Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→Σημειώσεις: + |
|||
Γραμμή 424:
Το [[όρισμα (μιγαδική ανάλυση)|όρισμα]] φ δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τον ''z'': το φ' = φ + 2π είναι επίσης όρισμα του ''z'' επειδή προσθέτοντας 2π ακτίνια ή 360 μοίρες{{#tag:ref|Δείτε [[ακτίνιο]] για την μετατροπή μεταξύ 2[[Αριθμός π|π]] και 360 [[Μοίρα (κύκλου)|μοίρες]].|group="σημ."}} στο όρισμα φ αντιστοιχεί με αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία 2π. Ο μιγαδικός αριθμός που προκύπτει έτσι είναι πάλι ο ''z'', όπως φαίνεται στα δεξιά. Ωστόσο, μόνο ένα όρισμα φ ικανοποιεί τις {{nowrap|−π < φ}} και {{nowrap|φ ≤ π}}. Αυτό αποκαλείται ''κύριο'' ή ''πρωτεύον'' όρισμα και συμβολίζεται Arg(''z''), με κεφαλαίο Α.<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> (Μία εναλλακτική κανονικοποίηση είναι η {{nowrap|0 ≤ Arg(''z'') < 2π}}.<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007}}, section 5.9</ref>)
[[File:Complex log.jpg|right|thumb|Ο κύριος κλάδος του μιγαδικού λογάριθμου, Log(''z''). Το μαύρο σημείο στο {{nowrap|''z'' {{=}} 1}} αντιστοιχεί σε απόλυτη τιμή μηδέν και τα πιο ανοιχτά (σε [[ένταση (χρώμα)|ένταση]]) χρώματα αντιστοιχούν σε μεγαλύτερες απόλυτες τιμές. Η [[απόχρωση]] του χρώματος αντιστοιχεί στο όρισμα του Log(''z'').]]
Με την χρήση των [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] του [[ημίτονο|ημιτόνου]] και του [[συνημίτονο|συνημιτόνου]], ή της [[μιγαδική εκθετική συνάρτηση|μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης]], αντίστοιχα, τα ''r'' και φ είναι τέτοια ώστε ικανοποιούν ταυτότητες:<ref>{{Citation|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=[[World Scientific]]|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, section 1.2</ref>
:<math>\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r e^{i \varphi}.
\end{array} \,
</math>
Αυτό υποδηλώνει ότι η ''a''-οστή δύναμη του ''e'' ισούται με το ''z'', όπου
:<math>a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,</math>
το φ είναι το κύριο όρισμα Arg(''z'') και ''n'' είναι τυχαίος ακέραιος. Οποιοσήποτε τέτοιος ''a'' καλείται μιγαδικός λογάριθμος του ''z''. Υπάρχουν άπειροι μιγαδικοί λογάριθμοι ενός αριθμού, εν αντιθέσει με τον μοναδικά οριζόμενο πραγματικό λογάριθμο. Αν {{nowrap begin}}''n'' = 0{{nowrap end}}, το ''a'' καλείται ''κύρια τιμή'' του λογάριθμου και συμβολίζεται ως Log(''z'').
The principal argument of any positive real number ''x'' is 0; hence Log(''x'') is a real number and equals the real (natural) logarithm. However, the above formulas for logarithms of products and powers [[Exponentiation#Failure of power and logarithm identities|do ''not'' generalize]] to the principal value of the complex logarithm.<ref>{{Citation | last1=Wilde | first1=Ivan Francis | title=Lecture notes on complex analysis | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-642-4 | year=2006|url=http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, theorem 6.1.</ref>
The illustration at the right depicts Log(''z''). The discontinuity, that is, the jump in the hue at the negative part of the ''x''- or real axis, is caused by the jump of the principal argument there. This locus is called a [[branch cut]]. This behavior can only be circumvented by dropping the range restriction on φ. Then the argument of ''z'' and, consequently, its logarithm become [[multi-valued function]]s.
== Σημειώσεις ==
| |||