δεύτερου νόμου του Νεύτωνα]] στην [[κλασσική μηχανική]].
== Η εξίσωση ==
=== Αξιωματική Προσέγγιση ===
Η [[εξίσωση]] που επινόησε ο Σρέντινγκερ είναι η εξής:
 
Για δεδομένη μορφή δυναμικού, η εξίσωση αυτή μπορεί πάντοτε (τουλάχιστον θεωρητικά) να λυθεί είτε αναλυτικά (για ακριβώς επιλύσιμα δυναμικά, όπως ο αρμονικός ταλαντωτής), είτε αριθμητικά με τη βοήθεια υπολογιστή.
 
=== Πώς σκέφτηκε ο Σρέντινγκερ ===
Παραπάνω είδαμε μία [[Αξίωμα|αξιωματική]] προσέγγιση προς την εξίσωση Σρέντινγκερ, το πώς όμως εκείνος κατέληξε στην εξίσωσή του δεν το γνωρίζουμε ακριβώς. Παρ' όλα αυτά, πιστεύεται ότι θα πρέπει να σκέφθηκε κάπως έτσι: <br />
Στον ηλεκτρομαγνητισμό, στα [[Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία|ηλεκτρομαγνητικά κύματα]], η ηλεκτρική συνιστώσα (Ε) όταν είναι [[Μονοχρωματική ακτινοβολία|μονοχρωματική]] περιγράφεται από την εξής μορφή:
:<math>\Psi(\bold{r},t)=ae^{i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}+be^{-i(\bold{p}\cdot\bold{r}-E t)/\hbar}</math>
 
== Αναλυτική Επίλυση της εξίσωσης Σρέντινγκερ ==
Η μόνη ουσιαστική μέθοδος για να λύσουμε αναλυτικά μία μερική διαφορική εξίσωση (διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων) όπως είναι η εξίσωση Σρέντινγκερ, είναι η μέθοδος του χωρισμού μεταβλητών. Βάσει της μεθόδου αυτής, αν έχουμε μια συνάρτηση π.χ. δύο μεταβλητών u(x,y) η οποία ικανοποιεί μια μερική διαφορική εξίσωση της μορφής Lu(x,y)=0 με L ένα γραμμικό διαφορικό τελεστή που γράφεται ως άθροισμα επιμέρους τελεστών, καθένας εκ των οποίων είναι ένας τελεστής ''μιας'' μόνο από τις τρεις μεταβλητές που υποθέσαμε, τότε μπορούμε να γράψουμε τη ζητούμενη συνάρτηση στη μορφή u(x,y)=X(x)Y(y), όπου Χ και Y δυο συναρτήσεις μιας μόνο μεταβλητής.
 
και συνεπώς απεδείχθη ότι η Ε όντως ήταν η ενέργεια του σωματιδίου.
 
== Παράδειγμα - Το Απειρόβαθο Πηγάδι ==
[[Αρχείο:Infinite potential well.svg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Το δυναμικό V(x) του απειρόβαθου πηγαδιού.]]
 
Το κλασικότερο ίσως παράδειγμα εφαρμογής της εξίσωσης Σρέντιγκερ σε εισαγωγικά βιβλία Κβαντομηχανικής, είναι το λεγόμενο ''απειρόβαθο πηγάδι'', ή αλλιώς ''σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί''. Το πρόβλημα αυτό, παρά την απλότητά του, αναδεικνύει πολλές σημαντικές πτυχές της θεωρίας.
 
 
:<math>\psi(x=0)=0\Leftrightarrow B=0</math>
[[Αρχείο:Infinite well energies.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι ενέργειες των κυματοσυναρτήσεων n=1,2,3,4,5. Παρατηρείστε ότι ΔΕΝ ισαπέχουν.]]
 
Ενώ αντίστοιχα η δεύτερη:
 
 
:<math>k^2=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\xrightarrow{k^2=2mE/\hbar^2}E_n=\left(\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\right)n^2, \ \ n=1,2,3,...</math>
[[Αρχείο:Infinite well.jpg|δεξιά|400px|μικρογραφία|Οι κυματοσυναρτήσεις n=1,2,3,4.]]
 
Αυτή η σχέση, μας λέει προφανώς ότι, οι διαθέσιμες τιμές της ενέργειας του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι είναι διακριτές ή διαφορετικά ''κβαντισμένες''. Και αυτό διότι ο κβαντικός αριθμός, n, που χαρακτηρίζει το πρόβλημα (και που προέκυψε φυσιολογικά όταν απαιτήσαμε η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται στα άκρα) μπορεί να πάρει μόνο ''διακριτές'' τιμές. Το φαινόμενο της κβάντωσης των ενεργειακών σταθμών εμφανίζεται συνεχώς στη Κβαντομηχανική ως ένα αυθόρμητο αποτέλεσμα της μορφή της εξίσωσης Σρέντινγκερ που ισχύει αξιωματικά και των συνοριακών συνθηκών που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα.
Γνωρίζοντας όλες τις ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του προβλήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε τα πάντα για το σύστημα. Συγκεκριμένα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε οποιαδήποτε περιοχή κάθε ιδιοκατάστασης, καθώς επίσης και τις μέσες τιμές μεγεθών όπως η θέση, ορμή και η ενέργεια.
 
== Εσωτερικοί Σύνδεσμοι ==
* [[Κβαντική μηχανική]]
* [[Κύμα]]
* [[Κυματοσυνάρτηση]]
 
== Εξωτερικοί Σύνδεσμοι ==
[http://www.physics4u.gr/articles/2002/schrodingerequation.html Η εξίσωση Schrödinger]
 
== Βιβλιογραφία ==
* Τραχανάς Στέφανος, '''''Κβαντομηχανική Ι''''', Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2009
* Ταμβάκης Κυριάκος, '''''Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική''''', Leader Books 2003
* Zettili Nouredine, '''''Quantum Mechanics Concepts and Applications''''', John Wiley and Sons 2009
* Χρησιμοποιήθηκαν επίσης σημειώσεις από το μάθημα της Κβαντικής Μηχανικής Ι του τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών
== Παραπομπές ==
{{παραπομπές}}
 
1.898

επεξεργασίες