Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού ''b'' είναι το γινόμενο 3 παραγόντων, κάθε ένας από τους οποίους είναι το ''b''. Γενικότερα, η ύχωση του ''b'' στη {{nowrap|''n''-στή}} δύναμη, όπου ''n'' είναι ένας [[φυσικός αριθμός]], γίνεται πολλαπλασιάζοντας ''n'' παράγοντες ''b''. Η {{nowrap|''n''-στή}} δύναμη του ''b'' γράφεται ''b''<sup>''n''</sup>, έτσι
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n\ \pi\alpha\rho\acute{\alpha}\gamma o\nu\tau\epsilon\varsigma}.</math>
Η ''n''-στή δύναμη του ''b'', ''b''<sup>''n''</sup>, ορίζεται όταν ο ''b'' είναι θετικός αριθμός και ο ''n'' είναι [[πραγματικός αριθμός]]. Για παράδειγμα ''b''<sup>&minus;1</sup> είναι ο [[Αντίστροφο]]ς του ''b'', δηλαδή {{nowrap|1/''b''}}.{{#tag:ref|Για περισσότερες λεπτομέρεις, συμπεριλαμβανομένου του τύπου {{nowrap|''b''<sup>''m'' + ''n''</sup> <nowiki>=</nowiki> ''b''<sup>''m''</sup> &middot; ''b''<sup>''n''</sup>}}, δείτε [[δύναμη (μαθηματικά)]] ή <ref>{{Citation|last1=Shirali| first1=Shailesh|title=A Primer on Logarithms|publisher=Universities Press|isbn=978-81-7371-414-6|year=2002|location=Hyderabad|ref=harv}}, esp.ειδικότερα sectionενότητα 2</ref> για μία στοιχειώδη έκθεση του θέματος.|group=σημ.}}
 
===Ορισμός===
 
Ο λογάριθμος ενός αριθμού ''y'' ως προς ''βάση'' ''b'' είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί ο ''b'' ώστε να παραχθει ο ''y''. Με άλλα λόγια ο λογάριθμος του ''y'' με βάση το ''b'' είναι η λύση ''x'' της εξίσωσης<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|ref = harv}}, chapterκεφάλαιο 1</ref>
: <math>b^x = y. \, </math>
Ο λογάριθμος συμβολίζεται log<sub>''b''</sub>(''y'') (διαβάζεται ως «λογάριθμος του ''y'' με βάση το ''b''»). Για να ορίζεται ο λογάριθμος, θα πρέπει η βάση ''b'' να είναι [[θετικός αριθμός|θετικός]] πραγματικός αριθμός μη ίσος με 1 και ο ''y'' να είναι θετικός αριθμός.{{#tag:ref|Οι περιορισμοί για το ''y'' και το ''b'' εξηγούνται στην ενότητα [[#Αναλυτικές ιδιότητες|«Αναλυτικές ιδιότητες»]].|group=σημ.}}
==Λογαριθμικές ταυτότητες==
 
Αρκετοί σημαντικοί τύποι, που αποκαλούνται και ''λογαριθμικές ταυτότητες'', συσχετίζουν τους λογάριθμους μεταξύ τους.<ref>Όλες οι δηλώσεις της ενότητας αυτής μπορούν να βρεθούν, για παράδειγμα, στα {{harvnb|Shirali|2002|loc=sectionενότητα 4|nb=yes}}, {{harvnb|Downing|2003|p=275}}, ή {{harvnb|Bhapkar|2009|p= 1-1|nb=yes}}.</ref>
 
===Γινόμενο, πηλίκο, δύναμη και ρίζα===
 
==Ειδικές βάσεις==
Ανάμεσα σε όλες τις επιλογές για την βάση ''b'', τρεις είναι ιδιαίτερα κοινές. Αυτές είναι ''b''&nbsp;=&nbsp;10, ''b''&nbsp;=&nbsp;[[Αριθμός e (μαθηματικά)|''e'']] (η [[άρρητος αριθμός|άρηττη]] μαθηματική σταθερά &asymp; 2.71828), και ''b''&nbsp;=&nbsp;2. Στη [[μαθηματική ανάλυση]], ο λογάριθμος με βάση το ''e'' είναι διαδεδομένος εξαιτίας των ιδιαίτερων αναλυτικών ιδιοτήτων του που εξηγούνται παρακάτω. Από την άλλη, οι λογάριθμοι με βάση το 10 είναι εύκολοι στη χρήση για υπολογισμούς στο χέρι στο [[δεκαδικό σύστημα]]:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003|ref = harv}}, chapterκεφάλαιο 17, pσ. 275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Έτσι, ο log<sub>10</sub>(''x'') σχετίζεται με τον αριθμό των [[δεκαδικό ψηφίο|δεκαδικών ψηφίων]] ενός θετικού ακεραίου ''x'': ο αριθμός των ψηφίων είναι ο μικρότερος [[ακέραιος]] που είναι αμέσως μεγαλύτερος από τον log<sub>10</sub>(''x'').<ref> {{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, σ. 20</ref> Για παράδειγμα, log<sub>10</sub>(1430) ισούται περίπου με 3,15. Ο επόμενος ακέραιος είναι το 4, το οποίο είναι ο αριθμός των ψηφίων του 1430. Ο λογάριθμος με βάση το δύο χρησιμοποιείται στην [[επιστήμη των υπολογιστών]], όπου το [[δυαδικό σύστημα]] χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά.
 
:<math>f(tu) = f(t) + f(u).\,</math>
Ο φυσικός λογάριθμος περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον [[Νίκολας Μερκάτορ]] στο έργο του ''Logarithmotechnia'' που δημοσιεύτηκε το 1668,<ref>{{Citation|author1=J. J. O'Connor|author2=E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=2001-09 |accessdate=02/02/2009}}</ref> αν και ο δάσκαλος μαθηματικών ''John Speidell'' είχε ήδη από 1619 συνθέσει ένα πίνακα φυσικών λογαρίθμων.<ref>{{Citation|last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematics|edition=5th|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2|url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false}}, pσ. 152</ref> Γύρω στο 1730, ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] όρισε την εκθετική συνάρτηση και τον φυσικό λογάριθμο ως
 
:<math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,</math>
<blockquote>
<p>ένα θαυμαστό κατασκεύασμα το οποίο, μειώνοντας σε λίγες μέρες τον χρόνο δουλειάς πολλών μηνών, διπλασιάζει την ζωή του αστρονόμου και τον γλυτώνει από τα λάθη και την αηδία που είναι αχώριστα κομμάτια των μεγάλων υπολογισμών.<ref>
{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=http://www.forgottenbooks.org/ebooks/A_History_of_Astronomy_-_9781440057922.pdf |publisher=Methuen & Co|location=London }}, pσ. 44</ref></p>
</blockquote>
 
Ένα κομβικό εργαλείο που επέτρεψε στην πράξη την χρήση των λογαρίθμων πριν τα κομπιουτεράκια και τους υπολογιστές ήταν ο ''πίνακας λογαρίθμων''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=Oxford University Press | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, sectionενότητα 2</ref> Ο πρώτος τέτοιος πίνακας συντέθηκε από τον [[Χένρι Μπριγκς]] το 1617, αμέσως μετά την εφεύρεση του Ναπιέρ. Εν συνεχεία γράφτηκαν πίνακες με ευρύτερο πεδίο και μεγαλύτερη ακρίβεια. Αυτοί οι πίνακες είχαν τιμές του log<sub>''b''</sub>(''x'') και του ''b''<sup>''x''</sup> για κάθε ''x'' σε ένα συγκεκριμένο εύρος, με συγκεκριμένη ακρίβεια, και συγκεκριμένη βάση ''b'' (συνήθως {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). Για παράδειγμα, ο πρώτος πίνακας του Μπριγκς περιείχε τους κοινούς λογάριθμους όλως των ακεραίων στο εύρος 1&ndash;1000, με ακρίβεια 8 ψηφίων. Καθώς η συνάρτηση {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} είναι η αντίστροφη του log<sub>''b''</sub>(''x''), ονομάστηκε αντιλογάριθμος.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=Dover Publications|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972|ref=harv}}, ενότητα 4.7., σ. 89</ref> Το γινόμενο και το πηλίκο δύο θετικών αριθμών ''c'' και ''d'' υπολογίζονταν ως το άθρισμα και η διαφορά των λογαρίθμων τους. Το γινόμενο ''cd'' ή το πηλίκο ''c''/''d'' βρίσκονταν ψάχνοντας το άθρισμα ή την διαφορά, επίσης από τον ίδιο πίνακα:
 
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \ b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
:<math>\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,</math>
 
Πολλοί λογαριθμικοί πίνακες δίνουν λογάριθμους παρέχοντας ξεχωριστά το ακέραιο logariumik;o (χαρακτηριστικό) και το δεκαδικό λογαριθμικό (''mantissa'') μέρος του ''x''.<ref>{{Citation | last1=Spiegel | first1=Murray R. | last2=Moyer | first2=R.E. | title=Schaum's outline of college algebra | publisher=McGraw-Hill | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 | year=2006}}, pσ. 264</ref> Το χαρακτηριστικό του {{nowrap|10 &middot; ''x''}} είναι ένα συν το χαρακτηριστικό του ''x'', ενώ το δεκαδικό μέρος είναι το ίδιο. Αυτό επεκτείνει το εύρος των λογαριθμικών πινάκων: δεδομένου ενός πίνακα που έχει τα log<sub>10</sub>(''x'') για ακέραιους από 1 έως 1000, ο λογάριθμος του 3542 προσεγγίζεται ως
 
:<math>\log_{10}(3542) = \log_{10}(10\cdot 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \, </math>
:<math>b^x = y \,</math>
έχει λύση ''x'' και ότι αυτή η λύση είναι μοναδική, υπό τον όρο ότι το ''y'' έιναι θετικό και το ''b'' είναι θετικό και μη ίσο με την μονάδα. Η απόδειξη αυτού απαιτεί το [[θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής]] από τον στοιχειώδη [[λογισμό]].<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|id={{hide in print|[[Mathematical Reviews|MR]][http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr{{=}}1476913 1476913]}}{{only in print|MR1476913}}
|year=1997|ref = harv}}, sectionενότητα III.3</ref> Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα μία [[συνεχής συνάρτηση]] η οποία έχει τιμές ''m'' και ''n'' έχει επίσης τιμές μεταξύ των ''m'' και ''n''. Μία συνάρτηση είναι ''συνεχής'' όταν δεν παρουσιάζει άλματα στη γραφική της παράσταση.
 
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να δειχτεί ότι ισχύει για την συνάρτηση {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Επειδή η ''f'' παίρνει τυχαία μεγάλες και μικρές θετικές τιμές, οποιοσδήποτε αριθμός {{nowrap|''y'' > 0}} βρίσκεται μεταξύ του ''f''(''x''<sub>0</sub>) και ''f''(''x''<sub>1</sub>) για κατάλληλα ''x''<sub>0</sub> και ''x''<sub>1</sub>. Συνεπώς, το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής διασφαλίζει ότι η εξίσωση ''f''(''x'') = ''y'' έχει λύση. Επιπροσθέτως, υπάρχει μόνο μία λύση για αυτή την εξίσωση, επειδή η ''f'' είναι [[μονότονη συνάρτηση|γνησίως αύξουσα]] (για {{nowrap|''b'' > 1}}), ή γνησίως φθίνουσα (για {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).<ref name=LangIV.2 />
Δηλαδή, παίρνοντας την {{nowrap|''x''-στή}} δύναμη του ''b'' και έπειτα τον λογάριθμο με βάση ''b'', το αποτέλεσμα είναι ''x''. Αντιστρόφως, δεδομένου ενός θετικού αριθμού ''y'', ο τύπος
:<math>b^{\log_b(y)} = y</math>
δηλώνει ότι παίρνοντας τον λογάριθμο ενός αριθμό ώς προς ''b'' και μετά υψώνοντας την βάση στο αποτέλεσμα, προκύπτει ο ίδιος ο αριθμός. Κατα συνέπεια, οι δύο πιθανοί τρόποι [[σύνθεση (μαθηματικά)|σύνθεσης]] λογαρίθμων και ύψωσης σε δύναμη έχουν ως αποτέλεσμα των αρχικό αριθμό. Συνεπώς, ο λογάριθμος με βάση ''b'' είναι η [[αντίστροφη συνάρτηση]] της {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}}.<ref>{{Citation | last1=Stewart | first1=James | title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals | publisher=Thomson Brooks/Cole |location=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9 | year=2007}}, sectionενότητα 1.6</ref>
 
Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν στενή σχέση με τις αρχικές συναρτήσεις. Οι [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικές τους παραστάσεις]] μπορούν να βρεθούν, η μία από την άλλη, αλλάζοντας τις συντεταγμένες ''x'' με τις ''y'' (ή με ανάκλαση στην διαγώνια ευθεία ''x'' = ''y''), όπως φαίνεται δεξιά: ένα σημείο (''t'', ''u'' = ''b''<sup>''t''</sup>) στη γραφική παράσταση της ''f'' έχει τιμή (''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'') στο γράφημα του λογαρίθμου και αντίστροφα. Κατά συνέπεια, log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο άπειρο καθώς το ''x'' τείνει στο άπειρο, δεδομένου ότι το ''b'' είναι μεγαλύτερο από ένα. Σε αυτή την περίπτωση η log<sub>''b''</sub>(''x'') ειναι [[γνησίως αύξουσα συνάρτηση|γνησίως αύξουσα]]. Για {{nowrap|''b'' < 1}}, η log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο μείον άπειρο αντίστοιχα. Όταν το ''x'' τείνει στο μηδέν, η log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο μείον άπειρο για {{nowrap|''b'' > 1}} (συν άπειρο για {{nowrap|''b'' < 1}}, αντίστοιχα).
===Παράγωγος και αντιπαράγωγος===
[[File:Logarithm derivative.svg|right|thumb|220|Η γραφική παράσταση του φυσικού λογαρίθμου (πράσινο) και η εφαπτομένη του στο {{nowrap|''x'' {{=}} 1.5}} (μαύρο)]]
Οι αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων κληροδοτούνται στις αντίστροφές τους.<ref name=LangIII.3 /> Έτσι, καθώς η {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} είναι συνεχής και [[παραγωγίσιμη συνάρτηση]], έτσι είναι και η log<sub>''b''</sub>(''y''). Χοντρικά, μία συνεχής συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν η γραφική της παράσταση δεν έχει «γωνίες». Επιπροσθέτως, καθώς η [[παράγωγος]] της ''f''(''x'') ισούται με ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> σύμφωνα με τις ιδιότητες της [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]], σύμφωνα με τον [[κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης|κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης]] η παράγωγος του log<sub>''b''</sub>(''x'') δίνεται από τον τύπο<ref name=LangIV.2>{{harvnb|Lang|1997 |nb=yes|loc=sectionενότητα IV.2}}</ref><ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
Τουτέστιν, η [[κλίση]] της [[εφαπτομένη]]ς που εφάπτεται στη γραφική παράσταση του λογαρίθμου με βάση ''b'' στο σημείο {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} ισούται με {{nowrap|1/(''x''&thinsp;ln(''b''))}}. Πιο συγκεκριμένα, η παράγωγος του ln(''x'') είναι 1/''x'', το οποίο υποδηλώνει ότι η [[αντιπαράγωγος]] του 1/''x'' είναι {{nowrap|ln(''x'') + C}}. Η παράγωγος με γενικευμένο όρισμα ''f''(''x'') είναι
:<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
Το πηλίκο στο δεξιό μέρος αποκαλείται [[λογαριθμική παράγωγος]] της ''f''. Υπολογίζοντας το ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') μέσω της παραγώγου ln(''f''(''x'')) είναι γνωστό ως [[λογαριθμική παραγώγιση]].<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris || title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=Dover Publications | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, pσ. 386</ref> The antiderivative of the natural logarithm ln(''x'') is:<ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))}}</ref>
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
Σχετικοί τύποι, όπως οι αντιπαράγωγοι λογαρίθμων με άλλες βάσεις μπορούν να προκύψουν από αυτή την εξίσωση με αλλαγή βάσεων.<ref>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|year=1972|nb=yes|p=69}}</ref>
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
Με άλλα λόγια, το ln(''t'') ισούται με την επιφάνεια μεταξύ του άξονα των ''x'' και την γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/''x'', επό το σημείο {{nowrap begin}}''x'' = 1{{nowrap end}} έως το {{nowrap begin}}''x'' = ''t''{{nowrap end}} (σχήμα στα δεξιά). Αυτό είναι συνέπεια του [[θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού|θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού]] και του γεγονότος ότι η παράγωγος του ln(''x'') είναι 1/''x''. Το δεξί μέρος της εξίσωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως ορισμός του φυσικού λογαρίθμου. Τύποι για γινόμενα και δυνάμεις λογαρίθμων μπορούν να προκύψουν από αυτόν τον ορισμό.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|id={{hide in print|[[Mathematical Reviews|MR]][http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr{{=}}1009558 1009558]}}{{only in print|MR1009558}}
|year=1988}}, sectionενότητα III.6</ref> Για παράδειγμα, ο τύπος για το γινόμενο {{nowrap begin}}ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u''){{nowrap end}} μπορεί να προκύψει:
 
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
ονομάζεται [[αρμονική σειρά]]. Είναι στενά συνδεμένη με τον φυσικό λογάριθμο: καθώς το ''n'' τείνει στο [[άπειρο]], η διαφορά,
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[Όριο ακολουθίας|συγκλίνει]] σε ένα αριθμό γνωστό ως [[σταθερά Euler-Mascheroni]]. Αυτή η σχέση βοηθά στην ανάλυση της απόδοσης αλγορίθμων όπως ο [[quicksort]].<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sectionsενότητες 11.5 andκαι 13.8</ref>
 
==Υπολογισμός==
Οι λογάριθμοι είναι εύκολο να υπολογιστούν σε κάποιες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(10,000) = 4{{nowrap end}}. Εν γένει μπορούν να υπολογιστούν με χρήση [[δυναμοσειρά|δυναμοσειρών]] ή του [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος|αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου]] ή να παρθούν από προϋπολογισμένο [[λογαριθμικός πίνακας|λογαριθμικό πίνακα]] με δεδομένη ακρίβεια.<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel | title=Elementary functions | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | year=2006}}, sectionsενότητες 4.2.2 (pσ. 72) andκαι 5.5.2 (pσ. 95)</ref><ref>{{Citation|author=Hart, Cheney, Lawson et al.|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, sectionενότητα 6.3, pσ. 105&ndash;111</ref> Επιπλέον, ο [[αλγόριθμος δυαδικού λογαρίθμου]] υπολογίζει το lb(''x'') [[αναδρομή|αναδρομικά]] με βάση επαναλαμβανόμενους τετραγωνισμούς του ''x'', κάνοντας χρήση της σχέσης
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>
Η [[Μέθοδος Newton]], μία επαναληπτική μέθοδος προσεγγιστικής επίλυσης εξισώσεων, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του λογάριθμου, επειδή η αντίστροφη συνάρτηση, η εκθετική συνάρτηση, μπορεί να υπολογιστεί αποδοτικά.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268 |journal=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–292}}, sectionενότητα 1 forγια anεπισκόπιση overviewτου θέματος</ref>
 
Από θεωρητική άποψη, σύμφωνα με το [[θεώρημα Gelfond-Schneider]], οι λογάριθμοι συνήθως παίρνουν «δύσκολες» τιμές. Η τυπική διατύπωση βασίζεται στην έννοια των [[αλγεβρικοί αριθμοί|αλγεβρικών αριθμών]], οι οποίοι περιλαμβάνουν όλους τους [[ρητοί αριθμοί|ρητούς αριθμούς]], αλλά και αριθμούς όπως η [[τετραγωνική ρίζα του 2]] ή ο
:<math>\sqrt{-5+\sqrt[3]{3 / 13}}.</math>
Οι [[μιγαδικοί αριθμοί]] οι οποίοι δεν είναι αλγεβρικοί αποκαλούνται [[υπερβατικοί αριθμοί]],<ref>{{citation|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url=http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> για παράδειγμα το π και το ''e'' είναι τέτοιοι αριθμοί. [[Σχεδόν όλοι]] οι μιγαδικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί. Με βάση αυτά, σύμφωνα με το θεώρημα Gelfond&ndash;Scheider δεδομένων δύο αλγεβρικών αριθμών ''a'' και ''b'', ο log<sub>''b''</sub>(''a'') είναι είτε υπερβατικός είτε ρητός αριθμός ''p'' / ''q'' (στην οποία περίπτωση ''a''<sup>''q''</sup> = ''b''<sup>''p''</sup>, έτσι ''a'' και ''b'' είχαν εξαρχής στενή σχέση).<ref>{{Citation|last1=Baker|first1=Alan|title=Transcendental number theory|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, pσ. 10</ref>
 
===Δυναμοσειρές===
 
[[File:Taylor approximation of natural logarithm.gif|right|thumb|Η σειρά Taylor του&nbsp;ln(''z'') στο&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;1. Η εικόνα δείχνει τις πρώτες 10 προσεγγίσεις.]]
Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ''z'' που ικανοποιεί το {{nowrap|0 < ''z'' < 2}}, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:{{#tag:ref|Η ίδια σειρά δίνει την κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου για μιγαδικούς αριθμούς ''z'' με <nowiki>|</nowiki>''z'' &minus; 1<nowiki>|</nowiki> < 1.|group=σημ.}}<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|1972 |nb=yes|loc=pσ. 68}}</ref>
:<math>
\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
==Εφαρμογές==
[[File:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|right|Ένας ναυτίλος που εμφανίζει λογαριθμική σπείρα]]
Οι λογάριθμοι έχουν πολλές εφαρμογές εντός και εκτός των μαθηματικών. Κάποιες χρήσεις τους έχουν σχέση με την έννοια της [[ανεξαρτησία κλίμακας|ανεξαρτησίας κλίμακας]]. Για παράδειγμα, κάθε τμήμα του όστρακου ενός [[Ναυτίλος (ζωολογία)|ναυτίλου]] είναι σχεδόν αντίγραφο του επόμενου, κλιμακωμένο κατά ένα σταθερό παράγοντα. Έτσι δημιουργείται [[λογαριθμική σπέιρα]].<ref>{{Harvnb|Maor|2009|nb=yes|p= 135}}</ref> Ο [[νόμος του Benford]] για την κατανομή των πρώτων ψηφίων δεδομένων μπορεί επίσης να εξηγηθεί από την ανεξαρτησία κλίμακας.<ref>{{Citation | last1=Frey | first1=Bruce | title=Statistics hacks | publisher=O'Reilly|location=Sebastopol, CA| series=Hacks Series |url=http://books.google.com/?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&dq=statistics+hacks+benfords+law#v=onepage&q&f=false| isbn=978-0-596-10164-0 | year=2006}}, chapterκεφάλαιο 6, sectionενότητα 64</ref> Οι λογάριθμοι συνδέονται και με την [[αυτοομοιότητα]]. Για παράδειγμα, οι λογάριθμοι εμφανίζονται στην ανάλυση αλγορίθμων που λύνουν ένα πρόβλημα χωρίζοντάς το σε δύο παρόμοια μικρότερα προβλήματα κάνοντας επαλληλία στις λύσεις.<ref>{{Citation | last1=Ricciardi | first1=Luigi M. | title=Lectures in applied mathematics and informatics | url=http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ | publisher=Manchester University Press | location=Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 | year=1990}}, pσ. 21, sectionενότητα 1.3.2</ref> Οι διαστάσεις των αυτοόμοιων γεωμετρικών σχημάτων, δηλαδή τα σχήματα των οποίων τα μέρη μοιάζοουν με το σύνολο βασίζονται επίσης σε λογάριθμους. Οι [[λογαριθμική κλίμακα|λογαριθμικές κλίμακες]] είναι χρήσιμες για την ποσοτικοποίηση των σχετικών αλλαγών μίας τιμής αντί για τις απόλυτες διαφορές. Επιπροσθέτως, επειδή η λογαριθμική συνάρτηση log(''x'') αυξάνεται πολύ αργά για μεγάλα ''x'', οι λογαριθμικές κλίμακες χρησιμοποιούνται για την συμπίεση μεγάλης κλίμακας επιστημονικών δεδομένων. Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και σε πάρα πολλούς επιστημονικούς τύπους, όπως για παράδειγμα η [[πυραυλική εξίσωση Tsiolkovsky]], η [[εξίσωση Fenske]] και η [[εξίσωση Nernst]].
 
===Λογαριθμική κλίμακα===
[[File:GermanyHyperChart.jpg|right|thumb|Λογαριθμικό διάγραμμα που απεικονίζει την τιμή του γερμανικού ''[[Goldmark]]'' σε ''[[Papiermark]]'' κατά τον υπερπληθωρισμό της δεκαετίας του 1920]]
 
Οι επιστημονικές ποσότητες συχνά εκφράζονται ως λογάριθμοι άλλων ποσοτήτων, χρησιμοποιώντας μία λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα, το [[ντεσιμπέλ]] είναι λογαριθμική μονάδα μέτρησης. Βασίζεται στον κοινό λογάριθμο [[Λόγος (μαθηματικά)|λόγων]]&mdash;10 φορές ο κοινός λογάριθμος ενός λόγου [[Ισχύς|ισχύος]] ή 20 φορές ο κοινός λογάριθμος του λόγου [[Διαφορά δυναμικού|διαφοράς δυναμικού]]. Χρησιμοποιείται για να ποσοτικοποιήσει την απώλεια τάσης στη μετάδοση ηλεκτρικών σημάτων,<ref>{{Citation|last1=Bakshi|first1=U. A.|title=Telecommunication Engineering |publisher=Technical Publications|location=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|year=2009|url=http://books.google.com/books?id=EV4AF0XJO9wC&pg=SA5-PA1#v=onepage&f=false}}, sectionενότητα 5.2</ref> για να περιγράψει επίπεδα ισχύος των ήχων στην [[ακουστική]],<ref>{{Citation|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, sectionενότητα 23.0.2</ref> και την [[απορρόφηση]] φωτός στα πεδία της [[φασματοσκοπία]]ς και της [[οπτική]]ς. Ο [[λόγος σήματος προς θόρυβο]] που περιγράφει την ποσότητα του ανεπιθύμητου [[θόρυβος (ηλεκτρονική)|θορύβου]] σε σχέση με ένα [[σήμα (ηλεκτρονική)|σήμα]] επίσης μετριέται σε ντεσιμπέλ.<ref>{{Citation | last1=Tashev | first1=Ivan Jelev | title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-470-31983-3 | year=2009|url=http://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48#v=onepage&f=false}}, σ. 48</ref> Κατά παρόμοιο τρόπο, ο [[PSNR|λόγος αιχμής σήματος προς θόρυβο]] χρησιμοποιείται συχνά για την αποτίμηση της ποιότητας του ήχου και των μεθόδων [[συμπίεση εικόνας|συμπίεσης εικόνας]] κάνοντας χρήση του λογάριθμου.<ref>{{Citation | last1=Chui | first1=C.K. | title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation | isbn=978-0-89871-384-8 | year=1997|url=http://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180#v=onepage&f=false}}, σ. 180</ref>
 
Η ισχύς ενός σεισμού μετριέται λαμβάνοντας τον κοινό λογάριθμο της ενέργειας που ελευθερώνεται κατά την δόνηση. Αυτό χρησιμοποιείται στην [[κλίμακα μεγέθους ροπής]] ή την [[κλίμακα Ρίχτερ]]. Για παράδειγμα ένας σεισμός μεγέθους 5.0 απελευθερώνει 10 φορές και ενας μεγέθους 6.0 100 φορές την ενέργεια ενός σεισμού μεγέθους 4.0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, sectionενότητα 4.4.</ref> Μία άλλη λογαριθμική κλίμακα είναι το [[φαινόμενο μέγεθος]]. Μετράει την λαμπρότητα των αστέρων λογαριθμικά.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=Cambridge University Press|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, sectionενότητα 8.3, pσ. 231</ref> Ακόμα ένα παράδειγμα είναι το [[pH]] στη [[χημεία]], το pH είναι ο αρνητικός κοινός λογάριθμος της [[ενεργότητα]]ς των ιόντων [[υδροξώνιο|υδροξωνίου]] (η μορφή που παίρουν τα [[ιόν]]τα [[υδρογόνο]]υ H<sup>+</sup> στο νερό).<ref>{{Citation|author=[[IUPAC]]|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2η|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook}}</ref> Η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ουδέτερο νερό είναι 10<sup>−7</sup>&nbsp;[[Συγκέντρωση διαλύματος|mol·L<sup>−1</sup>]], έτσι το pH είναι 7. Το ξύδι τυπικά έχει pH περίπου 3. Η διαφορά 4 με το ουδέτερο νερό αντιστοιχεί σε διαφορά 10<sup>4</sup> στη ενεργότητα, δηλαδή η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ξύδι είναι περίπου 10<sup>−3</sup>&nbsp;mol·L<sup>−1</sup>.
 
Τα [[ημιλογαριθμικό γράφημα|ημιλογαριθμικά]] γραφήματα κάνουν χρήση της λογαριθμικής κλίμακας για οπτικοποίηση, όπου ένας άξονας, τυπικά ο κατακόρυφος, είναι σε λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα το γράφημα στα αριστερά, συμπιέζει την μεγάλη αύξηση από το 1 εκατομμύριο στο 1 τρισεκατομύριο στον ίδιο χώρο (στον κατακόρυφο άξονα) με την αύξηση από το 1 στο 1 εκατομμύριο. Σε τέτοιου είδους γραφήματα, οι [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικές συναρτήσεις]] του τύπου {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} εμφανίζονται ως ευθείες γραμμές με [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] ανάλογη του ''b''. Σε γραφήματα με λογαριθμική κλίμακα και στους δύο άξονες, συναρτήσεις του τύπου {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''x''<sup>''k''</sup>{{nowrap end}} αναπαρίστανται ως ευθείες με κλίση ανάλογη του εκθέτη ''k''. Αυτό έχει εφαρμογή στην οπτικοποίηση και ανάλυση [[εκθετικός νόμος|εκθετικών νόμων]].<ref>{{Citation|last1=Bird|first1=J. O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book |publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3rd|isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, sectionενότητα 34</ref>
 
===Ψυχολογία===
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται σε διάφορους νόμους που περιγράφουν την [[ανθρώπινη αντίληψη]]:<ref>{{Citation | last1=Goldstein | first1=E. Bruce | title=Encyclopedia of Perception | url=http://books.google.de/books?id=Y4TOEN4f5ZMC | publisher=Sage | location=Thousand Oaks, CA | series=Encyclopedia of Perception | isbn=978-1-4129-4081-8 | year=2009}}, pσ. 355&ndash;356</ref><ref>{{Citation | last1=Matthews | first1=Gerald | title=Human performance: cognition, stress, and individual differences | url=http://books.google.de/books?id=0XrpulSM1HUC | publisher=Psychology Press | location=Hove | series=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences | isbn=978-0-415-04406-6 | year=2000}}, pσ. 48</ref> Ο [[νόμος του Hick]] προτείνει λογαριθμική σχέση μεταξύ του χρόνου που χρειάζεται ένα άτομο για την επιλογή μίας απόφασης και του αριθμού των επιλογών που έχει.<ref>{{Citation|last1=Welford|first1=A. T.|title=Fundamentals of skill|publisher=Methuen|location=London|isbn=978-0-416-03000-6 |oclc=219156|year=1968}}, pσ. 61</ref> Ο [[νόμος του Fitt]] προβλέπει ότι ο χρόνος που απαιτείται για ταχεία κίνηση σε μία περιοχή στόχο είναι λογαριθμική συνάρτηση της απόστασης και του μεγέθους του στόχου.<ref>{{Citation|author=Paul M. Fitts|year=1954|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|journal=Journal of Experimental Psychology|volume=47|issue=6|month=June|pages=381–391 | pmid=13174710 | doi =10.1037/h0055392 }}, ανατυπωμένο στο {{Citation|journal=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|issue=3|pages=262&ndash;269|year=1992 | pmid=1402698 | url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf | format=PDF | accessdate=30 March 2011 |title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|author=Paul M. Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> Στην [[ψυχοφυσική]], ο [[νόμος Weber–Fechner]] προτείνει λογαριθμική σχέση μεταξύ του [[ερέθισμα (ψυχολογία)|ερεθίσματος]] και της [[αίσθηση (ψυχολογία)|αίσθησης]] όπως για παράδειγμα το πραγματικό και το φαινόμενο βάρος ενός αντικειμένου που κουβαλάει ένα άτομο.<ref>{{Citation | last1=Banerjee | first1=J. C. | title=Encyclopaedic dictionary of psychological terms | publisher=M.D. Publications | location=New Delhi | isbn=9788185880280 | oclc=33860167 | year=1994|url=http://books.google.com/?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306&dq=weber+fechner+law#v=onepage&q=weber%20fechner%20law&f=false}}, pσ. 304</ref> (Αυτός ο «νόμος» ωστόσο είναι λιγότερο ακριβής από νεότερα μοντέλα όπως ο [[εκθετικός νόμος του Stevens]].<ref>{{Citation|last1=Nadel|first1=Lynn|title=Encyclopedia of cognitive science|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|isbn=978-0-470-01619-0|year=2005}}, λήμματα ''Psychophysics'' και ''Perception: Overview''</ref>)
 
Ψυχολογικές μελέτες έχουν διαπιστώσει ότι μαθηματικώς ακαλλιέργητα άτομα τείνουν να εκτιμούν τις ποσότητες λογαριθμικά, δηλαδή τοποθετούν ένα αριθμό σε μία αβαθμονόμητη γραμμή στον λογάριθμό του, έτσι ώστε το 10 τοποθετείται τόσο κοντά στο 20 όσο το 100 στο 200. Η αύξηση της μαθηματικής κατανόησης μετατοπίζει αυτή την συμπεριφορά προς την γραμμική εκτίμμηση.<ref>{{Citation | doi=10.1111/1467-9280.02438 | last1=Siegler|first1=Robert S.|last2=Opfer|first2=John E.|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|issue=3|pages=237–43|year=2003|journal=Psychological Science
[[File:Benfords law illustrated by world's countries population.png|Κατανομή των πρώτων ψηφίvν (σε %, κόκκινες στήλες) στον πληθυσμό των 237 χωρών του κόσμου. Οι μαύρες βούλες υποδεικνύουν την κατανομή που προβλέφθηκε από τον νόμο του Benford.|thumb|right]]
 
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και στην [[θεωρία πιθανοτήτων]]: σύμφωνα με τον [[νόμος των μεγάλων αριθμών|νόμο των μεγάλων αριθμών]], για ένα [[δίκαιο νόμισμα]] , καθώς ο αριθμός που ρίχνεται το νόμισμα τείνει στο άπειρο, η παρατηρούμενη αναλογία των «κεφαλών» τείνει στο μισό. Οι αυξομειώσεις αυτής της αναλογίας γύρω από το μισό περιγράφονται από τον [[νόμο του επαναλαμβανόμενου λογάριθμου]].<ref>{{Citation | last1=Breiman | first1=Leo | title=Probability | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | series=Classics in applied mathematics | isbn=978-0-89871-296-4 | year=1992}}, sectionενότητα 12.9</ref>
 
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται επίσης στις [[λογαριθμοκανονική κατανομή|λογαριθμοκανονικές κατανομές]]. Όταν ο λογάριθμος μίας [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίας μεταβλητής]] έχει [[κανονική κατανομή]], τότε λέγεται ότι η μεταβλητική έχει λογαριθμοκανονική κατανομή.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J. A. C.|title=The lognormal distribution|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935|year=1969}}</ref> Οι λογαριθμοκανονικές κατανομές εμφανίζονται σε πολλά πεδία, οπουδήποτε η μεταβλητή σχηματίζεται ως γινόμενο πολλών ανεξάρτητων θετικών τυχαίων μεταβλητών, όπως για παράδειγμα στη μελέδη της τύρβης.<ref>{{Citation | title = An introduction to turbulent flow | author = Jean Mathieu and Julian Scott | publisher = Cambridge University Press | year = 2000 | isbn = 9780521775380 | page = 50 | url = http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 }}</ref>
 
Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για την [[εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας]] παραμετρικών [[στατιστικό μοντέλο|στατιστικών μοντέλων]]. Για ένα τέτοιο μοντέλο, η [[συνάρτηση πιθανοφάνειας]] (''likelihood function'') εξαρτάται από τουλάχιστον μία [[παραμετρικό μοντέλο|παράμετρο]] που χρειάζεται να εκτιμηθεί. Ένα μέγιστο για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας εμφανίζεται στην ίδια παράμετρο-τιμή όπως και στο μέγιστο του λογάριθμου της πιθανοφάνειας (λογαριθμο-πιθανοφάνεια), επειδή ο λογάριθμος είναι αύξουσα συνάρτηση.Η λογαριθμο-πιθανοφάνεια είναι ευκολότερο να μεγιστοποιηθεί, ειδικότερα για τις πολλαπλασιασμένες πιθανοφάνεις [[ανεξαρτησία (πιθανότητα)|ανεξάρτητων]] τυχαίων μεταβλητών.<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, sectionενότητα 11.3</ref>
 
Ο [[νόμος του Benford]] περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά [[σύνολο δεδομένων|σύνολα δεδομένων]], όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι ''d'' (από 1 έως 9) ισούται με log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d''), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, sectionενότητα 2.1</ref> Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.<ref>{{Citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi| first2=William | last2 = Hillison | first3 = Carl | last3 = Pacini | url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf| volume=V |pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting}}</ref>
 
===Υπολογιστική πολυπλοκότητα===
 
Η [[ανάλυση αλγορίθμων]] είναι κλάδος της [[επιστήμη υπολογιστών|επιστήμης υπολογιστών]] που μελετά την απόδοση [[αλγόριθμος|αλγορίθμων]].<ref name=Wegener>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pages 1-2</ref> Οι λογάριθμοι είναι πολύτιμοι για την περιγραφεί αλγόριθμων οι οποίοι [[Διαίρει και βασίλευε (υπολογιστές)|χωρίζουν ένα πρόβλημα]] σε μικρότερα, και έπειτα συνδυάζονται οι λύσει των υποπροβλημάτων.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, pσ. 143</ref>
 
Για παράδειγμα, για την εύρεση ενός αριθμού σε ένα ταξινομημένο κατάλογο, ο [[Δυαδική αναζήτηση|αλγόριθμος δυαδικής αναζήτησης]] ελέγχει τη μεσαία καταχώρηση και προχωρά με τον μισό κατάλογο πριν ή μετά το μεσαίο αν ο αριθμός δεν έχει ακόμα βρεθεί. Αυτός ο αλγόριθμος απαιτεί, κατά μέσο όρο, log<sub>2</sub>(''N'') συγκρίσεις, όπου ''N'' είναι το μήκος του καταλόγου.<ref>{{citation | last = Knuth | first = Donald | authorlink = Donald Knuth | title = The Art of Computer Programming | publisher = Addison-Wesley |location=Reading, Mass. | year= 1998| isbn = 978-0-201-89685-5 |ref=nb}}, sectionενότητα 6.2.1, ppσσ. 409–426</ref> Παρομοίως, ο αλγόριθμος [[merge sort]] ταξινομεί ένα αταξινόμητο κατάλογο χωρίζοντάς τον στη μέση και ταξινομώντας πρώτα τα μισά πριν συνδυάσει τα αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι merge sort τυπικά απαιτούν χρόνο [[συμβολισμός O|περίπου ανάλογο του]] {{nowrap|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=sectionενότητα 5.2.4, ppσσ. 158–168|nb=yes}}</ref> Η βάση του λογάριθμου δεν καθορίζεται εδώ επειδή το αποτέλεσμα αλλάζει μόνο κατά ένα σταθερό παράγοντα όταν χρησιμοποιείται άλλη βάση. Ένας σταθερός παράγοντας, συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση αλγορίθμων υπό το τυπικό μοντέλο ομοιόμορφου κόστους.<ref name=Wegener20>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>
 
Μία συνάρτηση ''f''(''x'') λέγεται ότι [[λογαριθμική αύξηση|αυξάνεται λογαριθμικά]] αν η ''f''(''x'') είναι (ακριβώς ή προσεγγιστικά) ανάλογη του λογαρίθμου του ''x''. (Οι βιολογικές περιγραφές της ανάπτυξης οργανισμών, ωστόσο, χρησιμοποιούν αυτό τον όρο για εκθετικές συναρτήσεις.<ref>{{Citation |last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995}}, chapterκεφάλαιο 19, pσ. 298</ref>) Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε [[φυσικός αριθμός]] ''N'' μπορεί να αναπαρασταθεί σε [[Δυαδικό σύστημα|δυαδική μορφή]] σε όχι παραπάνω από {{nowrap|log<sub>2</sub>(''N'') + 1}} [[bit]]. Με άλλα λόγια, το ποσό της [[Μνήμη υπολογιστή|μνήμης]] που απαιτείται για την αποθήκευση του ''N'' αυξάνεται λογαριθμικά με το ''N''.
 
=== Εντροπία και χάος===
Η [[εντροπία]] είναι χοντρικά μέτρο της αταξίας κάποιου συστήματος. Στην [[στατιστική θερμοδυναμική]], η εντροπία ''S'' ενός φυσικού συστήματος ορίζεται ως
:<math> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>
Το άθροισμα αφορά όλες τις πιθανές καταστάσεις ''i'' του υπό εξέταση συστήματος, όπως οι θέσεις των σωματιδίων αερίου σε ένα δοχείο. Επιπλέον, ''p''<sub>''i''</sub> είναι η πιθανότητα ότι έχει επιτευχθεί η κατάσταση ''i'' και ''k'' είναι η [[σταθερά Boltzmann]]. Παρομοίως, η [[εντροπία (θεωρία πληροφοριών)|εντροπία στη θεωρία πληροφοριών]] μετράει την ποσότητα της πληροφορίας/ Αν ένας αποδέκτης μηνύματος αναμένει οποιοδήποτε από τα ''N'' πιθανά μυνήματα με την ίδια πιθανότητα, τότε η ποσότητα πληροφορίας που μεταβιβάζεται από οποιοδήποτε τέτοιο μήνυμα ποσοτικοποιείται ως log<sub>2</sub>(''N'') bit.<ref>{{Citation|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work |publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, sectionενότητα III.I</ref>
 
Οι [[εκθέτης Lyapunov|εκθέτες Lyapunov]] κάνουν χρήση λογαρίθμων για την μέτρηση της χαοτικότητας ενός [[δυναμικό σύστημα|δυναμικού συστήματος]]. Για παράδειγμα, για ένα σωματίδιο που κινείται σε ένα οβάλ τραπέζι μπιλιάρδου, ακόμα και μικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών έχουν αποτέλεσμα πολύ διαφορετικές τροχιές. Τέτοια συστήματα είναι [[θεωρία του χάους|χαοτικά]] κατά [[ντετερμινιστικό σύστημα|ντετερμινιστικό]] τρόπο επειδή μικρά σφάλματα μετρήσεων της αρχικής κατάστασης οδηγούν με προβλέψιμο τρόπο σε πολύ διαφορετικές τελικές καταστάσεις.<ref>{{Citation | last1=Sprott | first1=Julien Clinton | title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | url=http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C | publisher=World Scientific |location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0| year=2010}}, sectionενότητα 1.9</ref> Τουλάχιστον ένας εκθέτης Λιαπούνοφ ενός ντετερμινιστικώς χαοτικού συστήματος είναι θετικός.
 
===Φράκταλ===
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>
 
Συνεπώς, οι λογάριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή διαστημάτων: ένα διάστημα μετριέται σε ημιτόνια λαμβάνοντας τον λογάριθμο με βάση την δωδέκατη ρίζα του 2 ({{nowrap|2<sup>1/12</sup>}}) του λόγου των συχνοτήτων, ενώ με τον λογάριθμο με βάση την 1200ή ρίζα του 2 του λόγου των συχνοτήτων το διάστημα μετριέται σε [[σεντ (μουσική)|σέντς]] (''cents''), εκατοστά του ημιτονίου. Το τελευταίο χρησιμοποιείται για ακριβέστερη κωδικοποίηση σε μή ισοσυγκερασμένα συστήματα.<ref>{{Citation|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chapterκεφάλαιο 5</ref>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
 
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του [[τύπος του Stirling|τύπου του Stirling]], μίας προσέγγισης του ''n''! για μεγάλους ''n''.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=CRC Press|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapterκεφάλαιο 4</ref>
 
==Γενικεύσεις ==
:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}. \,</math>
 
Το [[όρισμα (μιγαδική ανάλυση)|όρισμα]] φ δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τον ''z'': το φ' = φ + 2π είναι επίσης όρισμα του ''z'' επειδή προσθέτοντας 2π ακτίνια ή 360 μοίρες{{#tag:ref|Δείτε [[ακτίνιο]] για την μετατροπή μεταξύ 2[[Αριθμός π|&pi;]] και 360 [[Μοίρα (κύκλου)|μοίρες]].|group="σημ."}} στο όρισμα φ αντιστοιχεί με αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία 2π. Ο μιγαδικός αριθμός που προκύπτει έτσι είναι πάλι ο ''z'', όπως φαίνεται στα δεξιά. Ωστόσο, μόνο ένα όρισμα φ ικανοποιεί τις {{nowrap|−&pi; < &phi;}} και {{nowrap|&phi; &le; &pi;}}. Αυτό αποκαλείται ''κύριο'' ή ''πρωτεύον'' όρισμα και συμβολίζεται Arg(''z''), με κεφαλαίο Α.<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> (Μία εναλλακτική κανονικοποίηση είναι η {{nowrap|0 &le; Arg(''z'') < 2&pi;}}.<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007}}, sectionενότητα 5.9</ref>)
 
[[File:Complex log.jpg|right|thumb|Ο κύριος κλάδος του μιγαδικού λογάριθμου, Log(''z''). Το μαύρο σημείο στο {{nowrap|''z'' {{=}} 1}} αντιστοιχεί σε απόλυτη τιμή μηδέν και τα πιο ανοιχτά (σε [[ένταση (χρώμα)|ένταση]]) χρώματα αντιστοιχούν σε μεγαλύτερες απόλυτες τιμές. Η [[απόχρωση]] του χρώματος αντιστοιχεί στο όρισμα του Log(''z'').]]
 
Με την χρήση των [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] του [[ημίτονο|ημιτόνου]] και του [[συνημίτονο|συνημιτόνου]], ή της [[μιγαδική εκθετική συνάρτηση|μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης]], αντίστοιχα, τα ''r'' και φ είναι τέτοια ώστε ικανοποιούν ταυτότητες:<ref>{{Citation|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=[[World Scientific]]|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, sectionενότητα 1.2</ref>
 
:<math>\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
 
=== Αντίστροφες συναρτήσεις άλλων εκθετικών συναρτήσεων ===
Η ύψωση σε δύναμη συναντάται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, ενώ η αντίστροφη αυτής συνάρτηση συχνά αποκαλείται λογάριθμος. Για παράδειγμα, ο [[λογάριθμος πίνακα]] είναι η πλειότιμη αντίστροφη συνάρτηση της [[δύναμη πίνακα|δύναμης πίνακα]].<ref>{{Citation|last1=Higham|first1=Nicholas|author1-link=Nicholas Higham|title=Functions of Matrices. Theory and Computation|location=Philadelphia, PA|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=978-0-89871-646-7|year=2008}}, chapterκεφάλαιο 11.</ref> Ένα άλλο παράδειγμα είναι η [[p-αδική λογαριθμική συνάρτηση|''p''-αδική λογαριθμική συνάρτηση]], η αντίστροφη της [[p-αδική εκθετική συνάρτηση|''p''-αδικής εκθετικής συνάρτησης]]. Αμφότερες ορίζοναι με σειρά Taylor ανάλογη με την πραγματική περίπτωση.<ref>{{citation| last=Neukirch| ANTfirst=Jürgen| title=Algebraic Number Theory| publisher=Springer-Verlag| location=Berlin| series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften| isbn=978-3-540-65399-8| id= 1697859| year=1999| volume=322}}, sectionενότητα II.5.</ref> Στο εννοιολογικό πλαίσιο της [[διαφορική γεωμετρία|διαφορικής γεωμετρίας]], η [[εκθετική απεικόνιση]] αντιστοιχίζει τον [[εφαπτόμενος χώρος|εφαπτόμενο χώρο]] σε ένα σημείο μίας [[πολλαπλότητα]]ς προς μία [[γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιά]] αυτού του σημείου. Η αντίστροφή της αποκαλείται επίσης λογαριθμική απεικόνιση.<ref>{{Citation|last1=Hancock|first1=Edwin R.|last2=Martin|first2=Ralph R.|last3=Sabin|first3=Malcolm A.|title=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|url=http://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379|publisher=Springer|year=2009|page=379|isbn=978-3-6-4203595-1}}</ref>
 
Στο εννοιολογικό πλαίσιο των [[πεπερασμένες ομάδες|πεπερασμένων ομάδων]] η ύψωση σε δύναμη συνίσταται στον επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό ενός στοιχείου ''b'' της ομάδας με τον ευατό του. Ο [[διακριτός λογάριθμος[[ είναι ο ακέραιος ''n'', ο οποίος αποτελεί λύση της εξίσωσης
όπου ''x'' είναι στοιχείο της ομάδας. Η ύψωση σε δύναμη μπορεί να γίνει αποδοτικά, όμως ο υπολογισμός του διακριτού λογάριθμου πιστεύεται ότι είναι πολύ δύσκολος σε κάποιες ομάδες. Αυτή η ασυμετρία έχει σημαντικές εφαρμογές στην [[κρυπτογραφία δημοσίου κλειδιού]], όπως για παράδειγμα στην [[ανταλλαγή κλειδιών Diffie–Hellman]], μία διαδικασία που επιτρέπει ασφαλείς ανταλλαγές [[κρυπτογραφία|κρυπτογραφικών]] κλειδιών σε μη ασφαλείς διαύλους πληροφοριών.<ref>{{Citation|last1=Stinson|first1=Douglas Robert|title=Cryptography: Theory and Practice|publisher=CRC Press|location=London|edition=3rd|isbn=978-1-58488-508-5|year=2006}}</ref> Ο [[λογάριθμος του Zech]] σχετίζεται μ ετον διακριτό λογάριθμο στην πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών στοιχείων ενός πεπερασμένου πεδίου.<ref>{{Citation|last1=Lidl|first1=Rudolf|last2=Niederreiter|first2=Harald|title=Finite fields|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-39231-0|year=1997}}</ref>
 
Άλλες λογαριθμοειδής συναρτήσεις είναι ο διπλός λογάριθμος ln(ln(''x'')), ο [[υπερλογάριθμος|υπερ- ή υπερ-4-λογάριθμος]] (μια μικρή παραλαγή του οποίου, στην επιστήμη των υπολογιστών αποκαλείται [[επαναλαμβανόμενος λογάριθμος]] (''iterated logarithm''), η [[συνάρτηση W του Lambert]], και η [[logit]]. Είναι οι αντιστροφες συναρτήσεις αντίστοιχα της [[διπλή εκθετική συνάρτηση|διπλής εκθετικής συνάρτησης]], της επαναλαμβανόμενης ύψωσης σε δύναμη (''tetration''), της {{nowrap|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}},<ref>{{Citation | last1=Corless | first1=R. | last2=Gonnet | first2=G. | last3=Hare | first3=D. | last4=Jeffrey | first4=D. | last5=Knuth | first5=Donald | author5-link=Donald Knuth | title=On the Lambert ''W'' function | url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=1996 | journal=Advances in Computational Mathematics | issn=1019-7168 | volume=5 | pages=329–359 | doi=10.1007/BF02124750}}</ref> και της [[λογιστική συνάρτηση|λογιστικής συνάρτησης]].<ref>{{Citation | last1=Cherkassky | first1=Vladimir | last2=Cherkassky | first2=Vladimir S. | last3=Mulier | first3=Filip | title=Learning from data: concepts, theory, and methods | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control | isbn=978-0-471-68182-3 | year=2007}}, pσ. 357</ref>
 
== Σημειώσεις ==
26.490

επεξεργασίες