Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Λογάριθμος»

Καμία αλλαγή στο μέγεθος ,  πριν από 8 έτη
Νάπιερ
(Νάπιερ)
'''Λογάριθμος''' ενός αριθμού είναι η [[Δύναμη (μαθηματικά)|δύναμη]] στην οποία πρέπει να υψωθεί ένας δεδομένος αριθμός, η [[βάση (μαθηματικά)|βάση]], ώστε να παραχθεί αυτός ο αριθμός. Για παράδειγμα ο λογάριθμος του 1000 με βάση το 10 είναι 3, επειδή το 1000 ισούται με 10 υψωμένο εις την 3:{{nowrap|1000 {{=}} 10<sup>3</sup> {{=}} 10&thinsp;×&thinsp;10&thinsp;×&thinsp;10.}} Πιο γενικά, αν {{nowrap begin}}''x'' = ''b''<sup>''y''</sup>{{nowrap end}} τότε το ''y'' είναι ο λογάριθμος του ''x'' με βάση το&nbsp;''b'', και γράφεται log<sub>''b''</sub>(''x''), έτσι {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(1000) = 3.{{nowrap end}}
 
Οι λογάριθμοι εισήχθησαν από τον [[Τζον ΝαπιέρΝάπιερ]] στις αρχές του 17ου αιώνα ως μέσο για την απλοποίηση των υπολογισμών. Υιοθετήθηκαν με ραγδαίους ρυθμούς από επιστήμονες, μηχανικούς και άλλους ώστε να κάνουν πράξεις με [[λογαριθμικός κανόνας|λογαριθμικούς κανόνες]] και [[πίνακας λογαρίθμων|πίνακες λογαρίθμων]]. Αυτές οι μέθοδοι υπολογισμού βασίζονται στο, σημαντικό από μόνο του, γεγονός ότι ο λογάριθμος ενός [[γινόμενο|γινομένου]] ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,</math>
Η σημερινή έννοια των λογαρίθμων προέρχεται από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο οποίος τους συνέδεσε με την [[εκθετική συνάρτηση]] τον 18ο αιώνα.
</blockquote>
 
Ένα κομβικό εργαλείο που επέτρεψε στην πράξη την χρήση των λογαρίθμων πριν τα κομπιουτεράκια και τους υπολογιστές ήταν ο ''πίνακας λογαρίθμων''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=Oxford University Press | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, ενότητα 2</ref> Ο πρώτος τέτοιος πίνακας συντέθηκε από τον [[Χένρι Μπριγκς]] το 1617, αμέσως μετά την εφεύρεση του ΝαπιέρΝάπιερ. Εν συνεχεία γράφτηκαν πίνακες με ευρύτερο πεδίο και μεγαλύτερη ακρίβεια. Αυτοί οι πίνακες είχαν τιμές του log<sub>''b''</sub>(''x'') και του ''b''<sup>''x''</sup> για κάθε ''x'' σε ένα συγκεκριμένο εύρος, με συγκεκριμένη ακρίβεια, και συγκεκριμένη βάση ''b'' (συνήθως {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). Για παράδειγμα, ο πρώτος πίνακας του Μπριγκς περιείχε τους κοινούς λογάριθμους όλως των ακεραίων στο εύρος 1&ndash;1000, με ακρίβεια 8 ψηφίων. Καθώς η συνάρτηση {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} είναι η αντίστροφη του log<sub>''b''</sub>(''x''), ονομάστηκε αντιλογάριθμος.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=Dover Publications|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972|ref=harv}}, ενότητα 4.7., σ. 89</ref> Το γινόμενο και το πηλίκο δύο θετικών αριθμών ''c'' και ''d'' υπολογίζονταν ως το άθρισμα και η διαφορά των λογαρίθμων τους. Το γινόμενο ''cd'' ή το πηλίκο ''c''/''d'' βρίσκονταν ψάχνοντας το άθρισμα ή την διαφορά, επίσης από τον ίδιο πίνακα:
 
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \ b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
[[Image:Slide rule example2 with labels.svg|center|thumb|550px|Σχηματική απεικόνιση του λογαριθμικού κανόνα. Ξεκινώντας από το 2 στην κάτω κλίμακα, προσθέτωντας το 3 της πάνω κλίμακας υπολογίζεται το γινόμενο 6. Ο λογαριθμικός κανόνας δουλεύει επειδή είναι σημειωμένος έτσι ώστε η απόσταση από το 1 στο ''x'' να είναι ανάλογη του λογάριθμου του ''x''.]]
 
Η μή κινούμενη λογαριθμική κλίμακα, ο [[κανόνας του Gunter]], εφευρέθηκε λίγο μετά την εφεύρεση του ΝαπιέρΝάπιερ. Ο ''[[William Oughtred]]'' τον χρησιμοποίησε για να κατασκευάσει τον κινούμενο κανόνα, ένα ζεύγος λογαριθμικών κλιμάκων που κινούνται η μία ως προς την άλλη. Οι αριθμοί τοποθετούνται σε αποστάσεις ανάλογες των διαφορών των λογαρίθμων τους. Κινώντας τη άνω κλίμακα προκύπτει μηχανική άθριση των λογαρίθμων. Για παράδειγμα, προσθέτωντας την απόσταση από το 1 στο 2 στην κάτω κλίμακα με την απόσταση από το 1 στο 3 στην πάνω κλίμακα δίνει το γινόμενο 6, το οποίο διαβάζεται στο κάτω μέρος. Ο λογαριθμικός κανόνας ήταν απαραίτητο εργαλείο υπολογισμών για μηχανικούς και επιστήμονες μέχρι την δεκαετία του 1970, επειδή επιτρέπει, με το κόστος της μικρότερης ακρίβειας, πολύ ταχύτερους υπολογισμούς από ότι τεχνικές με βάση πίνακες.<ref name="ReferenceA"/>
 
== Αναλυτικές ιδιότητες ==
26.490

επεξεργασίες