Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2»

:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
 
Η εξίσωση (1) χωρίζει το ολοκλήρωμα σε δύο μέρη, ενώ στην εξίσωση (2) γίνεται αλλαγή μεταβλητής ({{nowrap begin}}''w'' = ''x''/''t''{{nowrap end}}).<ref group="σημ.">Με αλλαγή μεταβλητής <math>w=\frac{x}{t}</math> συνεπάγεται ότι <math>dw=d\frac{x}{t}=\frac{1}{t}dx</math> συνεπώς <math>\int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \int_1^u \frac{t}{x} \, \frac{1}{t}dx = \int_1^u \frac{1}{x} \, dx</math>.</ref> Στο σχήμα παρακάτω, ο χωρισμός αντιστοιχεί στηνστη διαίρεση της επιφάνειας στο κίτρινο και το μπλε τμήμα. Μειώνοντας την οριζόντια και την κατακόρυφη κλίμακα κατά τον ίδιο παράγοντα ''t'' δεν αλλάζει το μέγεθος. Μετακινώντας την κατάλληλα, η επιφάνεια ταιριάζει ξανά στη γραφική παράσταση της συνάρτησης {{nowrap begin}}''f''(''x'') = 1/''x''{{nowrap end}}. Κατά συνέπεια, η αριστερή μπλέμπλε επιφάνεια η οποία είναι το ολοκλήρωμα της ''f''(''x'') από το ''t'' στο ''tu'' είναι η ίδια με το ολοκλήρωμα από το ''1'' στο ''u''.
 
[[File:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|thumb|center|500px|Οπτικοποιημένη απόδειξη του τύπου του γινομένου για τον φυσικό λογάριθμο.]]
79.766

επεξεργασίες