|
: <math> \bold{g}=-\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}}, </math>
όπου G=6G≈6.6742×1067×10<sup>-11</sup> (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες [[Διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνούς συστήματος]]. ΕίναιΒάσει επίσηςτου φανερό ότιορισμού, το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες [[Επιτάχυνση|επιτάχυνσης]] (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και θα εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, '''F''', που θαασκείται ασκηθεί στοσε σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την «πηγή» του βαρυτικού πεδίου, θα ισούται προφανώς με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,
: <math>\bold{F}=m\bold{g}=-G\frac{Mm}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} </math>
που ταυτίζεται με τη γνωστή [[νόμος της παγκόσμιας έλξης|δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα]].
=== Βαρυτικό δυναμικό - σημειακή πηγή ===
Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως ''Νευτώνειο Δυναμικό'') είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως ''μείον'' το [[Έργο|έργο]] ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μιαμία θέση αναφοράς r<sub>0</sub> σε μιαμία απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:
: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{g}\cdot d\bold{r} </math>
Στην περίπτωση της σημειακής πηγής, ο παραπάνω τύπος δίνει:
Αν αντικαταστήσουμε την ακριβή μορφή του βαρυτικού πεδίου στο παραπάνω ολοκλήρωμα, εύκολα βρίσκουμε ότι:
: <math> \Phi(r)=GM\int_{\bold{r_0}}^{\bold{r}} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}'\cdot d\bold{r'}}{r'^2}=GM\int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{r'^2}=-GM \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) </math>
ΣτοΤο προηγούμενοβαρυτικό ολοκλήρωμαδυναμικό κάναμεορίζεται χρήσημε τουαπροσδιοριστία γεγονότοςμίας ότισταθεράς, λόγωπου τηςσχετίζεται σφαιρικήςμε συμμετρίαςτο τουγεγονός προβλήματος, μόνο η ακτινική συνιστώσα dr του διαφορικού της ακτίνας θέσης συνεισφέρει στο εσωτερικό γινόμενο <math>\boldsymbol{\hat{r}}\cdot d\bold{r}</math>. Όπως είναι φανερό,ότι το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται μεως απροσδιοριστίαπρος μίαςκάποιο σταθεράς,αυθαίρετα πουεπιλεγμένο είναισημείο φυσικά το αυθαίρετο σημείοαναφοράς r<sub>0</sub> το οποίο θεωρούμε ως θέση αναφοράς. Το πώς θα επιλέξουμε αυτόεπιλέγεται το σημείο αυτό δεν έχει καμία απολύτως σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η ''διαφορά'' βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο. Αυτό επαληθεύεται εύκολα αν θεωρήσουμε δύο σημεία σε απόσταση r<sub>a</sub> και r<sub>b</sub> από την πηγή του βαρυτικού πεδίου, οπότε η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ των δύο αυτών σημείων θα ισούται με
Συνηθίζεται ως σημείο αναφοράς να επιλέγεται το άπειρο (r<sub>0</sub>→∞), διότι Φ(∞)=0. Εν γένει, στα διάφορα είδη δυναμικών τα σημεία αναφοράς είθισται να επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε η μαθηματική τους μορφή να είναι όσο τον δυνατόν απλούστερη. Με την εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς, το δυναμικό μίας σημειακής πηγής απλοποιείται σημαντικά:
: <math> \Phi(r_b)-\Phi(r_a)=-GM \left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}\right)+GM \left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_0}\right)=-GM\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right) </math>
Για δική μας διευκόλυνση όμως, συνηθίζεται να παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το άπειρο, δηλαδή θεωρούμε ότι r<sub>0</sub>→∞. Ο λόγος που διαλέγουμε αυτό το σημείο ως σημείο αναφοράς είναι διότι Φ(∞)=0, δηλαδή το δυναμικό στο άπειρο ''μηδενίζεται''. Γενικά, στα διάφορα είδη δυναμικών επιλέγουμε τα σημεία αναφοράς με τέτοιο τρόπο ώστε η μορφή του δυναμικού να είναι όσο τον δυνατόν απλούστερη. Βάσει αυτών που είπαμε λοιπόν, μπορούμε να ορίσουμε τελικά το βαρυτικό δυναμικό (με την εκλογή του απείρου ως το σημείο αναφοράς) ως εξής:
: <math> \Phi(r)=-\frac{GM}{r} </math>
Όπως είναι φανερό, ηΗ εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς οδηγεί αμέσωςεπίσης στο αποτέλεσμα ότι το βαρυτικό δυναμικό θα είναι παντού ''αρνητικό''.
=== Βαρυτικό δυναμικό - συνεχής κατανομή ===
[[Αρχείο:Gf2.png|350px|thumb|Η περίπτωση της συνεχούς κατανομής μάζας - θέσεις ως προς τυχαία επιλεγμένο σύστημα αναφοράς.|right]]
Το επόμενο βήμα μετά την περιγραφή των σημειακών βαρυτικών πηγών είναι η κατασκευή ενός μαθηματικού εργαλείου που είναι σε θέση να υπολογίσει το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί ένα αντικείμενο συγκεκριμένων διαστάσεων. Στην περίπτωση οι διαστάσεις ενός σώματος είναι σημαντικές, το βαρυτικό πεδίο εν γένει αποκλίνει από την σφαιρικά συμμετρική λύση που ισχύει για σημειακές πηγές.
Τα πράγματα αλλάζουν όταν δεν έχουμε μία σημειακή μάζα Μ που δημιουργεί ένα σφαιρικά συμμετρικό βαρυτικό πεδίο τριγύρω της. Εν γένει, θα θέλαμε να βρούμε μία σχέση που να μας δίνει το βαρυτικό δυναμικό μιας ''συνεχούς'' κατανομής μάζας. Για να το κάνουμε αυτό, θα θεωρήσουμε καταρχάς ότι η κατανομή αυτή χαρακτηρίζεται από μια χωρική πυκνότητα ρ('''r'''), η οποία εν γένει μπορεί να αλλάζει από θέση σε θέση στην κατανομή. Αν τώρα επιλέξουμε αυθαίρετα ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η απόσταση ενός τυχαίου σημείου της συνεχούς κατανομής συμβολίζεται με '''r'''', τότε είναι φανερό πως η συνολική μάζα, Μ, της κατανομής θα ισούται με το ολοκλήρωμα
Από μαθηματικής σκοπιάς, ένα αντικείμενο μπορεί να περιγραφτεί πλήρως αν γνωρίζουμε τη συνολική του μάζα (Μ), καθώς επίσης και την πυκνότητά (ρ) του σε κάθε σημείο του χώρου. Επιλέγοντας ένα [[σύστημα συντεταγμένων]] στο οποίο οι θέσεις της πηγής του δυναμικού περιγράφονται από ένα διάνυσμα θέσης '''r'''' και το σημείο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το δυναμικό από ένα διάνυσμα θέσης '''r''', το δυναμικό δίνεται από τον γενικό τύπο:
: <math> M=\int \rho(\bold{r'})d^3 \bold{r'} </math> ▼
Επίσης, μια στοιχειώδης μάζα, dM, της κατανομής σε απόσταση ''' r' ''' θα ισούται με το γινόμενο ρ('''r'''')d<sup>3</sup>'''r' ''' (ήτοι η πυκνότητα στο σημείο αυτό επί τον στοιχειώδη όγκο που καταλαμβάνει η στοιχειώδης μάζα αυτή). Το στοιχειώδες βαρυτικό δυναμικό, dΦ, που θα προκαλεί μια τέτοια στοιχειώδης μάζα σε μία απόσταση r από την αρχή των αξόνων, θα ισούται συνεπώς με
: <math> d\Phi(r)=-G\frac{dM}{|\bold{r}-\bold{r'}|}=-G\frac{\rho(\bold{r'})d^3\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|}, </math>
όπου |'''r'''-''' r''''| η ''σχετική'' απόσταση μεταξύ της στοιχειώδους μάζας και του σημείου στο οποίο θέλουμε να προσδιορίσουμε την απειροστή συνεισφορά του δυναμικού.
Βάσει της αρχής της επαλληλίας λοιπόν, δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε(=[[ολοκλήρωμα|ολοκληρώσουμε]]) τη συνεισφορά κάθε στοιχειώδους μάζας ολόκληρης της κατανομής. Το συνολικό βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων θα ισούται λοιπόν με:
: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>
Ο παραπάνω τύπος προκύπτει από την κατάτμηση της κατανομής μάζας σε μικρές, στοιχειώδης μάζες τις οποίες θεωρούμε σημειακές. Το δυναμικό υπολογίζεται στη συνέχεια για κάθε τέτοια στοιχειώδη μάζα και το συνολικό δυναμικό σε δεδομένο σημείο του χώρου προκύπτει αθροίζοντας (=[[ολοκλήρωμα|ολοκληρώνοντας]]) όλες τις στοιχειώδεις συνεισφορές δυναμικού.
Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί μόνο να υπολογισθεί εάν γνωρίζουμε τη γεωμετρία της κατανομής μάζας. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μία ''σημειακή μάζα'' στη θέση r'=0 (πάνω στην αρχή των αξόνων μας δηλαδή). Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε μία ασυνεχή κατανομή μαθηματικά, γίνεται συνήθως με τη λεγόμενη ''[[Δέλτα του Ντιράκ|συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ]]''. Μπορούμε λοιπόν να περιγράψουμε το σημειακό σωματίδιο από την εξής κατανομή μάζας:
Δρώντας δύο φορές τα δύο μέλη της εξίσωσης δυναμικού που συνεχούς κατανομής με τον τελεστή [[ανάδελτα]], αποδεικνύεται ότι:
: <math> \rho(\bold{r'})=M\ \delta(\bold{r'}) </math>
▲: <math> M\nabla^2\Phi= 4\ intpi G \rho(\bold{r '}) d^3 \bold{r'} </math>
Αυτό μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν ολοκληρώσουμε τις δύο σχέσεις της παραπάνω εξίσωσης πάνω σε όλο το χώρο. Αντικαθιστώντας τώρα αυτή τη κατανομή μάζας στο ολοκλήρωμα που μας δίνει το δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων, βρίσκουμε ότι
Η παραπάνω εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ είναι μία ''[[Εξίσωση Πουασόν|εξίσωση Πουασόν]]'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος . Αξίζει να σημειωθεί ότι οι [[πεδιακές εξισώσεις του Αϊνστάιν]] αποτελούν γενίκευση της εξίσωσης αυτής. ▼: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}\ \xrightarrow{\rho(\bold{r'})=M\delta(\bold{r'})}\ \Phi(r)=-GM\int \frac{\delta(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'}=-\frac{GM}{r}, </math>
που συμφωνεί με το αποτέλεσμα που είχαμε βρει για το δυναμικό σημειακής μάζας. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο τύπος που μας δίνει το δυναμικό μίας συνεχούς κατανομής μάζας είναι εντελώς γενικός.
Επιστρέφοντας στον τύπο του δυναμικού στη περίπτωση της συνεχούς κατανομής μάζας,
: <math> \Phi=-G\int \frac{\rho(\bold{r'})}{|\bold{r}-\bold{r'}|}d^3\bold{r'} </math>
και παίρνοντας το ανάδελτα και των δύο μελών, βρίσκουμε ότι
: <math> \bold{\nabla}\Phi=-G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\left(\frac{1}{|\bold{r}-\bold{r'}|}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}d^3\bold{r'} </math>
Τέλος, αν δράσουμε άλλη μια φορά με τον ίδιο τελεστή καταλήγουμε στο παρακάτω σημαντικό αποτέλεσμα:
: <math> \nabla^2\Phi=G\int \rho(\bold{r'})\bold{\nabla}\cdot\left(\frac{\bold{r}-\bold{r'}}{|\bold{r}-\bold{r'}|^3}\right)d^3\bold{r'}=G\int \rho(\bold{r'})[4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r'})]d^3\bold{r'}=4\pi G \rho(\bold{r}) </math>
▲Η εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ είναι μία ''[[Εξίσωση Πουασόν|εξίσωση Πουασόν]]'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.
=== Χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού ===
Η χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού έχει να κάνει με το γεγονός ότι είναι βαθμωτή ποσότητα. Οι διανυσματικές ποσότητες όπως είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι πιο πολύπλοκες, καθώς οι πράξεις μεταξύ διανυσματικών ποσοτήτων απαιτεί προσεκτική μεταχείριση των συνιστωσών τους.
Επίσης, σε ένα πρόβλημα το οποίο δεν εμφανίζει ικανοποιητική συμμετρία ώστε να επιχειρηθεί να επιλυθεί αναλυτικά με διανυσματικές μεθόδους. Από υπολογιστικής σκοπιάς, ο χειρισμός του βαρυτικού δυναμικού είναι σε πολλές περιπτώσεις προσφιλέστερος.
Ποια είναι όμως η φυσική σημασία του βαρυτικού δυναμικού και για ποιο λόγο να ορίσει κάποιος μία τέτοια περίπλοκη ποσότητα; Αρχικά, επενθυμίζεται ότι το βαρυτικό δυναμικό ορίστηκε μαθηματικά ως
: <math> \Phi(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{g}\cdot d\bold{r} </math>
Η παραπάνω σχέση είναι απολύτως ταυτόσημη με την
: <math> \bold{g}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r), </math>
και ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι η διανυσματική συνάρτηση '''g''' περιγράφει ένα ''συντηρητικό πεδίο'' (ή ''αστρόβιλο''), και τα συντηρητικά πεδία ικανοποιούν τη σχέση
: <math> \bold{\nabla}\times\bold{g}=0 </math>
Η αντικατάσταση της μορφής που δόθηκε προηγουμένως για το βαρυτικό πεδίο συναρτήσει του δυναμικού μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη αστροβιλότητας.
Αυτό σημαίνει πως αν γνωρίζουμε ποια είναι η μορφή του δυναμικού, τότε μπορούμε παίρνοντας το ανάδελτά του να βρούμε ποια είναι η ακριβής διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου. Γνωρίζοντας όμως εκ των υστέρων ποια είναι η μορφή του δυναμικού στη περίπτωση της σημειακής πηγής, μπορούμε να πάρουμε το ανάδελτά της για να ελέγξουμε αν όντως το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα μας δώσει τη γνωστή διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου:
: <math> \bold{g}(r)=-\bold{\nabla}\Phi(r)=-\left(\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\boldsymbol{\hat{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(-\frac{GM}{r}\right)=\boldsymbol{\hat{r}}GM\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{GM}{r^2}\boldsymbol{\hat{r}} </math>
Που είναι βεβαίως η ακριβής έκφραση του βαρυτικού πεδίου σημειακής πηγής όπως είχε υπολογισθεί προηγουμένως.
Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σχέση '''g'''=-'''∇'''Φ μας δίνει τη διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου μιας κατανομής μάζας αν γνωρίζουμε το αντίστοιχο δυναμικό που προκαλεί αυτή. Πολλές φορές ο προσδιορισμός κάθε συνιστώσας του βαρυτικού πεδίου βάσει των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα είναι μια αρκετά πολύπλοκη (αν όχι αδύνατη) διαδικασία, ειδικά για κατανομές μάζας που δεν έχουν κάποια συμμετρία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδέχεται η επίλυση της εξίσωσης ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ που θα υπακούει το δυναμικό να είναι πολύ ευκολότερη (ή τουλάχιστον δυνατόν να επιλυθεί αριθμητικά). Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση Πουασόν, βρίσκουμε το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου που μας ενδιαφέρει και, τέλος, παίρνουμε το ανάδελτα του δυναμικού για να βρούμε τις αντίστοιχες συνιστώσες του βαρυτικού πεδίου.
=== Σχέση με τη δυναμική ενέργεια ===
Το βαρυτικό δυναμικό '''''δεν''''' ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, '''V''', ορίζεται ως
: <math> V(r)=-\int_{\bold{r}_0}^{\bold{r}} \bold{F}\cdot d\bold{r} </math>
Επειδή όμως ισχύει ότι '''F'''=m'''g''', αποδεικνύεται εύκολα ότι η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι η εξής:
: <math> V(r)=m\Phi(r) \ \ \ </math>
Αν λοιπόν γνωρίζουμε ποιο είναιΓνωρίζοντας το βαρυτικό δυναμικό που δημιουργεί μιαμία συγκεκριμένη κατανομή μάζας στο χώρο, τότε σε κάθε θέσηείναι μπορούμεδυνατόν να υπολογίσουμε ποιακαι θατην είναι ηαντίστοιχη δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που τοποθετείται στοσε κάποιο σημείο αυτότου χώρου μέσω της προηγούμενης σχέσης.
Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που κινείται σε τροχιά γύρω από ένα βαρύτερο σώμα μάζας Μ (π.χ. ένας πλανήτης σε τροχιά γύρω από έναν αστέρα) ισούται με
:<math> V(r)=-G\frac{Mm}{r} </math>
Επίσης, το σώμα μάζας Μ (αν θεωρηθεί ως σημειακό ή σφαιρικά συμμετρικό) δημιουργεί ένα βαρυτικό δυναμικό που μας δίνεται από τη σχέση
:<math> \Phi(r)=-\frac{GM}{r} </math>
Είναι όμως φανερό ότι αν πολλαπλασιάσουμε την έκφραση του βαρυτικού δυναμικού αυτού με τη μάζα m του σώματος που κινείται σε τροχιά απόστασης r από την πηγή βαρύτητας, θα βρούμε τη γνωστή έκραση για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια.
=== Η Κλασική εικόνα πεδίων ===
Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των ''πεδίων'' - όπως ακριβώς και στον [[ηλεκτρομαγνητισμός|ηλεκτρομαγνητισμό ]]. Εν γένει, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις: ▼
▲Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των ''πεδίων'' - όπως ακριβώς και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Εν γένει, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις:
* ''Μια οποιαδήποτε κατανομή μάζας παράγει βαρυτικό δυναμικό σύμφωνα με την εξίσωση ∇<sup>2</sup>Φ=4πGρ''
==== Βαρύτητα και νόμος του Γκάους ====
ΌπωςΑνάλογα καιμε στοντον Ηλεκτρομαγνητισμόηλεκτρομαγνητισμό, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον [[Νόμος του Γκάους|νόμο του Γκάους]] για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μία δεδομένη κατανομή μάζας. ΣύμφωναΗ μεεξίσωση τονστην νόμοοποία αυτόν,καταλήγει κανείς είναι η παρακάτω:▼
▲Όπως και στον Ηλεκτρομαγνητισμό, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον [[Νόμος του Γκάους|νόμο του Γκάους]] για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μία δεδομένη κατανομή μάζας. Σύμφωνα με τον νόμο αυτόν,
: <math> \oint_{S} \bold{g}\cdot d\bold{S}=\int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\bold{g}\ dV </math>
όπου S και V η επιφάνεια και όγκος αντίστοιχα που ορίζει η επιφάνεια Γκάους που επιλέξαμε. Όμως,
: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\bold{g}=-4\pi G\rho </math>
Συνεπώς, αν αντικαταστήσουμε στο νόμο του Γκάους καταλήγουμε στην παρακάτω εξίσωση για το βαρυτικό πεδίο:
: <math> \oint_{S} \bold{g}\cdot d\bold{S}=-4\pi G M_{\textrm{enc}} </math>
Το σύμβολο M<sub>enc</sub> αναπαριστά τη συνολική μάζα που περικλύει η επιφάνεια Γκάους, S, που επιλέξαμεεπιλέγεται κάθε φορά. Η χρήση της παραπάνω εξίσωσης για τον υπολογισμό της έντασης του βαρυτικού πεδίου ενδείκνυται μόνο όταν ένα πρόβλημα έχει επαρκή συμμετρία (π.χ. Ειδάλλωςσφαιρική, είναικυλινδρική πολλέςή φορέςεπίπεδη). προτιμότερο να καταφύγουμε είτεΕιδάλλως, σεη χρήση ειδικώνεργαλείων τεχνασμάτων (όποτε εκείνα είναι εφαρμόσιμα), είτε στην επίλυση της εξίσωσης Πουασόν που ικανοποιείόπως το βαρυτικό δυναμικό είναι προτιμότερη.
== Βιβλιογραφία ==
| 