Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
Παράκαμψη ανακατευθύνσεων; διακοσμητικές αλλαγές
Στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου]] το '''Απολλώνιο πρόβλημα''' συνίσταται στην κατασκευή [[Κύκλος|κύκλων]] που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο [[Απολλώνιος ο Περγαίος]] (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}''. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον [[Πάππος|Πάππο]]. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει η όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
Το 16ο αιώνα, ο [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολές]] χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κατασκευές με κανόνα και διαβήτη]]. Ο [[Φρανσουά Βιέτ]] κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε [[σημείο]]) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε [[ευθεία]]). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].
 
Αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν [[άλγεβρα|αλγεβρικές μεθόδους]], οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε [[αλγεβρική εξίσωση|αλγεβρικές εξισώσεις]]. Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή [[συμμετρία]] του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους που ο άλλος αποκλείει (Σχήμα 2). Ο [[Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν]] (''Joseph Diaz Gergonne'') χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτές οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων.
Στη γενική μορφή του απολλώνιου προβλήματος ζητείται η κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων οι οποίοι να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, όπου το αντικείμενο μπορεί να είναι ευθεία, σημείο ή κύκλος οιασδήποτε ακτίνας.<ref name="Dörrie 1965">{{cite book| author = Dörrie H| year = 1965| chapter = The Tangency Problem of Apollonius| title = 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions| publisher = Dover| location = New York| pages = 154–160 (§32)}}</ref><ref name="coxeter_1968"/><ref name="coolidge"/><ref name="coxeter greitzer"/> Αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι διατεταγμένα καθ' οιονδήποτε τρόπο και μπορούν και να αλληλοτέμνονται, όμως, συνήθως λαμβάνονται ώστε να είναι διακριτά, να μην συμπίπτουν δηλαδή. Μερικές φορές οι λύσεις του προβλήματος καλούνται ''Απολλώνιοι κύκλοι'', αν και ο όρος χρησιμοποιείται και για [[Απολλώνιοι κύκλοι|άλλου είδους κύκλους]], επίσης σχετιζόμενους με τον Απολλώνιο.
 
Η ιδιότητα της επαφής ορίζεται ως εξής. Αρχικά ένα σημείο, ευθεία ή κύκλος θεωρείται ότι εφάπτεται στον εαυτό του, έτσι αν δοθεί ένα κύκλος που είναι ήδη εφαπτόμενος σε άλλους δύο δεδομένους, η διάταξη λογίζεται ως λύση στο απολλώνιο πρόβλημα. Δύο διακριτά γεωμετρικά αντικείμενα θεωρείται ότι ''τέμνονται'' αν έχουν ένα κοινό σημείο. Εξ ορισμού ένα σημείο εφάπτεται σε ένα κύκλο ή μία ευθεία αν τα τέμνει, δηλαδή να βρίσκεται επί αυτών. Έτσι δύο διακριτά σημεία δεν μπορούν να είναι μεταξύ τους εφαπτόμενα. Αν η γωνία μεταξύ ευθειών ή κύκλων σε ένα σημείο τομής είναι μηδενική, τότε ορίζεται ότι αυτά εφάπτονται, το σημείο τομής ονομάζεται ''σημείο επαφής''. Στην πράξη δύο διακριτοί κύκλοι είναι εφαπτόμενοι αν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, αν τέμνονται σε δύο ή κανένα σημεία τότε δεν εφάπτονται. Το ίδιο ισχύει και για ένα ζεύγος ευθείας και κύκλου. Δύο διακριτές ευθείες δεν μπορούν να εφάπτονται στο επίπεδο, εντούτοις δύο [[σχετικές θέσεις γεωμετρικών σχημάτων#.CE.A3.CF.87.CE.B5.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.AD.CF.82 .CE.B8.CE.AD.CF.83.CE.B5.CE.B9.CF.82 .CE.B5.CF.85.CE.B8.CE.B5.CE.B9.CF.8E.CE.BD|παράλληλες ευθείες]] μπορεί να θεωρηθεί ότι εφάπτονται σε ένα [[σημείο στο άπειρο]] στην [[Γεωμετρία της αντιστροφής]].<ref>{{cite book|author=Coxeter, HSM|title="Introduction to Geometry"|isbn=978-0471504580|publisher=Wiley|location=New York|year=1969|edition=2nd}}</ref><ref>{{cite book|author=Needham, T|title="Visual Complex Analysis"|isbn=978-0-19-853446-4|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=2007|pages = 140–141}}</ref>
 
Ο κύκλος-λύση μπορεί να είναι είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά εφαπτόμενος σε κάθε ένα από τους δεδομένους κύκλους. Δύο κύκλοι είναι ''εξωτερικά εφαπτόμενοι'' όταν αποκλίνουν ο ένας από τον άλλον στο σημείο επαφής, και βρίσκονται σε αντίθετες μεριές της [[εφαπτόμενες ευθείες σε κύκλο|εφαπτομένης]] σε εκείνο το σημείο, καθώς και αλληλοαποκλείονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους ισούται με το άθροισμα των ακτίνων τους. Αντιθέτως είναι ''εσωτερικά εφαπτόμενοι'' όταν και οι δύο κύκλοι κλίνουν με τον ίδιο τρόπο στο σημείο επαφής, βρίσκονται στην ίδια μεριά της εφαπτόμενης ευθείας και ο ένας κύκλος περικλείει τον άλλο. Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση των κέντρων τους ισούται με την διαφορά των ακτίνων τους. Για παράδειγμα στο Σχήμα 1 ο κύκλος της ροζ λύσης εφάπτεται εσωτερικά στον μεσαίου μεγέθους δεδομένο μαύρο κύκλο στα δεξιά, ενώ είναι εξωτερικά εφαπτόμενος στον μικρότερο και στον μεγαλύτερο δεδομένο κύκλο στα αριστερά.
 
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί ως το πρόβλημα εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων, τέτοιων ώστε οι διαφορές των αποστάσεων τους από τρία δεδομένα σημεία να ισούνται με τρεις γνωστές τιμές. Έστω ένα κύκλος-λύση ακτίνας ''r''<sub>''s''</sub> και τρεις δεδομένοι κύκλοι με ακτίνες ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub> και ''r''<sub>3</sub>. Αν ο κύκλος λύση είναι εξωτερικά εφαπτόμενος και στους τρεις δεδομένους κύκλους, οι αποστάσεις του κέντρου του από τα κέντρα των δεδομένων κύκλων ισούνται με {{nowrap|''d''<sub>1</sub> {{=}} ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, {{nowrap|''d''<sub>2</sub> {{=}} ''r''<sub>2</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}} και {{nowrap|''d''<sub>3</sub> {{=}} ''r''<sub>3</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, αντίστοιχα. Συνεπώς οι διαφορές αυτών των αποστάσεων είναι σταθερές, όπως {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub> {{=}} ''r''<sub>1</sub> − ''r''<sub>2</sub>}}. Εξαρτώνται μόνο από τις γνωστές ακτίνες των δεδομένων κύκλων και όχι από την ακτίνα του κύκλου-λύση ''r''<sub>''s''</sub>, η οποία απαλείφεται. Ο δεύτερος μετασχηματισμός του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να γενικευθεί και για εσωτερικώς εφαπτόμενους κύκλους-λύσεις (για τους οποίους η απόσταση από κέντρο σε κέντρο ισούται με την διαφορά των ακτίνων), αλλάζοντας τις αντίστοιχες διαφορές αποστάσεων σε αθροίσματα αποστάσεων έτσι ώστε η ακτίνα ''r''<sub>''s''</sub> του κύκλου-λύση πάλι να απαλειφθεί. Ο επαναμετασχηματισμός των αποστάσεων των κέντρων είναι χρήσιμος στις [[#Τεμνόμενες υπερβολές|παρακάτω λύσεις]] του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] και του [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], καθώς και στον [[υπερβολικός προσδιορισμός θέσης|υπερβολικό προσδιορισμό θέσης]] με τον οποίο εντοπίζεται μία θέση από τις διαφορές στις αποστάσεις από τρία γνωστά σημεία. Για παράδειγμα, συστήματα πλοήγησης όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]] αναγνωρίζουν την θέση του δέκτη από τις διαφορές των χρόνων άφιξης των σημάτων από τρις διαφορετικές σταθερές θέσεις, που αντιστοιχούν στις διαφορές αποστάσεων από αυτούς τους πομπούς.<ref name="Hofmann-Wellenhof"/><ref name="Schmidt 1972"/>
 
== Ιστορία ==
Έχει αναπτυχθεί πλούσιο ρεπερτόριο γεωμετρικών και αλγεβρικών μεθόδων για την λύση του απολλώνιου προβλήματος,<ref name="altshiller-court_1961" >{{cite journal| author = Althiller-Court N| year = 1961| title = The problem of Apollonius| journal = The Mathematics Teacher| volume = 54| pages = 444–452}}</ref><ref name="gabriel-marie_1912" >{{cite book| author = Gabriel-Marie F| year = 1912| title = Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues| publisher = [[Maison A. Mame et Fils]]| location = Tours| pages = [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000048 18–20], [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000703 673–677]| url = http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACV3924}} {{fr icon}}</ref> το οποίο έχει αποκληθεί και «''το πιο διάσημο από όλα''» τα γεωμετρικά προβλήματα.<ref name="coolidge">{{cite book| author = [[Julian Coolidge|Coolidge JL]]| year = 1916| title = A Treatise on the Circle and the Sphere| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 167–172}}</ref> Η αρχική προσέγγιση του [[Απολλώνιος ο Περγαίος|Απολλώνιου του Περγαίου]] έχει χαθεί, αλλά έχουν προταθεί ανακατασκευές της λύσης του από τον [[Φρανσουά Βιέτ]] και άλλους, βασισμένες σε στοιχεία από την περιγραφή του [[Πάππος|Πάππου]].<ref name="pappus" >{{cite book| author = [[Πάππος]]| year = 1876| title = Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt| editor = F Hultsch| edition = 3 volumes}} {{la icon}}</ref><ref name="bruen_1983"/> Η πρώτη νέα μέθοδος λύσης δημοσιεύτηκε το 1596 από τον [[Άντριαν φαν Ρόομεν]], ο οποίος θεώρησε τα κέντρα των κύκλων-λύσεων ως σημεία τομής δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596">{{cite book| author = [[Adriaanάντριαν vanφαν RoomenΡόομεν|van Roomen A]]| year = 1596| title = Problema Apolloniacum quo datis tribus circulis, quaeritur quartus eos contingens, antea a…Francisco Vieta…omnibus mathematicis…ad construendum propositum, jam vero per Belgam…constructum| location = Würzburg|language = latin|publisher = Typis Georgii Fleischmanni}} {{la icon}}</ref><ref name="van roomen by newton">{{cite book| author = [[IsaacΙσαάκ NewtonΝεύτων|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| page = 164}}</ref> Η μέθοδος του φαν Ρόομεν βελτιώθηκε από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]] το 1687 στο έργο του ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'',<ref name="Newton_1687">{{cite book| author = [[IsaacΙσαάκ NewtonΝεύτων|Newton I]]| year = 1687| title = [[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]| nopp = true| page = Book I, Section IV, Lemma 16}}</ref><ref>{{cite book| author = [[IsaacΙσαάκ NewtonΝεύτων|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| pages = 162–165, 238–241}}</ref> και από τον [[Τζον Κέισι]] (''John Casey'') το 1881.<ref name="casey_1881">{{cite book| author = [[John Casey (mathematician)|Casey J]]| origyear = 1881| title = A sequel to the first six books of the Elements of Euclid|isbn=978-1418166090|publisher=Hodges, Figgis & co.|year= 1886| page = 122}}</ref>
 
Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδειας γεωμετρίας]] είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο [[κατασκευές με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].<ref>{{cite book| author = Courant R, Robbins H| year = 1943| title = What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods| publisher = Oxford University Press| location = London| pages = 125–127, 161–162| isbn = 0195105192}}</ref> Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η [[τριχοτόμηση της γωνίας]]. Εντούτοις πολλά τέτοια ''αδύνατα'' προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι [[έλλειψη|ελλείψεις]] και οι [[παραβολή (γεωμετρία)|παραβολές]] ([[κωνική τομή|κωνικές τομές]]). Για παράδειγμα ο [[διπλασιασμός του κύβου]] (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο [[Μέναιχμος]] απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών.<ref>{{cite book|author=Bold B| title = Famous problems of geometry and how to solve them| publisher = Dover Publications| year = 1982| pages = 29–30| isbn = 0486242978}}</ref> Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
 
Ο φίλος του φαν Ρόομεν, [[Φρανσουά Βιέτ]], ο οποίος ήταν αυτός που τον είχε παροτρύνει να δουλέψει πάνω στο απολλώνιο πρόβλημα, ανέπτυξε μία μέθοδο που χρησιμοποιούσε μόνο κανόνα και διαβήτη.<ref name="viete_1970">{{cite book| author = Viète F. |author-link = François Viète| title = Francisci Vietae Opera mathematica | chapter = Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria| publication-date=1646|editor = Frans van Schooten| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.r=.langEN|publisher = ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum)|language = latin| pages = 325–346|year=1600}} {{la icon}}</ref> Πριν την λύση του Βιέτ, ο [[Ρεγκιομοντάνους]] (''Regiomontanus'') αμφέβαλε στο κατά πόσο ήταν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα μόνο με κανόνα και διαβήτη.<ref name="boyer_1991_322">{{cite book| author = [[CarlΚαρλ BenjaminΜπέντζαμιν BoyerΜπόγιερ|Boyer CB]], Merzbach UC| year = 1991| title = A History of Mathematics| edition= 2nd| publisher = John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7| chapter = Apollonius of Perga| page = 322}}</ref> Ο Βιέτ έλυσε αρχικά το πρόβλημα για κάποιες απλές περιπτώσεις, όπως την εύρεση κύκλου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, το οποίο έχει μόνο μία λύση αν τα σημεία είναι διακριτά. Στην συνέχεια έλυσε μερικές πιο πολύπλοκες ειδικές περιπτώσεις, σε κάποιες περιπτώσεις μικραίνοντας ή μεγαλώνοντας τους δεδομένους κύκλους.<ref name="Dörrie 1965"/> Σύμφωνα με μία αναφορά του 4ου αιώνα από τον [[Πάππος|Πάππο]], το βιβλίο του Απολλώνιου για το πρόβλημα με τίτλο ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}'' ([[λατινική γλώσσα|λατ.]]: ''De tactionibus'', ''De contactibus'') ακολουθούσε παρόμοια προσέγγιση.<ref name="pappus"/> Έτσι η λύση του Βιέτ θεωρείται ως μία πιθανή ανακατασκευή αυτής του Απολλώνιου, ενώ έχουν προταθεί ανεξάρτητα και άλλες ανακατασκευές από τρεις διαφορετικούς συγγραφείς.<ref name="alt_reconstructions">[[Robert Simson|Simson R]] (1734) ''Mathematical Collection'', volume VII, p. 117.<br />{{cite book| author = Zeuthen HG| year = 1886| title = Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum| publisher = Unknown| location = Copenhagen| pages = 381–383}} {{de}}<br />{{cite book| author = [[T. L. Heath|Heath TL]]| title = A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 181–185, 416–417}}</ref>
 
Αρκετές άλλες γεωμετρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Η πιο σημαντικές από αυτές ήταν του [[Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ]] (''Jean-Victor Poncelet'') (1811)<ref>{{cite journal| author = [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet J-V]]| month = January| year = 1811| title = Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 3| pages = pp. 271–273}} {{fr icon}}</ref> και του [[Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν]] (1814).<ref name="gergonne_1814" >{{cite journal| author = [[Joseph Diaz Gergonne|Gergonne J]]| date = 1813–1814|title = Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère| journal = Ann. Math. Pures appl.|volume = 4}} {{fr icon}}</ref> Ενώ η μέθοδος του Πονσελέ βασίζονταν στα [[ομοθετικό κέντρο|ομοθετικά κέντρα]] των κύκλων και στο θεώρημα της [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], η μέθοδος του Ζεργκόν εκμεταλλεύτηκε την αντιδιαμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών και των [[πόλος (γεωμετρία)|πόλων]] τους σε ένα κύκλο. Μεθόδους που χρησιμοποιούσαν [[γεωμετρία της αντιστροφής]] πρότεινες πρώτος ο [[Γιούλιους Πέτερσεν]] (''Julius Petersen'') το 1879.<ref name="petersen_1879">{{cite book| author = [[Julius Petersen|Petersen J]]| year = 1879| title = Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems| publisher = Sampson Low, Marston, Searle & Rivington| location = London| pages = 94–95 (Example 403)}}</ref> Ένα παράδειγμα είναι η μέθοδος της δακτυλιοειδούς λύσης του ''[[Harold Scott MacDonald Coxeter|HSM Coxeter]]''.<ref name="coxeter_1968" >{{cite journal| author = [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter HSM]]| year = 1968| title = The Problem of Apollonius| journal = The American Mathematical Monthly| volume = 75| pages = pp. 5–15| doi = 10.2307/2315097| issn = 00029890| month = Jan| day = 01| issue = 1}}</ref> Μια άλλη προσέγγιση χρησιμοποιεί την [[σφαιρική γεωμετρία Lie]],<ref name="zlobec_2001" /> που αναπτύχθηκε από τον [[Sophus Lie]].
 
Αλγεβρικές λύσεις στο απολλώνιο πρόβλημα δόθηκαν για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα από τον [[Ρενέ Ντεκάρτ]] και την [[Ελισάβετ της Βοημίας]], αν και αρκετά πολύπλοκες.<ref name="altshiller-court_1961" /> Πρακτικές αλγεβρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν στα τέλη του 18ου και τον 19ο αιώνα από αρκετούς μαθηματικούς όπως ο [[Λέοναρντ Όιλερ]],<ref>{{cite journal| author = [[LeonhardΛέοναρντ EulerΌιλερ|Euler L]]| year = 1790| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datos tres circulos tangat| journal = Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae| volume = 6| pages = 95–101| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E648.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 270–275.</ref> ο [[Νίκολας Φους]],<ref name="altshiller-court_1961" /> [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]],<ref name="gauss_1810" >{{cite book| author = [[CarlΚαρλ FriedrichΦρίντριχ GaussΓκάους|Gauss CF]]| year = 1873| title = Werke, 4. Band| publisher = Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften| location = Göttingen| edition = reprinted in 1973 by Georg Olms Verlag (Hildesheim)| pages = 399–400| isbn = 3-487-04636-9}} {{de}}</ref> ο [[Λαζάρ Καρνό]],<ref name="carnot_1803a" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1801| title = De la corrélation dans les figures de géométrie| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = No. 158–159}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 390, §334}} {{fr icon}}</ref> και ο [[Αγκουστίν Λουί Κοσί]].<ref>{{cite journal| author = [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy AL]]| month = July| year = 1806| title = Du cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 6| pages = pp. 193–195}} {{fr icon}}</ref>
 
== Μέθοδοι επίλυσης ==
Η επίλυση του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] (1596) βασίζεται στην τομή δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Έστω οι δεδομένοι κύκλοι ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε ''δύο'' δεδομένους κύκλους, όπως ο ''C''<sub>1</sub> και ο ''C''<sub>2</sub>. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] της οποίας οι [[εστία (γεωμετρία)|εστίες]] είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων ''r''<sub>''s''</sub>, ''r''<sub>''1''</sub> και ''r''<sub>''2''</sub>, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση ''d''<sub>1</sub> μεταξύ των κέντρων της λύσης και του ''C''<sub>1</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''1''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''1''</sub>}} ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση ''d''<sub>2</sub> μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του ''C''<sub>2</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''2''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''2''</sub>}} ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub>}} μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
 
Ο [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]] (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομή μιας ευθείας και ενός κύκλου.<ref name="Newton_1687"/> Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα [[τριπλευρισμός|τριπλευρισμού]] (''trilateration''), στον εντοπισμό θέσης του σημείου '''Ζ''' από τρία δεδομένα σημεία '''A''', '''B''' και '''C''', τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το '''Z''' στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. <ref name="Hoshen 1996"/> Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση ('''Z''') και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων ('''A''', '''B''' and '''C''').
[[Αρχείο:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|left|Ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων με σταθερό λόγο αποστάσεων ''d''<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub> προς δύο σταθερά σημεία είναι κύκλος.]]
 
Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νιούτον κατασκεύασε τις [[κωνικέςκωνική τομέςτομή|διευθετούσες ευθείες]]. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο '''Z''' προς μία εστία '''A''' και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται [[εκκεντρότητα]]. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο '''T''' και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστάσεών τους, ο Νιούτον κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το '''Τ''' επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το '''Z'''. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το '''Z''' βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των [[διπολικές συντεταγμένες|διπολικών συντεταγμένων]]) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.
 
=== Η ανακατασκευή του Βιέτ ===
[[Αρχείο:Apollonius solution breathing nolabels.gif|thumb|right|Σχήμα 4: Η επαφή μεταξύ των κύκλων διατηρείται αν οι ακτίνες τους αλλάξουν ισόποσα. Ένας κύκλος-λύση (ροζ) πρέπει να μικρύνει ή να μεγαλώσει όπως και ο εσωτερικά εφαπτόμενός του δοσμένος κύκλος (ο μαύρος δεξιά), ενώ οι εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι (οι δύο μαύροι αριστερά) το ακριβώς αντίθετο.]]
 
Ο Βιέτ ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης '''ΣΣΣ''' (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] όπως περιγράφεται στα [[Στοιχεία]]. Από αυτό εξήγαγε ένα [[λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]] που αντιστοιχεί στο θεώρημα [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΣΣ''' (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση '''ΕΕΕ''' (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις [[διχοτόμος γωνίας|διχοτόμους]]. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Αυτέ είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.
 
Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιέτ εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα&nbsp;4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δ''r'', η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δ''r'', ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δ''r''. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.
Οι συντελεστές ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub> και ''s''<sub>3</sub> στο δεξί μέρος των εξισώσεων μπορεί να επιλεγούν με οκτώ πιθανούς διαφορετικούς τρόπους, και κάθε επιλογή δίνει μέχρι δύο λύσεις καθώς η εξίσωση για το ''r''<sub>''s''</sub> είναι δευτεροβάθμια. Αυτό μπορεί να υπονοεί (λανθασμένα) ότι υπάρχουν έως και δεκαέξι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα. Εντούτοις λόγω συμμετρίας των εξισώσεων, αν (''r''<sub>''s''</sub>, ''x''<sub>''s''</sub>, ''y''<sub>''s''</sub>) είναι μία λύση με συντελεστές ''s''<sub>''i''</sub>, τότε λύση είναι και η (−''r''<sub>''s''</sub>, ''x''<sub>''s''</sub>, ''y''<sub>''s''</sub>), με αντίθετους συντελεστές −''s''<sub>''i''</sub> η οποία αναπαριστά τον ίδιο κύκλο. Επομένως το απολλώνιο πρόβλημα έχει το πολύ οκτώ ανεξάρτητες λύσεις (Σχήμα&nbsp;2). Ένας τρόπος για την αποφυγή της διπλής καταμέτρησης είναι να θεωρηθούν μόνο οι κύκλοι με μη αρνητικές ακτίνες.
 
Οι δύο ρίζες οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να είναι τριών πιθανών τύπων: δύο διαφορετικοί [[πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]], δύο όμοιοι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή μία εκφυλισμένη διπλή λύση) ή ένα ζεύγος [[Μιγαδικός αριθμός#Συζυγής μιγαδικός|συζυγών μιγαδικών]]. Η πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί στην συνήθη περίπτωση, κάθε ζεύγος λύσεων αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος λύσεων που έχουν σχέση με την [[Γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφή του κύκλου]], όπως περιγράφεται παρακάτω (Σχήμα&nbsp;6). Στην δεύτερη περίπτωση, και οι δύο λύσεις είναι ταυτόσημες, και αντιστοιχούν σε ένα κύκλο που αν αντιστραφεί μετατρέπεται στον εαυτό του. Σε αυτή την περίπτωση ένας από τους δεδομένους κύκλους είναι ο ίδιος μία λύση στο απολλώνιο πρόβλημα, και έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά ένα. Η τρίτη περίπτωση των συζυγών μιγαδικών ακτίνων δεν αντιστοιχεί σε κάποια γεωμετρικά πιθανή λύση, καθώς ένας κύκλος δεν μπορεί να έχει φανταστική ακτίνα. Έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά δύο. Είναι ενδιαφέρον ότι το απολλώνιο πρόβλημα δεν μπορεί να έχει επτά λύσεις, ενώ μπορεί να έχει οποιονδήποτε άλλο αριθμό λύσεων από μηδέν έως οκτώ εν γένει.<ref name="pedoe_1970" >{{cite journal| author = [[Daniel Pedoe|Pedoe D]]| year = 1970| title = The missing seventh circle| journal = Elemente der Mathematik| volume = 25| pages = 14–15}}</ref><ref name="bruen_1983" />
 
=== Σφαιρική Γεωμετρία Lie ===
[[Αρχείο:DescartesCircles.svg|thumb|left|Σχήμα 12: Οι δύο λύσεις (κόκκινο) στο απολλώνιο πρόβλημα με αμοιβαίως εφαπτόμενους δοσμένους κύκλους (μαύρο), με σημειωμένες τις καμπυλότητές τους.]]
 
Οποιοσδήποτε από τους κύκλους Soddy αν παρθεί μαζί με τους τρεις δοσμένους κύκλους παράγει ένα σύνολο κύκλων που είναι όλοι αμοιβαίως εφαπτόμενοι σε έξι σημεία. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων σχετίζονται με μία εξίσωση που είναι γνωστή ως [[Θεώρημα του Καρτέσιου]]. Το 1643 σε ένα γράμμα του στην πριγκίπισσα [[Ελισάβετ της Βοημίας]]<ref>[[RenéΡενέ DescartesΝτεκάρτ|Descartes R]], ''Œuvres de Descartes, Correspondance IV'', (C. Adam and P. Tannery, Eds.), Paris: Leopold Cert 1901. {{fr}}</ref> ο [[Ρενέ Ντεκάρτ|Καρτέσιος]] έδειξε ότι:
 
:<math>
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί από το επίπεδο σε [[σφαίρα|σφαιρική επιφάνεια]] και άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Για την σφαίρα, το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή όλων των κύκλων (όρια των [[σφαιρική τομή|σφαιρικών τομών]]) που εφάπτονται σε τρεις δοσμένους κύκλους επί της σφαίρας.<ref name="gergonne_1814" /><ref name="carnot_1803b" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 415, §356}}</ref><ref name="vanson_1855" >{{cite journal| author = Vannson| year = 1855| title = Contact des cercles sur la sphère, par la geométrie| journal = Nouvelles Annales de Mathématiques| volume = XIV| pages = 55–71}} {{fr icon}}</ref> Αυτό το σφαιρικό πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί σε επίπεδο πρόβλημα χρησιμοποιώντας [[στερεογραφική προβολή]]. Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις στο επίπεδο πρόβλημα μπορούν να καθοριστούν οι λύσεις του του σφαιρικού προβλήματος με αντιστροφή της στερεογραφικής προβολής. Ακόμα γενικότερα, μπορεί να θεωρηθεί το πρόβλημα τεσσάρων εφαπτόμενων καμπυλών που προκύπτουν από την τομή τυχαίων δευτεροβάθμιων επιφανειών με τέσσερα επίπεδα, όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τον ''[[Charles Dupin]].<ref name="altshiller-court_1961" />
 
Λύνοντας το απολλώνιο πρόβλημα επαναληπτικά για την εύρεση των εγγεγραμμένων κύκλων, τα κενά μεταξύ των εφαπτόμενων κύκλων μπορούν να πληρωθούν αυθαίρετα, σχηματίζοντας το [[απολλώνιο έμβυσμα]], γνωστή και ως ''Leibniz packing'' ή ''Apollonian packing''.<ref>{{cite journal| author = Kasner E, Supnick F| year = 1943| title = The Apollonian packing of circles| journal = Proc. Natl. Acad. Sci. USA| volume = 29| pages = 378–384| doi = 10.1073/pnas.29.11.378| pmid = 16588629| month = Dec| issue = 11| issn = 0027-8424| url = http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pubmed&pubmedid=16588629| format = Free full text}}</ref> Αυτό το έμβυσμα είναι [[φράκταλ]], όντας αυτοόμοιο και έχοντας [[διάσταση Hausdorff]] ''d'' η οποία δεν είναι μεν γνωστή με ακρίβεια αλλά είναι της τάξης του 1,3,,<ref name="boyd_1973">{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = Improved Bounds for the Disk Packing Constants| journal = Aeq. Math.| volume = 9| pages = 99–106| doi = 10.1007/BF01838194}}<br />{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = The Residual Set Dimension of the Apollonian Packing| journal = Mathematika| volume = 20| pages = 170–174}}<br />{{cite journal|last=McMullen|first= Curtis T|title= Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension|url=http://abel.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf|journal=American Journal of Mathematics|volume=120|year=1998|pages=691–721|format=PDF|doi=10.1353/ajm.1998.0031}}</ref> το οποίο είναι μεγαλύτερη από από μία [[κανονική καμπύλη|κανονική]] (ή πεπερασμένου μήκους) καμπύλη (''d'' = 1) αλλά μικρότερη από από αυτή του επιπέδου (''d'' = 2). Το απολλώνιο έμβυσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] τον 17ο αιώνα, και είναι καμπύλος πρόδρομος του [[Τρίγωνο Sierpiński|τριγώνου Sierpiński]].<ref>{{cite book| author = [[BenoitΜπενουά MandelbrotΜάντελμπροτ|Mandelbrot B]]| year = 1983| title = The Fractal Geometry of Nature| publisher = W. H. Freeman| location = New York| isbn = 978-0716711865| page = 170}}<br />{{cite book| author = Aste T, [[Denis Weaire|Weaire D]]| year = 2008| title = In Pursuit of Perfect Packing| edition = 2nd| publisher = Taylor and Francis| location = New York| isbn = 978-1420068177| pages = 131–138}}</ref> Το απολλώνιο έμβυσμα έχει στενούς δεσμούς με άλλα πεδία των μαθηματικών, για παράδειγμα, είναι το οριακό σύνολο των [[σύνολα Klein|συνόλων Klein]].<ref>{{cite book| author = [[David Mumford|Mumford D]], Series C, Wright D| year = 2002| title = Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-35253-3| pages = 196–223}}</ref>
 
Η διάταξη με ένα κύκλο να εφάπτεται σε ''τέσσερις'' κύκλους στο επίπεδο έχει ειδικές ιδιότητες, οι οποίες διερευνήθηκαν από τον ''Larmor'' (1891)<ref name="larmor_1891">{{cite journal| author = Larmor A| year = 1891| title = Contacts of Systems of Circles| journal = Proc. London Math. Soc.| volume = 23| pages = 136–157| doi = 10.1112/plms/s1-23.1.135}}</ref> και τον ''Lachlan'' (1893).<ref name="lachlan_1893">{{cite book| author = Lachlan R| year = 1893| title = An elementary treatise on modern pure geometry| publisher = Macmillan| location = London| id = ASIN B0008CQ720| pages = §383–396, pp. 244–251| isbn = 1429700505}}</ref> Αυτή η διάταξη είναι και η βάση του [[Θεώρημα του Casey|θεωρήματος του Casey]],<ref name="casey_1881" /> όντας ταυτόχρονα και γενίκευση του [[Θεώρημα του Πτολεμαίου|θεωρήματος του Πτολεμαίου]].<ref name="johnson_1929" />
 
Η επέκταση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις, δηλαδή το πρόβλημα εύρεσης σφαίρας που να εφάπτεται σε τέσσερις δοσμένες σφαίρες, μπορεί να λυθεί με ανάλογες μεθόδους.<ref name="altshiller-court_1961" /> Για παράδειγμα, οι δοσμένες και η σφαίρα-λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος έτσι ώστε μία δεδομένη σφαίρα να ελαττωθεί σε σημείο διατηρώντας τις επαφές όλων των σφαιρών.<ref name="ogilvy_1969" /> Η αντιστροφή σε αυτό το σημείο, μετασχηματίζει το πρόβλημα σε αυτό της εύρεσης ενός επιπέδου που να είναι εφαπτόμενο σε τρεις δοσμένες σφαίρες. Υπάρχουν εν γένει οκτώ τέτοια επίπεδα, τα οποία δίνουν τις λύσεις του αρχικού προβλήματος αναστρέφοντας την αντιστροφή και επαναφέροντας το μέγεθος. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε πρώτη φορά από τον [[Πιέρ ντε Φερμά]],<ref>[[Pierreπιέρ deντε FermatΦερμά|de Fermat P]], ''Varia opera mathematica'', p. 74, Tolos, 1679.</ref> ενώ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι ανά τους αιώνες.<ref name="fermat_problem_solutions" >{{cite journal| author = [[LeonhardΛέοναρντ EulerΌιλερ|Euler L]]| year = 1810| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur sphaera, quae datas quatuor sphaeras utcunque dispositas contingat| journal = Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg| volume = 2| pages = 17–28| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E733.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 334–343.<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Imprimerie de Crapelet, chez J. B. M. Duprat| location = Paris| pages = 357, §416}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Jean Nicolas Pierre Hachette|Hachette JNP]]| month = September| year = 1808| title = Sur le contact des sphères; sur la sphère tangente à quatre sphères données; sur le cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 2| pages = pp. 27–28}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1810| title = De la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 2| pages = pp. 63–66}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1813| title = Solution analytique du problème de la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = pp. 409–410}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Charles Dupin|Dupin C]]| month = January| year = 1813| title = Mémoire sur les sphères| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = p. 423}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = Reye T| year = 1879| title = Synthetische Geometrie der Kugeln| publisher = B. G. Teubner| location = Leipzig| url = http://www.gutenberg.org/files/17153/17153-pdf.pdf|format=PDF}} {{de}}<br />{{cite journal| author = [[Joseph Alfred Serret|Serret JA]]| year = 1848| title = De la sphère tangente à quatre sphères donnèes| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik| volume = 37| pages = 51–57| url = http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=510729}} {{fr}}<br />{{cite journal| author = Coaklay GW| date = 1859–1860| title = Analytical Solutions of the Ten Problems in the Tangencies of Circles; and also of the Fifteen Problems in the Tangencies of Spheres| journal = The Mathematical Monthly| volume = 2| pages = 116–126}}<br />{{cite journal| author = [[Benjamin Alvord (mathematician)|Alvord B]]| year = 1882| title = The intersection of circles and intersection of spheres| journal = American Journal of Mathematics| volume = 5| pages = 25–44, with four pages of Figures| doi = 10.2307/2369532| issn = 00029327| month = Jan| day = 01| issue = 1}}<br /></ref>
 
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί σε ''d'' διαστάσεις, ώστε να ζητείται η κατασκευή [[υπερσφαίρα3-σφαίρα|υπερσφαιρών]] εφαπτόμενων σε ένα σύνολο {{nowrap|''d'' + 1}} υπερσφαιρών.<ref name="dreschler sterz"/> Μετά την δημοσίευση του ''[[Frederick Soddy]]'' μιας νέας απόδειξης του [[Θεώρημα του Καρτέσιου|θεωρήματος του Καρτέσιου]] το 1936, αρκετοί έλυσαν (ανεξάρτητα) την περίπτωση των αμοιβαίως εφαπτόμενων αντικειμένων που αντιστοιχεί στους κύκλους Soddy ''d'' διαστάσεων.<ref name="gossett_1937" >{{cite journal| author = Gossett T| year = 1937| title = The Kiss Precise| journal = [[Nature (journal)|Nature]]| volume = 139| pages = 62| doi = 10.1038/139062a0}}</ref>
 
== Εφαρμογές ==
Η κύρια εφαρμογή του απολλώνιου προβλήματος, όπως διατυπώθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, είναι ο [[υπερβολικός εντοπισμός θέσης|υπερβολικός τριπλευρισμός]], ο οποίος έχει στόχο τον καθορισμό της θέσεις από τις ''διαφορές'' αποστάσεων μεταξύ τουλάχιστον τριών σημείων.<ref name="Schmidt 1972">{{cite journal| author = Schmidt, RO| year = 1972| title = A new approach to geometry of range difference location| journal = IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems| volume = AES-8| pages = 821–835| doi = 10.1109/TAES.1972.309614}}</ref> Για παράδειγμα ένα πλοίο μπορεί να ζητά να καθορίσει την θέση του από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης σημάτων από τρεις συγχρονισμένους μεταδότες. Λύσεις του απολλώνιου προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν στον [[ΠρώτοςΑ΄ Παγκόσμιος Πόλεμος|Α' Παγκόσμιο Πόλεμο]] για να καθοριστεί η θέσει ενός στοιχείου πυροβολικού από τον χρόνο που χρειάστηκε για να ακουστεί μια βολή σε τρεις διαφορετικές θέσεις,<ref name="altshiller-court_1961" /> ενώ ο υπερβολικό τριπλευρισμός είναι η αρχή που χρησιμοποιούν το [[Σύστημα πλοήγησης Decca]] και το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].<ref name="Hofmann-Wellenhof">{{cite book|title=Navigation: Principles of Positioning and Guidance|author=Hofmann-Wellenhof B, Legat K, Wieser M, Lichtenegger H|publisher= Springer|year= 2003|isbn=978-3211008287}}</ref> Παρομοίως η θέση ενός αεροσκάφους μπορεί να καθοριστεί από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης του σήματος του [[αναμεταδότης (αεροπορία)|αναμεταδότη]] του σε τέσσερις σταθμούς λήψης. Αυτό το πρόβλημα [[πολυπλευρισμός|πολυπλευρισμού]] είναι ανάλογο με την γενίκευση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις και έχει εφαρμογές σε [[GNSS|παγκόσμιου εντοπισμού θέσης]] όπως το [[Global Positioning System|GPS]].<ref name="Hoshen 1996" >{{cite journal| author = Hoshen J| year = 1996| title = The GPS Equations and the Problem of Apollonius| journal = IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems| volume = 32| pages = 1116–1124| doi = 10.1109/7.532270}}</ref> Χρησιμοποιείται ακόμα για τον καθορισμό της θέσης ζώων (πουλιά και φάλαινες) αν και δεν λαμβάνεται υπόψη στο πρόβλημα το γεγονός της διαφοράς στην [[ταχύτητα του ήχου]] ανάλογα με την διεύθυνση (το μέσο διάδοσης δεν είναι ισότροπο).<ref name="spiesberger_2004">{{cite journal| author = Spiesberger, JL| year = 2004| title = Geometry of locating sounds from differences in travel time: Isodiachrons| journal = The Journal of the Acoustic Society of America| volume = 116| pages =3168–3177| doi = 10.1121/1.1804625}}</ref>
 
Το απολλώνιο πρόβλημα έχει και άλλες εφαρμογές. Στα ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'' (Βιβλίο 1, Πρόταση 21) ο Ισαάκ Νιούτον χρησιμοποίησε την λύση του απολλώνιου προβλήματος για να κατασκευάσει μία τροχιά στην [[ουράνια μηχανική]] από το κέντρο έλξης και παρατηρήσεις των εφαπτόμενων ευθειών στην τροχιά που αντιστοιχούν σε στιγμιαίες ταχύτητες.<ref name="altshiller-court_1961" /> Η ειδική περίπτωση του προβλήματος στην οποία οι τρεις δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους βρίσκει εφαρμογή στην [[μέθοδος κύκλου Hardy–Littlewood|μέθοδο κύκλου Hardy–Littlewood]] της [[αναλυτική θεωρία αριθμών|αναλυτικής θεωρίας αριθμών]] για την κατασκευή της καμπύλης [[Hans Rademacher]] για την μιγαδική ολοκλήρωση, που δίνεται από τα όρια ενός απειροσυνόλου [[κύκλος Ford|κύκλων Ford]], που καθένας εξ αυτών εφάπτεται με μερικούς άλλους.<ref>{{cite book| author = [[Tom M. Apostol|Apostol TM]]| title = Modular functions and Dirichlet series in number theory| publisher = [[Springer-Verlag]]| location = New York| edition = 2nd| isbn = 978-0-387-97127-8| year = 1990}}</ref> Τέλος, το απολλώνιο πρόβλημα έχει εφαρμογές σε μερικούς τύπους [[πρόβλημα συσκευασίας|προβλημάτων συσκευασίας]] τα οποία προκύπτουν σε διάφορα πεδία όπως στον κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων που χρησιμοποιείται στα [[DVD]] και στον σχεδιασμό φαρμακευτικών παρασκευασμάτων που συνδέονται με ένα συγκεκριμένο [[ένζυμο]] κάποιου παθογενούς [[βακτήριο|βακτηρίου]].<ref>{{cite journal| author = Lewis RH, Bridgett S| year = 2003| title = Conic Tangency Equations and Apollonius Problems in Biochemistry and Pharmacology| journal = Mathematics and Computers in Simulation| volume = 61| pages = 101–114| doi = 10.1016/S0378-4754(02)00122-2}}</ref>
 
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
 
 
{{Link FA|ca}}