Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2»

μ
δρθ
μ (δρθ)
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται επίσης στις [[λογαριθμοκανονική κατανομή|λογαριθμοκανονικές κατανομές]]. Όταν ο λογάριθμος μίας [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίας μεταβλητής]] έχει [[κανονική κατανομή]], τότε λέγεται ότι η μεταβλητική έχει λογαριθμοκανονική κατανομή.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J. A. C.|title=The lognormal distribution|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935|year=1969}}</ref> Οι λογαριθμοκανονικές κατανομές εμφανίζονται σε πολλά πεδία, οπουδήποτε η μεταβλητή σχηματίζεται ως γινόμενο πολλών ανεξάρτητων θετικών τυχαίων μεταβλητών, όπως για παράδειγμα στη μελέδη της τύρβης.<ref>{{Citation | title = An introduction to turbulent flow | author = Jean Mathieu and Julian Scott | publisher = Cambridge University Press | year = 2000 | isbn = 9780521775380 | page = 50 | url = http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 }}</ref>
 
Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για την [[εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας]] παραμετρικών [[στατιστικό μοντέλο|στατιστικών μοντέλων]]. Για ένα τέτοιο μοντέλο, η [[συνάρτηση πιθανοφάνειας]] (''likelihood function'') εξαρτάται από τουλάχιστον μία [[παραμετρικό μοντέλο|παράμετρο]] που χρειάζεται να εκτιμηθεί. Ένα μέγιστο για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας εμφανίζεται στην ίδια παράμετρο-τιμή όπως και στο μέγιστο του λογάριθμου της πιθανοφάνειας (λογαριθμο-πιθανοφάνεια), επειδή ο λογάριθμος είναι αύξουσα συνάρτηση.Η λογαριθμο-πιθανοφάνεια είναι ευκολότερο να μεγιστοποιηθεί, ειδικότερα για τις πολλαπλασιασμένες πιθανοφάνεις [[ανεξαρτησία (πιθανότητα)|ανεξάρτητων]] τυχαίων μεταβλητών.<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, section 11.3</ref>
 
Ο [[νόμος του Benford]] περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά [[σύνολο δεδομένων|σύνολα δεδομένων]], όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι ''d'' (από 1 έως 9) ισούται με log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d''), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, section 2.1</ref> Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.<ref>{{Citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi| first2=William | last2 = Hillison | first3 = Carl | last3 = Pacini | url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf| volume=V |pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting}}</ref>
===Υπολογιστική πολυπλοκότητα===
 
Η [[ανάλυση αλγορίθμων]] είναι κλάδος της [[επιστήμη υπολογιστών|επιστήμης υπολογιστών]] που μελετά την απόδοση [[αλγόριθμος|αλγορίθμων]].<ref name=Wegener>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pages 1-2</ref> Οι λογάριθμοι είναι πολύτιμοι για την περιγραφεί αλγόριθμων οι οποίοι [[Διαίρει και βασίλευε (υπολογιστές)|χωρίζουν ένα πρόβλημα]] σε μικρότερα, και έπειτα συνδυάζονται οι λύσει των υποπροβλημάτων.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, p. 143</ref>
 
Για παράδειγμα, για την εύρεση ενός αριθμού σε ένα ταξινομημένο κατάλογο, ο [[Δυαδική αναζήτηση|αλγόριθμος δυαδικής αναζήτησης]] ελέγχει τη μεσαία καταχώρηση και προχωρά με τον μισό κατάλογο πριν ή μετά το μεσαίο αν ο αριθμός δεν έχει ακόμα βρεθεί. Αυτός ο αλγόριθμος απαιτεί, κατά μέσο όρο, log<sub>2</sub>(''N'') συγκρίσεις, όπου ''N'' είναι το μήκος του καταλόγου.<ref>{{citation | last = Knuth | first = Donald | authorlink = Donald Knuth | title = The Art of Computer Programming | publisher = Addison-Wesley |location=Reading, Mass. | year= 1998| isbn = 978-0-201-89685-5 |ref=nb}}, section 6.2.1, pp. 409–426</ref> Παρομοίως, ο αλγόριθμος [[merge sort]] ταξινομεί ένα αταξινόμητο κατάλογο χωρίζοντάς τον στη μέση και ταξινομώντας πρώτα τα μισά πριν συνδυάσει τα αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι merge sort τυπικά απαιτούν χρόνο [[συμβολισμός O|περίπου ανάλογο του]] {{nowrap|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=section 5.2.4, pp. 158–168|nb=yes}}</ref> Η βάση του λογάριθμου δεν καθορίζεται εδώ επειδή το αποτέλεσμα αλλάζει μόνο κατά ένα σταθερό παράγοντα όταν χρησιμοποιείται άλλη βάση. Ένας σταθερός παράγοντας, συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση αλγορίθμων υπό το τυπικό μοντέλο ομοιόμορφου κόστους.<ref name=Wegener20>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>
Το άθροισμα αφορά όλες τις πιθανές καταστάσεις ''i'' του υπό εξέταση συστήματος, όπως οι θέσεις των σωματιδίων αερίου σε ένα δοχείο. Επιπλέον, ''p''<sub>''i''</sub> είναι η πιθανότητα ότι έχει επιτευχθεί η κατάσταση ''i'' και ''k'' είναι η [[σταθερά Boltzmann]]. Παρομοίως, η [[εντροπία (θεωρία πληροφοριών)|εντροπία στη θεωρία πληροφοριών]] μετράει την ποσότητα της πληροφορίας/ Αν ένας αποδέκτης μηνύματος αναμένει οποιοδήποτε από τα ''N'' πιθανά μυνήματα με την ίδια πιθανότητα, τότε η ποσότητα πληροφορίας που μεταβιβάζεται από οποιοδήποτε τέτοιο μήνυμα ποσοτικοποιείται ως log<sub>2</sub>(''N'') bit.<ref>{{Citation|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work |publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, section III.I</ref>
 
Οι [[εκθέτης Lyapunov|εκθέτες Lyapunov]] κάνουν χρήση λογαρίθμων για την μέτρηση της χαοτικότητας ενός [[δυναμικό σύστημα|δυναμικού συστήματος]]. Για παράδειγμα, για ένα σωματίδιο που κινείται σε ένα οβάλ τραπέζι μπιλιάρδου, ακόμα και μικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών έχουν αποτέλεσμα πολύ διαφορετικές τροχιές. Τέτοια συστήματα είναι [[θεωρία του χάους|χαοτικά]] κατά [[ντετερμινιστικό σύστημα|ντετερμινιστικό]] τρόπο επειδή μικρά σφάλματα μετρήσεων της αρχικής κατάστασης οδηγούν με προβλέψιμο τρόπο σε πολύ διαφορετικές τελικές καταστάσεις.<ref>{{Citation | last1=Sprott | first1=Julien Clinton | title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | url=http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C | publisher=[[World Scientific]] |location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0| year=2010}}, section 1.9</ref> Τουλάχιστον ένας εκθέτης Λιαπούνοφ ενός ντετερμινιστικώς χαοτικού συστήματος είναι θετικός.
 
===Φράκταλ===
 
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
υπό την έννοια ότι ο λόγος του π(''x'') και αυτής της συνάρτησης προσεγγίζει το 1 όταν το ''x'' τείνει στο άπειρο.<ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3 |oclc=492669517|year=2004|ref=harv}}, theorem 4.1</ref> Κατά συνέπεια, η πιθανότητα ένας τυχαίος αριθμός μεταξύ του 1 και του ''x'' να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως [[αναλογία (μαθηματικά)|ανάλογη]] με τον αριθμό των ψηφίων του ''x''. Μία πολύ καλύτερη εκτίμηση του π(''x'') δίνεται από τo [[λογαριθμικό ολοκλήρωμα]] Li(''x''), το οποίο ορίζεται ως
 
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>
Η [[υπόθεση Riemann]], μία από τις παλαιότερες μη αποδεδειγμένες υποθέσεις, μπορεί να εκφραστεί ως σύγκριση των π(''x'') και Li(''x'').<ref>{{Harvard citationsharvnb|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=2004|nb=yes |loc=Theorem 8.15}}</ref> Το [[θεώρημα Erdős–Kac]] που περιγράφει τον αριθμό των διακριτών [[πρώτος παράγοντας|πρώτων παραγόντων]] επίσης περιλαμβάνει τον φυσικό λογάριθμο.
 
Ο λογάριθμος του ''n'' [[παραγοντικό|παραγοντικού]], {{nowrap begin}}''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''{{nowrap end}}, δίνεται από τον τύπο
 
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του [[τύπος του Stirling|τύπου του Stirling]], μίας προσέγγισης του ''n''! για μεγάλους ''n''.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=[[CRC Press]]|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>
 
== Σημειώσεις ==
26.490

επεξεργασίες