Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Λογάριθμος»

μ
Οι αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων κληροδοτούνται στις αντίστροφές τους.<ref name=LangIII.3 /> Έτσι, καθώς η {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} είναι συνεχής και [[παραγωγίσιμη συνάρτηση]], έτσι είναι και η log<sub>''b''</sub>(''y''). Χοντρικά, μία συνεχής συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν η γραφική της παράσταση δεν έχει «γωνίες». Επιπροσθέτως, καθώς η [[παράγωγος]] της ''f''(''x'') ισούται με ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> σύμφωνα με τις ιδιότητες της [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]], σύμφωνα με τον [[κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης|κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης]] η παράγωγος του log<sub>''b''</sub>(''x'') δίνεται από τον τύπο<ref name=LangIV.2>{{harvnb|Lang|1997 |nb=yes|loc=ενότητα IV.2}}</ref><ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
Τουτέστιν, η [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] της [[εφαπτομένη]]ς που εφάπτεται στη γραφική παράσταση του λογαρίθμου με βάση ''b'' στο σημείο {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} ισούται με {{nowrap|1/(''x''&thinsp;ln(''b''))}}. Πιο συγκεκριμένα, η παράγωγος του ln(''x'') είναι 1/''x'', το οποίο υποδηλώνει ότι η [[αντιπαράγωγος]] του 1/''x'' είναι {{nowrap|ln(''x'') + C}}. Η παράγωγος με γενικευμένο όρισμα ''f''(''x'') είναι
:<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
Το πηλίκο στο δεξιό μέρος αποκαλείται [[λογαριθμική παράγωγος]] της ''f''. Υπολογίζοντας το ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') μέσω της παραγώγου ln(''f''(''x'')) είναι γνωστό ως [[λογαριθμική παραγώγιση]].<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris || title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=Dover Publications | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, σ. 386</ref> The antiderivative of the natural logarithm ln(''x'') is:<ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))}}</ref>
26.490

επεξεργασίες