Παραγοντοποίηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 6:
'''Παραγοντοποίηση''' είναι στα [[μαθηματικά]] η διαδικασία κατά την οποία μια [[αλγεβρική παράσταση]] μετατρέπεται από άθροισμα σε [[γινόμενο]]. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται '''παράγοντες''' και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται '''ανάλυση'''. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποιήσης η ''παραγοντοποίηση [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] (σε [[πρώτος αριθμός|πρώτους παράγοντες]])''
==Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών==
Γραμμή 49:
: <math>pn + mq = \beta. \,</math>
====Πολυώνυμα Τέλειου Τετραγώνου====
Μερικά πολυώνυμα με τρεις όρους(τριώνυμα) μπορούν να παραγοντοποιηθούν δίνοντας δύο ίδια πολυώνυμα με δύο όρους(διώνυμα).Αυτά τα πολυώνυμα ονομάζονται πολυώνυμα τέλειου τετραγώνου και μπορούν να παραγοντοποιηθούν ως εξής:
:<math> \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2,\,\!</math>
και
:<math> \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha - \beta)^2.\,\!</math>
====Διαφορά Τετραγώνων====
Ένας άλλος συνηθισμένος τύπος παραγοντοποίησης είναι η διαφορά τετραγώνων και εφαρμόζεται στην περίπτωση που το πολυώνυμο είναι (ή μπορεί να γίνει) της μορφής <math> \alpha^2 - \beta^2 </math>.Τότε η παραγοντοποίηση γίνεται ως εξής:
:<math> \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha+\beta)(\alpha-\beta)\!</math>
====Κοινός παράγοντας====
Όταν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα,τότε το πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί με τη βοήθεια της [[επιμεριστικής ιδιότητας]].Για παράδειγμα:
:<math>\alpha\beta+\alpha\gamma = \alpha(\beta+\gamma)\!</math>
και
:<math>x^2yz^2+2xy^2z+3xyz = xyz(xz+2y+3)\!</math>
====Κοινός παράγοντας κατά ομάδες(Ομαδοποίηση)====
Όταν δεν έχουν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου κοινό παράγοντα,τότε μπορούμε να τους χωρίσουμε κατάλληλα σε δύο ή περισσότερες ομάδες(με το ίδιο πλήθος όρων),όπου κάθε ομάδα μπορεί στη συνέχεια να παραγοντοποιηθεί με κάποιον από τους γνωστούς τρόπους.Τα αποτελέσματα αυτών των παραγοντοποιήσεων μπορούν μερικές φορές να συνδυαστούν για να δώσουν ακόμα πιο απλές εκφράσεις.Για παράδειγμα,για να παραγοντοποιήοσυμε το πολυώνυμο
<math>4x^2+20x+3yx+15y \,</math>
Ομαδοποιούμε σε ομάδες με ίσους όρους, <math>(4x^2+20x)+(3yx+15y)\,</math>
Βγάζουμε το μέγιστο κοινό παράγοντα από κάθε ομάδα,<math>4x(x+5)+3y(x+5)\,</math>
Βγάζουμε κοινό παράγοντα <math>(x+5)(4x+3y)\,</math>
===Παραγοντοποίση άλλων πολυωνύμων===
====Άθροισμα ή διαφορά κύβων====
Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως
:<math> \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2),\,\!</math>
και η διαφορά ως
:<math> \alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2).\,\!</math>
====Διαφορά τέταρτων δυνάμεων====
Ένα τέτοιο πολυώνυμo μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:
:<math> \alpha^4 - \beta^4 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2).\,\!</math>
====Άθροισμα ή διαφορά πέμπτων δυνάμεων====
Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως
:<math> \alpha^5 + \beta^5 = (\alpha + \beta)(\alpha^4 - \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 - \alpha \beta^3 + \beta^4),\,\!</math>
και η διαφορά ως
:<math> \alpha^5 - \beta^5 = (\alpha - \beta)(\alpha^4 + \alpha^3 \beta + \alpha^2 \beta^2 + \alpha \beta^3 + \beta^4).\,\!</math>
Γραμμή 59 ⟶ 107 :
Σχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου, και μαθηματικών της Β' Λυκείου γενικής παιδείας (ακαδημαϊκής χρονιάς 2007-2008)
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization Factorization,Wikipedia]
* [http://62gym-athin.att.sch.gr/algeb_c_k1/1_6.pdf Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων]
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||