Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Απόσταση (γεωμετρία)»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
[http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/ALGDIST/alg.htm][http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/CIRCLEFIT/fit2dcircle/node3.html]
Για τις καμπύλες ή τις επιφάνειες που δίνονται από την εξίσωση <math>x^T C x=0</math> (όπως σε μια [[κωνική με ομογενείς συντεταγμένες]]), η αλγεβρική απόσταση από το σημείο <math>x'</math> στην καμπύλη είναι απλώς <math>x'^T C x'</math>. Μπορεί να χρησιμεύσει ως "αρχική υπόθεση" για τη γεωμετρική απόσταση,ώστε να βελτιώσει τις εκτιμήσεις της καμπύλης με πιο ακριβείς μεθόδους, όπως η μη-γραμμική ελαχίστων τετραγώνων.
 
 
===Γενική περίπτωση===
 
Για παράδειγμα, ο συνήθης ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών ''x'' και ''y'' είναι: ''d''(''x'',''y'') = |''x'' − ''y''|. Ο ορισμός αυτός πληροί τις τρεις ανωτέρω προϋποθέσεις, και αντιστοιχεί με το πρότυπο της πραγματικής γραμμής στην [[τοπολογία]]. Όμως, η απόσταση σε ένα δεδομένο σύνολο είναι μια ορισμένη επιλογή. Μια άλλη πιθανή επιλογή είναι να καθορίσει: ''d''(''x'',''y'') = 0 if ''x'' = ''y'', και 1 διαφορετικά. Αυτή ορίζει επίσης μια μετρική, αλλά δίνει μια εντελώς διαφορετική τοπολογία, τη [[διακριτή τοπολογία]]; Με τον ορισμό αυτό οι αριθμοί δεν μπορούν να είναι αυθαίρετα κοντά.
 
===Απόσταση μεταξύ συνόλων και μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου===
[[File:Distance_between_sets.svg‎|thumb|
''d''(''A'',&nbsp;''B'')&nbsp;>&nbsp;''d''(''A'',&nbsp;''C'')&nbsp;+&nbsp;''d''(''C'',&nbsp;''B'')]]
Διάφοροι ορισμοί της αποστάσεως είναι δυνατοί μεταξύ αντικειμένων. Για παράδειγμα, μεταξύ των ουράνιων σωμάτων δεν θα πρέπει να συγχέουμε την επιφάνεια-σε-επιφάνεια απόσταση και την από-κέντρο-σε-κέντρο απόσταση. Αν η πρώτη είναι πολύ μικρότερη από την τελευταία αναφέρεται η πρώτη,διαφορετικά, π.χ. για την απόσταση Γη-Σελήνη ,αναφέρεται η τελευταία.
Υπάρχουν δύο κοινοί ορισμοί για την απόσταση μεταξύ δύο μη κενών υποσυνόλων μιας δοσμένης ομάδας:
 
*Μια εκδοχή της απόστασης μεταξύ δύο μη κενών συνόλων είναι το [[infimum]] των αποστάσεων μεταξύ δύο οποιονδήποτε αντίστοιχων σημείων τους, η οποία είναι η καθημερινή έννοια της λέξης. Αυτή είναι μια συμμετρική [[premetric]]. Με μια συλλογή από σύνολα εκ των οποίων ορισμένα άπτονται ή επικαλύπτουν το ένα το άλλο, δεν είναι "διαχωριστικό", επειδή η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαφορετικά, αλλά εφαπτόμενα ή επικαλυπτόμενα σύνολα είναι μηδέν. Επίσης, δεν είναι [[hemimetric]] εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Συνεπώς, μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, η απόσταση κάνει μια συλλογή από σύνολα έναν μετρικό χώρο.
*Η [[απόσταση Hausdorff]] είναι η μεγαλύτερο από δύο τιμές, μία είναι η [[supremum]] για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο, του infimum για ένα δεύτερο σημείο που κυμαίνεται πάνω από το άλλο σύνολο, η απόσταση μεταξύ των σημείων, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν. Αυτή η απόσταση καθιστά το σύνολο των μη-κενών συμπαγών υποσυνόλων του μετρικού χώρου το ίδιο μετρικό χώρο.
 
Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου είναι το infimum των αποστάσεων μεταξύ του σημείου και εκείνων στο σύνολο. Αυτό αντιστοιχεί στην απόσταση, σύμφωνα με το πρώτο από τους προαναφερόμενους ορισμούς της απόστασης μεταξύ των συνόλων, από το σύνολο που περιέχει μόνο αυτό το σημείο σε ένα άλλο σύνολο.
 
Όσον αφορά αυτό, ο ορισμός της απόστασης Hausdorff μπορεί να απλοποιηθεί:είναι η μεγαλύτερη από τα δύο τιμές, η μία είναι η supremum ,για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο,της απόσταση μεταξύ του σημείου και του συνόλου, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν.
 
===Θεωρία γραφημάτων(γράφων)===
Ανώνυμος χρήστης