Ροπή αδράνειας: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η '''ροπή αδράνειας''' (ή γωνιακή μάζα) είναι μέγεθος της [[μηχανική]]ς και εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής. Συμβολίζεται με Ι και έχει διαστάσεις kgr[[μάζα|μάζας]] επί [[μήκος]] στο τετράγωνο (σε μονάδες [[διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνούς συστήματος]] kg·m²). Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της αποστασής τους από έναν άξονα. Η γενική σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ενός συστήματος Ν σωματιδίων είναι η:

: <math> I = \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{\perp,i}^2}\,, </math>

όπου m<submath>im_i \ \ \ </submath>,r <submath>r_{\perp,i}</submath> η μάζα και απόσταση από τον άξονα περιστροφής του i-οστού σωματιδίου.

: <math>I = \int \rho(\bold{r})r_{\perp}^2 dm\mathrm{d}^3\bold{r} </math>

Η ροπή αδράνειας έχει στην [[περιστροφική κίνηση]] την σημασία που έχει η [[μάζα]] στην γραμμική. Συγκεκριμένα, η φυσική σημασία της σημασίαροπής είναιαδράνειας ησχετίζεται με την ικανότητα που έχουν τα σώματα να αντιστέκονται σε μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης. Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα, τόσο δυσκολότερα μπορούμε να το περιστρέψουμεπεριστρέφεται.

== Παραδείγματα ροπών αδράνειας ==

=== Δακτύλιος ===

{| class="wikitable collapsible collapsed" width="8035%" style="text-align:left"

Έστω δακτύλιος συνολικής μάζας Μ, η οποία βρίσκεται συγκεντρωμένη σε μιαμία κυκλική περιφέρεια ακτίνας R αμελητέου πάχους. Η ροπή αδράνειας ενός τέτοιου δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του θα είναι λοιπόν:

: <math> I=\int rr_{\perp}^2dm2\mathrm{d}m=R^2\int dm\Leftrightarrow Imathrm{d}m=MR^2 </math>

Στην ολοκλήρωση χρησιμοποιήσαμεχρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι, αφού η κατανομή μάζας του δακτυλίου έχει αμελητέο πάχος, κάθε στοιχείο μάζας αυτού θα βρίσκεται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής.

Έστω ράβδος μήκους L με συνολική μάζα Μ. Θεωρούμε επίσης, γιαΓια λόγους ευκολίας, ότι η ράβδος είναιθεωρείται μονοδιάστατη (έχει δηλαδή μόνο διαστάσεις κατά το μήκος στο οποίο εκτείνεται) και ότι έχει σταθερή γραμμική πυκνότητα μάζας λ (λ=M/L=σταθερό). Αν θεωρήσουμεΘεωρώντας τον άξονα πάνω στον οποίο βρίσκεται η ράβδος ως άξονα των x με την αρχή (x=0) να βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου, τότε η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που περνάει από το κέντρο της θα ισούται με:

: <math> I_{\kappa\acute{\varepsilon}\nu\tau\rho o}=\int rr_{\perp}^2dm2\mathrm{d}m=\lambda\int_{-L/2}^{L/2} x^2 dx\mathrm{d}x=\lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2}=\frac{\lambda}{3}\left(\frac{L^3}{8}-\frac{(-L)^3}{8}\right)=\frac{\lambda L^3}{12}=\frac{1}{12}ML^2 </math>

Αντίστοιχα, ανγια θέλουμετον ναυπολογισμό υπολογίσουμε τητης ροπήροπής αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από ένα απ'από τα δύο άκρα της ράβδου, τοποθετούμε τηνη αρχή των αξόνων μαςτοποθετείται στο άκρο αυτό και ολοκληρώνουμεη ωςολοκλήρωση εξήςδίνει:

: <math> I_{\acute{\alpha}\kappa\rho o}=\int rr_{\perp}^2dm2\mathrm{d}m=\lambda\int_{0}^{L} x^2 dx\mathrm{d}x=\lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{\lambda L^3}{3}=\frac{1}{3}ML^2 </math>

Έστω στερεά σφαίρα ακτίνας R και μάζας Μ, με σταθερή χωρική πυκνότητα ρ=(3/4)(Μ/πR³) (συνολική μάζα της σφαίρας προς τον όγκο της (4/3)πR³). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας στερεάς σφαίρας, ένας εκ των οποίων είναι η χρήση [[σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων|σφαιρικών συντεταγμένων]] (r→ακτινική'''r''':ακτινική απόσταση από την αρχή, θ→ζενίθεια'''θ''':ζενίθεια γωνία, φ→αζιμούθια'''φ''':αζιμούθια/πολική γωνία).

Αν τοποθετήσουμεΤοποθετώντας την αρχή των αξόνων μας στο κέντρο της σφαίρας, τότε η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα που διέρχεται από το κέντρο της θα ισούται μεείναι:

: <math> I=\int r_{\perp}^2 dm\mathrm{d}m=\rho\int (r\sin{\theta})^2 dV\mathrm{d}V\,, </math>

όπου το σύμβολο <math>r_{\perp}</math> (το σύμβολο της καθετότητας προφανώς προερχόμενο από το γεγονός ότι η απόσταση που εισέρχεται στο ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας αναφέρεται στην κάθετη απόσταση από τον άξονα περιστροφής) προτιμήθηκε έναντι του r προς αποφυγή σύγχυσης με το σύμβολο r των σφαιρικών συντεταγμένων. Το γεγονός ότι <math>r_{\perp}=r\sin{\theta}</math> προκύπτει απ'από το γεγονός ότι θεωρήσαμεο τον άξοναάξονας z θεωρήθηκε ως τονο άξοναάξονας περιστροφής, συνεπώς και κάθε σημείο της σφαίρας θα έχει απόσταση από τον άξονα ίση με την προβολή της ακτίνας θέσης του, r, στον άξονα z.

: <math> I=\rho\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi}\sin^3\,\theta \mathrm{d}\theta\int_{0}^{R}r^4dr4\mathrm{d}r=\rho(2\pi)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{R^5}{5}\right)=\frac{8\pi\rho R^5}{15} </math>

: <math> M=\rho V=\frac{4\pi\rho R^3}{3}\,, </math>

: <math> I=\frac{2}{5}MR^2 </math>

{| class="wikitable collapsible collapsed" width="8035%" style="text-align:left"

Έστω λεπτό σφαιρικό κέλυφος αμελητέου πάχους μάζας Μ και ακτίνας R, με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα σ=M/4πR². ΑνΜε χρησιμοποιήσουμεχρήση σφαιρικέςσφαιρικών συντεταγμένεςσυντεταγμένων, τότε το ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας για άξονα που διέρχεται από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κελύφους μας δίνειγίνεται:

: <math> I=\int r_{\perp}^2 dm\mathrm{d}m=\sigma\int (R\sin{\theta})^2 dA\mathrm{d}A\,, </math>

όπου Rsinθ η απόσταση κάθε σημείου της επιφάνειας της σφαίρας από τον άξονα z, τονο οποίοοποίος θεωρούμεθεωρείται ως άξοναο άξονας περιστροφής. Το στοιχείο εμβαδού dA στιςσε σφαιρικές συντεταγμένες ισούται με R²sinθdφdθ, συνεπώς το παραπάνω ολοκλήρωμα μετατρέπεται στο εξής διπλό (ως προς τις γωνιακές συντεταγμένες φ και θ):

: <math> I=\sigma R^4\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\pi} \sin^3{\theta} \,\mathrm{d}\theta=\sigma R^4 (2\pi)\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi\sigma R^4}{3}\ \xrightarrow{M=4\pi R^2\sigma}\ I=\frac{2}{3}MR^2 </math>

{| class="wikitable collapsible collapsed" width="8035%" style="text-align:left"

Έστω συμπαγής κύλινδρος ακτίνας βάσης R, μάζας Μ και μήκους lh, με σταθερή χωρική πυκνότητα μάζας ρ=Μ/πR²lh. ΓιαΚάνοντας ναχρήση υπολογίσουμε[[κυλινδρικό τησύστημα ροπήσυντεταγμένων|κυλινδρικών αδράνειας του συμπαγούς κυλίνδρου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένεςσυντεταγμένων]] (r→ακτινική'''r''':ακτινική απόσταση από τον άξονα συμμετρίας, φ→αζιμουθιακή'''φ''':αζιμουθιακή/πολική γωνία, z→συνιστώσα'''z''':συνιστώσα σημείου στον άξονα συμμετρίας). ΗΕν βασική περίπτωση που μας ενδιαφέρει είναι εκείνη όπουπροκειμένω, ο άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου.

Για τηνΣτη περίπτωση αυτή λοιπόν,ο μπορούμεάξονας ναπεριστροφής ταυτίσουμεμπορεί τοννα άξονα περιστροφήςταυτιστεί με τον άξονα z και την αρχή των αξόνων με μιαμία από τις δυο βάσεις του κυλίνδρου. ΗΤο ροπήολοκλήρωμα αδράνειαςτης θαροπής αδράνειας είναιγίνεται λοιπόν:

: <math> I=\int r^2_{\perp}dm\mathrm{d}m=\rho\int r^2dV2\mathrm{d}V=\rho\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{lh}dz\mathrm{d}z\int_{0}^{R}r^3dr3\mathrm{d}r=\rho(2\pi)(lh)\left(\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi\rho lRhR^4}{2}\ \xrightarrow{M=\rho\pi R^2l2h}\ I=\frac{1}{2}MR^2 </math>