Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων»

μ
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ
 
===Αναπαράσταση διανύσματος===
Ένα οποιοδήποτε [[διάνυσμα]] μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός d γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, όπου d η διάσταση του χώρου που μελετάμε. Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορθομοναδιαία διανύσματα <math>\boldboldsymbol{\hat{x}},\boldboldsymbol{\hat{y}},\boldboldsymbol{\hat{z}}</math> τα οποία έχουν διεύθυνση κατά τη θετική φορά των αξόνων x, y και z αντίστοιχα. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα θέσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y,z) στο χώρο με τον εξής τρόπο:
 
: <math> \bold{r}=x\ \boldboldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldboldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldboldsymbol{\hat{z}} </math>
 
Επιπροσθέτως, τα μοναδιαία διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
όπου i,j=1,2,...,d και
 
: <math> (e_1,e_2,e_3,...)\equiv (\boldboldsymbol{\hat{x}},\boldboldsymbol{\hat{y}},\boldboldsymbol{\hat{z}},...), \ \ \ (x_1,x_2,x_3,...)\equiv (x,y,z,...) </math>
 
Τα μοναδιαία διανύσματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι λοιπόν σταθερά, δηλαδή οι παράγωγοι αυτών ως προς οποιαδήποτε καρτεσιανή μεταβλητή ισούται με μηδέν.
Σε τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο [[Ανάδελτα|τελεστής ανάδελτα]] ορίζεται ως
 
: <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\boldboldsymbol{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\boldboldsymbol{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y}+\boldboldsymbol{\hat{z}}\frac{\partial}{\partial z} </math>
 
=== Λαπλασιανή ===
Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τελεστή της [[Λαπλασιανός τελεστής|Λαπλασιανής]]:
 
: <math> \nabla^2(x,y,z)=\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)\cdot\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} </math>
 
== Τροχιές σωμάτων σε καρτεσιανές συντεταγμένες ==
Στη [[Φυσική]], είναι πολλές φορές χρήσιμο να παραστήσουμε μαθηματικά τη [[θέση]], [[ταχύτητα]] και [[επιτάχυνση]] ενός σώματος που κινείται σε τρεις διαστάσεις με τα παρακάτω διανύσματα:
 
: <math> \begin{align} \bold{r} &= x\ \boldboldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldboldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldboldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{v} &= \dot{x}\ \boldboldsymbol{\hat{x}}+\dot{y}\ \boldboldsymbol{\hat{y}}+\dot{z}\ \boldboldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{a} &= \ddot{x}\ \boldboldsymbol{\hat{x}}+\ddot{y}\ \boldboldsymbol{\hat{y}}+\ddot{z}\ \boldboldsymbol{\hat{z}} \end{align} </math>
 
Οι παραπάνω σχέσεις αποδεικνύονται εύκολα [[Παράγωγος|παραγωγίζοντας]] τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης '''r'''. Εν γένει, αν παραγωγίσουμε ένα διάνυσμα ενδέχεται να χρειαστεί να παραγωγίσουμε και μερικά από τα μοναδιαία διανύσματα. Αυτό εξαρτάται πάντα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται τα διανύσματα αυτά. Ένα παράδειγμα συστήματος συντεταγμένων όπου ορίζονται οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι το [[πολικό σύστημα συντεταγμένων]].
386

επεξεργασίες