Κανονική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ r2.7.1) (Ρομπότ: Προσθήκη: ta:இயல்நிலைப் பரவல் |
Προσθήκη σε γενική περιγραφή, προσθήκη σε ορισμό, νέο τυποποιημένη κανονική κατανομή, εικόνα τυπ.καν.κατ., προσέγγιση ασυνεχών κατανομώ |
||
Γραμμή 5:
*Την κανονική κατανομή ακολουθούν είτε με ακρίβεια είτε με μεγάλη προσέγγιση τα περισσότερα συνεχή φαινόμενα.
*Πολλές ασυνεχείς κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να προσεγγιστούν μέσω της κανονικής κατανομής.
*Η κανονική κατανομή αποτελεί σύμφωνα με το [[κεντρικό οριακό θεώρημα]] (το άθροισμα ενός ικανοποιητικά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων και ισόνομων [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίων μεταβλητών]] προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή) τη βάση της στατιστικής συμπερασματολογίας ή επαγωγικής στατιστικής.<br>
Η γραφική παράσταση της σχετιζόμενης [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας|συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας]] έχει σχήμα "καμπάνας", και είναι γνωστή ως Γκαουσιανή συνάρτηση ή κωδωνοειδής καμπύλη:<ref>Ο χαρακτηρισμός "κωδωνοειδής καμπύλη" είναι αμφιλεγόμενος: υπάρχουν πολλές κατανομές κωδωνοειδούς σχήματος (καμπάνα): η [[κατανομή Cauchy]], η [[κατανομή t του Student]], η [[γενικευμένη κανονική κατανομή]], κ.λπ.</ref>
: <math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
</math>
== Ορισμός ==
Μια πραγματική τυχαία μεταβλητή Χ με [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]]:
: <math>
f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}
</math><br>
όπου e=η βάση των νεπέρειων λογαρίθμων (≡2,71828), π=η γνωστή μαθηματική σταθερά (≡3,14159), μ=ο μέσος του πληθυσμού, σ=η τυπική απόκλιση του πληθυσμού και Χ=μια τιμή της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο διάστημα -∞ έως +∞,
ονομάζεται κανονικά κατανεμημένη με μέση τιμή μ και [[διακύμανση]] σ<sup>2</sup>. Συμβολίζεται με <math> X\ \sim\ \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2) </math>.
Γραμμή 45 ⟶ 50 :
Αν το διαστημα είναι συμμετρικό ως προς τη μέση τιμή
:<math>P[-x+\mu\le X\le x+\mu]=\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) - \Phi\Big(\frac{-x}{\sigma}\Big)=2\Phi\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)-1.</math>
== Τυποποιημένη κανονική κατανομή ==
[[Image:standard deviation diagram.svg||325px|thumb|Το σκούρο μπλε είναι λιγότερο από μία [[τυπική απόκλιση]] από το μέσο. Στην κανονική κατανομή, αυτό αφορά στο 68% των παρατηρήσεων, ενώ δύο τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο (μπλε και σκούρο μπλε) αφορούν στο 95%, και τρεις τυπικές αποκλίσεις (ανοιχτό μπλε, μπλε και σκούρο μπλε) αφορούν το 99,7%.]]
Η κανονική κατανομή που έχει μέση τιμή 0 (μ=0) και τυπική απόκλιση 1 (σ=1, άρα και διασπορά 1), συμβολίζεται με N(0,1) και ονομάζεται '''τυποποιημένη κανονική κατανομή'''. Μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με Ζ και η συνάρτηση πυκνότητάς της με φ(z).<br>
:<math>\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{z^2}{2}}</math>, -∞<z<+∞<br>
Η τυποποίηση των δεδομένων βασίζεται στην απόκλισή τους από το μέσο όρο σε όρους της σ, σύμφωνα με τον τύπο <math>Z = \frac{X - \mu}{\sigma}</math>. Με τον τύπο αυτό μπορούν να μετατραπούν τα δεδομένα μιας μεταβλητής που κατανέμεται κανονικά σε τυποποιημένη μορφή και να υπολογισθούν οι πιθανότητες χρησιμοποιώντας τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Οι πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής δίνουν τις αθροιστικές πιθανότητες της κατανομής της Ζ, δηλαδή τα εμβαδά της κατανομής από -∞ έως και μία συγκεκριμένη τιμή της Ζ (π.χ. z). Έτσι, οι πίνακες δίνουν τις πιθανότητες P(Z ≤ z) για όλα τα z από -3,99 έως +3,99 με βήμα 0,01.
== Σχέσεις με άλλες κατανομές ==
Γραμμή 53 ⟶ 65 :
* Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές <math>X_1,X_2,\dots ,X_n</math> που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διακύμανση σ<sup>2</sup>. Η κάτωθι τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την '''κατανομή Student-t''' με n−1 βαθμούς ελευθερίας.
: <math> \frac{\overline X - \mu}{S} = \frac{\tfrac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n) - \mu}{\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\big[(X_1-\overline X)^2+\cdots+(X_n-\overline X)^2\big]}} \ \sim\ t_{n-1} </math>
== Προσέγγιση ασυνεχών κατανομών με την κανονική κατανομή ==
Η προσέγγιση ασυνεχών κατανομών με μεγάλη ακρίβεια απ' την κανονική κατανομή, παρά το γεγονός ότι σαν συνεχής κατανομή περιγράφει μόνο συνεχείς μεταβλητές, αποτελεί βασικό της πλεονέκτημα. Η προσέγγιση αυτή ισχύει για εκείνες τις περιπτώσεις που και οι ασυνεχείς κατανομές τείνουν να πάρουν το σχήμα της "κωδωνοειδούς" καμπύλης.
==== Διωνυμική Κατανομή ====
Η [[διωνυμική κατανομή]] τείνει προς την κανονική για μέγεθος δείγματος (n) μεγαλύτερο από 20. Για μικρότερα δείγματα η πιθανότητα p πρέπει να είναι κοντά στο 0,5.<br>
<math> X \sim \mathcal{B}(n,p) </math><br>
:<math>\mu = np\,</math>
:<math>\sigma = {np(1-p)}^{\frac{1}{2}}\,</math>
==== Κατανομή Poisson ====
Η [[Κατανομή Πουασσόν|κατανομή Poisson]] τείνει προς την κανονική όσο αυξάνει ο μέσος λ.<br>
<math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>
:<math>\mu = \lambda\,</math>
:<math>\sigma = \lambda^{\frac{1}{2}}\,</math>
== Αναφορές ==
Γραμμή 62 ⟶ 92 :
*Χαλικιάς, Ιωάννης, 2003. ''Στατιστική: Μέθοδοι Ανάλυσης για Επιχειρηματικές Αποφάσεις''. 2η έκδοση. Γέρακας: Rosili. ISBN 9607745086
*Spiegel, M & Stephens, L, 2000.''Θεωρία και Προβλήματα Στατιστικής''. 3η έκδοση. Αθήνα: ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ. ISBN 960805012X
*Παπαδόπουλος, Γεώργιος. ''Η Κανονική Κατανομή''. Σημειώσεις μαθήματος Στατιστικής. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||