Τοπολογική πολλαπλότητα

Ένας τοπολογικός χώρος V λέγεται τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n αν α) Ο V είναι χώρος Hausdorff β) Ο V είναι συναφής, γ) Σε κάθε σημείο P του V υπάρχει υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό που είναι ομοιόμορφο προς ένα ανοικτό σύνολο του $\mathbb {R} ^{n}$

Παράδειγμα: ο χώρος $\mathbb {R} ^{n}$ είναι τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n, διότι σε κάθε σημείο του P υπάρχει ανοιχτό σύνολο που περιέχει το P και είναι ομοιόμορφο προς τον εαυτό του.

Χώρος Hausdorff

Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται αν για κάθε x,y που ανηκουν στο Α με x $\neq$ y υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε

B(x,ε) ∩ B(y,ε) = ∅.

Διαφορίσιμη πολλαπλότητα

Η σχέση των ισοδύναμων ατλάντων είναι μια σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει τον τοπολογικό χώρο σε κλάσεις ισοδυναμίας.Κάθε τέτοια κλάση ονομάζεται διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Ποιο συγκεκριμένα, διαφορίσιμη πολλαπλότητα διάστασης n κλάσης $C^{k}$ Ονομάζεται κάθε n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα V με μια k-κλάση ισοδυναμίας από το σύνολο όλων των ατλάντων κλάσης $C^{k}$ που ορίζονται πάνω στην πολλαπλότητα V.

Παράδειγμα: Ο χώρος $\mathbb {R} ^{n}$ είναι διαφορίσιμη πολλαπλότητα της κλάσης $C^{\infty }$ διότι στον χώρο αυτό ορίζεται ο άτλαντας που έχει ένα μόνο στοιχείο (το χάρτη ($\mathbb {R} ^{n}$,I)) όπου I είναι ο ταυτοτικός ομοιομορφισμός επί του $\mathbb {R} ^{n}$ που είναι της κλάσης $C^{\infty }$

Θεωρήματα

Θεώρημα Milnor: Υπάρχει τοπολογική πολλαπλότητα ώστε να ορίσουμε δύο διαφορετικούς άτλαντες που να μην είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους.

Θεώρημα Whitney: Αν σε μια τοπολογική πολλαπλότητα έχουμε έναν άτλαντα κλάσης $C^{1}$ τότε μπορούμε αφαιρώντας κάποιους χάρτες,να προκύψει υποάτλαντας κλάσης $C^{\infty }$

Θεώρημα Kervaire: Μια τοπολογική πολλαπλότγτα δεν επιδέχεται πάντα διαφορίσιμη δομή.