Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2»

μ
:<math>a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,</math>
 
το φ είναι το κύριο όρισμα Arg(''z'') και ''n'' είναι τυχαίος ακέραιος. Οποιοσήποτε τέτοιος ''a'' καλείται μιγαδικός λογάριθμος του ''z''. Υπάρχουν άπειροι μιγαδικοί λογάριθμοι ενός αριθμού, εν αντιθέσει με τον μοναδικά οριζόμενο πραγματικό λογάριθμο. Αν {{nowrap begin}}''n'' = 0{{nowrap end}}, το ''a'' καλείται ''κύρια τιμή'' του λογάριθμου και συμβολίζεται ως Log(''z''). Το κύριο όρισμα οποιουδήποτε θετικού πραγματικού αριθμού ''x'' είναι 0, συνεπώς το Log(''x'') είναι πραγματικός αριθμός και ισούται με τον πραγματικό (φυσικό) λογάριθμο. Ωστόσο οι παραπάνω τύποι για τους λογάριθμους γινομένων και δυνάμεων [[δύναμη (μαθηματικά)#Μη ισχύς των εκθετικών και λογαριθμικών ταυτοτήτων|δεν γενικεύονται]] για την κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου.<ref>{{Citation | last1=Wilde | first1=Ivan Francis | title=Lecture notes on complex analysis | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-642-4 | year=2006|url=http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, theorem 6.1.</ref>
 
Η απεικόνιση δεξιά αναπαριστά το Log(''z''). Η ασυνέχεια, ήτοι το άλμα της απόχρωσης στο αρνητικό τμήμα του άξονα των ''x'' (πραγματικός άξονας), προκαλείται από την ασυνέχεια του κύριου ορίσματος. Ο τόπος αυτός ονομάζεται [[τομή διακλαδώσεως]] (''branch cut''). Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να παρακαμφθεί μόνο αν εγκαταληφθεί ο περιορισμός στο εύρος του φ. Τότε το όρισμα του ''z'' και, κατά συνέπεια, ο οικείος λογάριθμος γίνονται [[πλειότιμες συναρτήσεις]].
The principal argument of any positive real number ''x'' is 0; hence Log(''x'') is a real number and equals the real (natural) logarithm. However, the above formulas for logarithms of products and powers [[Exponentiation#Failure of power and logarithm identities|do ''not'' generalize]] to the principal value of the complex logarithm.<ref>{{Citation | last1=Wilde | first1=Ivan Francis | title=Lecture notes on complex analysis | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-642-4 | year=2006|url=http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, theorem 6.1.</ref>
 
The illustration at the right depicts Log(''z''). The discontinuity, that is, the jump in the hue at the negative part of the ''x''- or real axis, is caused by the jump of the principal argument there. This locus is called a [[branch cut]]. This behavior can only be circumvented by dropping the range restriction on φ. Then the argument of ''z'' and, consequently, its logarithm become [[multi-valued function]]s.
 
== Σημειώσεις ==
26.490

επεξεργασίες