Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Οι λογάριθμοι εμφανίζονται επίσης στις [[λογαριθμοκανονική κατανομή|λογαριθμοκανονικές κατανομές]]. Όταν ο λογάριθμος μίας [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίας μεταβλητής]] έχει [[κανονική κατανομή]], τότε λέγεται ότι η μεταβλητική έχει λογαριθμοκανονική κατανομή.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J. A. C.|title=The lognormal distribution|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935|year=1969}}</ref> Οι λογαριθμοκανονικές κατανομές εμφανίζονται σε πολλά πεδία, οπουδήποτε η μεταβλητή σχηματίζεται ως γινόμενο πολλών ανεξάρτητων θετικών τυχαίων μεταβλητών, όπως για παράδειγμα στη μελέδη της τύρβης.<ref>{{Citation | title = An introduction to turbulent flow | author = Jean Mathieu and Julian Scott | publisher = Cambridge University Press | year = 2000 | isbn = 9780521775380 | page = 50 | url = http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 }}</ref>

 

 

Ο [[νόμος του Benford]] περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά [[σύνολο δεδομένων|σύνολα δεδομένων]], όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι ''d'' (από 1 έως 9) ισούται με log₁₀(''d'' + 1) − log₁₀(''d''), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, section 2.1</ref> Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.<ref>{{Citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi| first2=William | last2 = Hillison | first3 = Carl | last3 = Pacini | url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf| volume=V |pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting}}</ref>

===Υπολογιστική πολυπλοκότητα===

 

 

Για παράδειγμα, για την εύρεση ενός αριθμού σε ένα ταξινομημένο κατάλογο, ο [[Δυαδική αναζήτηση|αλγόριθμος δυαδικής αναζήτησης]] ελέγχει τη μεσαία καταχώρηση και προχωρά με τον μισό κατάλογο πριν ή μετά το μεσαίο αν ο αριθμός δεν έχει ακόμα βρεθεί. Αυτός ο αλγόριθμος απαιτεί, κατά μέσο όρο, log₂(''N'') συγκρίσεις, όπου ''N'' είναι το μήκος του καταλόγου.<ref>{{citation | last = Knuth | first = Donald | authorlink = Donald Knuth | title = The Art of Computer Programming | publisher = Addison-Wesley |location=Reading, Mass. | year= 1998| isbn = 978-0-201-89685-5 |ref=nb}}, section 6.2.1, pp. 409–426</ref> Παρομοίως, ο αλγόριθμος [[merge sort]] ταξινομεί ένα αταξινόμητο κατάλογο χωρίζοντάς τον στη μέση και ταξινομώντας πρώτα τα μισά πριν συνδυάσει τα αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι merge sort τυπικά απαιτούν χρόνο [[συμβολισμός O|περίπου ανάλογο του]] {{nowrap|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=section 5.2.4, pp. 158–168|nb=yes}}</ref> Η βάση του λογάριθμου δεν καθορίζεται εδώ επειδή το αποτέλεσμα αλλάζει μόνο κατά ένα σταθερό παράγοντα όταν χρησιμοποιείται άλλη βάση. Ένας σταθερός παράγοντας, συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση αλγορίθμων υπό το τυπικό μοντέλο ομοιόμορφου κόστους.<ref name=Wegener20>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>

Το άθροισμα αφορά όλες τις πιθανές καταστάσεις ''i'' του υπό εξέταση συστήματος, όπως οι θέσεις των σωματιδίων αερίου σε ένα δοχείο. Επιπλέον, ''p''_''i'' είναι η πιθανότητα ότι έχει επιτευχθεί η κατάσταση ''i'' και ''k'' είναι η [[σταθερά Boltzmann]]. Παρομοίως, η [[εντροπία (θεωρία πληροφοριών)|εντροπία στη θεωρία πληροφοριών]] μετράει την ποσότητα της πληροφορίας/ Αν ένας αποδέκτης μηνύματος αναμένει οποιοδήποτε από τα ''N'' πιθανά μυνήματα με την ίδια πιθανότητα, τότε η ποσότητα πληροφορίας που μεταβιβάζεται από οποιοδήποτε τέτοιο μήνυμα ποσοτικοποιείται ως log₂(''N'') bit.<ref>{{Citation|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work |publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, section III.I</ref>

 

 

===Φράκταλ===

 

:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>

 

:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>

 

Ο λογάριθμος του ''n'' [[παραγοντικό|παραγοντικού]], {{nowrap begin}}''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''{{nowrap end}}, δίνεται από τον τύπο

 

:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>

 

== Σημειώσεις ==