Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Egmontaz (συζήτηση | συνεισφορές)
Egmontaz (συζήτηση | συνεισφορές)
Γραμμή 353:
 
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται στους ορισμούς των [[διάσταση φράκταλ|διαστάσεων]] [[φράκταλ]].<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά αντικείμενα με την ιδιότητα της [[αυτοομοιότητα]]ς: τα μικρότερα μέρη αναπαράγουν, τουλάχιστον χοντρικά, την πλήρη δομή. Το [[τρίγωνο Σιερπίνσκι]] (εικόνα) μπορεί να καλυφθεί από τρία αντίγραφα του εαυτού του, το καθένα με το μισό αρχικό μήκος. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η [[διάσταση Hausdorff]] της δομής να είναι {{nowrap begin}}log(3)/log(2) ≈ 1.58{{nowrap end}}. Μία άλλη βασισμένη στους λογάριθμους έννοια διάσταση, αποκτάται με το μέτρημα των κουτιών που απαιτούνται για την κάληψη του υπό εξέταση φράκταλ ([[διάσταση Minkowski–Bouligand]]).
 
=== Μουσική ===
 
Οι λογάριθμοι σχετίζονται με τους μουσικούς τόνους και τα [[μουσικό διάστημα|μουσικά διαστήματα]]. Στον [[ισοσυγκερασμός|ισοσυγκερασμό]], ο λόγος των συχνοτήτων εξαρτάται μόνο εξαρτάται μόνο από το διάστημα μεταξύ δύο τόνων, όχι από την συγκεκριμένη συχνότητα ή το [[τονικό ύψος|ύψος]] του κάθε τόνου. Για παράδειγμα, η νότα [[Λα]] έχει συχνότητα 440&nbsp;[[Hertz|Hz]] και η νότα [[Σι ύφεση]] έχει συχνότητα 466&nbsp;Hz. Αντίστοιχα συμφωνεί ο λόγος των συχνοτήτων:
 
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>
 
Συνεπώς, οι λογάριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή διαστημάτων: ένα διάστημα μετριέται σε ημιτόνια λαμβάνοντας τον λογάριθμο με βάση την δωδέκατη ρίζα του 2 ({{nowrap|2<sup>1/12</sup>}}) του λόγου των συχνοτήτων, ενώ με τον λογάριθμο με βάση την 1200ή ρίζα του 2 του λόγου των συχνοτήτων το διάστημα μετριέται σε [[σεντ (μουσική)|σέντς]] (''cents''), εκατοστά του ημιτονίου. Το τελευταίο χρησιμοποιείται για ακριβέστερη κωδικοποίηση σε μή ισοσυγκερασμένα συστήματα.<ref>{{Citation|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chapter 5</ref>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Διάστημα'''<br>(<small>οι δύο τόνοι στα παραδείγματα παίζονται ταυτόχρονα</small>)
||1/12 του τόνου {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|play}}
||[[Ημιτόνιο]] {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|play}}
||[[Ορθό χόδισμα|Ορθή μείζων τρίτη]] {{audio|help=no|Just_major_third_on_C.mid|play}}
||[[Μείζων τρίτη]] {{audio|help=no|Major_third_on_C.mid|play}}
||[[Τρίτωνας (μουσική)|Τρίτωνας]] {{audio|help=no|Tritone_on_C.mid|play}}
||[[Οκτάβα]] {{audio|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|play}}
|-
|| '''Λόγος συχνοτήτων''' ''r''
|| <math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097</math>
|| <math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595</math>
|| <math>\tfrac 5 4 = 1.25</math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} </math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''Αντίστοιχος αριθμός ημιτονίων'''<br><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6 \,</math>
|| <math>1 \,</math>
|| <math>\approx 3.8631 \,</math>
|| <math>4 \,</math>
|| <math>6 \,</math>
|| <math>12 \,</math>
|-
|| '''Αντίστοιχος αριθμός σεντς'''<br><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3 \,</math>
|| <math>100 \,</math>
|| <math>\approx 386.31 \,</math>
|| <math>400 \,</math>
|| <math>600 \,</math>
|| <math>1200 \,</math>
|}
 
===Θεωρία αριθμών===
Οι φυσικοί λογάριθμοι συνδέονται στενά με την [[απαρίθμηση των πρώτων αριθμών]] (2, 3, 5, 7, 11, ...), σημαντικό θέμα στην [[θεωρία αριθμών]]. Για οποιονδήποτε [[ακέραιος|ακέραιο]] ''x'', η ποσότητα των [[πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]] που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το ''x'' συμβολίζεται ως π(''x''). Σύμφωνα με το [[θεώρημα των πρώτων αριθμών]], το π(''x'') δίνεται προσεγγιστικά από τον τύπο:
 
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
υπό την έννοια ότι ο λόγος του π(''x'') και αυτής της συνάρτησης προσεγγίζει το 1 όταν το ''x'' τείνει στο άπειρο.<ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3 |oclc=492669517|year=2004}}, theorem 4.1</ref> Κατά συνέπεια, η πιθανότητα ένας τυχαίος αριθμός μεταξύ του 1 και του ''x'' να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως [[αναλογία (μαθηματικά)|ανάλογη]] με τον αριθμό των ψηφίων του ''x''. Μία πολύ καλύτερη εκτίμηση του π(''x'') δίνεται από τo [[λογαριθμικό ολοκλήρωμα]] Li(''x''), το οποίο ορίζεται ως
 
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>
Η [[υπόθεση Riemann]], μία από τις παλαιότερες μη αποδεδειγμένες υποθέσεις, μπορεί να εκφραστεί ως σύγκριση των π(''x'') και Li(''x'').<ref>{{Harvard citations|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=2004|nb=yes |loc=Theorem 8.15}}</ref> Το [[θεώρημα Erdős–Kac]] που περιγράφει τον αριθμό των διακριτών [[πρώτος παράγοντας|πρώτων παραγόντων]] επίσης περιλαμβάνει τον φυσικό λογάριθμο.
 
Ο λογάριθμος του ''n'' [[παραγοντικό|παραγοντικού]], {{nowrap begin}}''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''{{nowrap end}}, δίνεται από τον τύπο
 
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του [[τύπος του Stirling|τύπου του Stirling]], μίας προσέγγισης του ''n''! για μεγάλους ''n''.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=[[CRC Press]]|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>
 
== Σημειώσεις ==
{{reflist|2|group="σημ."}}
 
== Σημειώσεις ==