Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Rezabot (συζήτηση | συνεισφορές)
μ r2.7.1) (Ρομπότ: Τροποποίηση: he:משפטי האי-שלמות של גדל
ορθγρ
Γραμμή 25:
Είναι δυνατόν να ορίσουμε μια μεγαλύτερη θεωρία ''Θ’'' που να περιέχει όλη την ''Θ'', συν την ''G'' ως πρόσθετο αξίωμα. Σε αυτήν την περίπτωση, η ''G'' είναι πράγματι θεώρημα στην ''Θ’'' (τετριμμένα, μιας και είναι αξίωμα). Παρόλα αυτά, αυτό το θεώρημα μη-πληρότητας τότε εφαρμόζεται στην ''Θ’''. Θα υπάρχει μια νέα πρόταση Γκέντελ ''G’'' για την ''Θ’'', που θα δείχνει ότι η ''Θ’'' είναι επίσης μη-πλήρης. Κάθε θεωρία έχει τη δική της πρόταση Γκέντελ.
 
Για να αποδείξει το πρώτο θεώρημα μη-πληρότητας, ο Γκέντελ απαρίθμησε τις προτάσεις της θεωρίας: Σε κάθε πρόταση αντιστοίχισε έναν αριθμό. Σε αυτές τις προτάσεις συμπεριέλαβε και δηλώσεις πάνω στις ίδιες τις προτάσεις, οι οποίες θα πρέπει να είναι είτε αληθείς είτε ψευδείς. Θεώρησε την πρόταση “η πρόταση με τον αριθμό x δεν μπορεί να αποδειχτεί”. Κατόπιν έδειξε ότι υπάρχει μια αντιστοίχησηαντιστοίχιση, τέτοια ώστε η παραπάνω πρόταση να έχει τον αριθμό x. Έτσι η πρόταση παίρνει τη μορφή: “Η παρούσα πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί”. Αν είναι αληθής, τότε υπάρχει μια πρόταση στη θεωρία που δεν είναι αποδείξιμη και επομένως η θεωρία δεν είναι πλήρης. Αν είναι ψευδής, τότε η συγκεκριμένη πρόταση μπορεί να αποδειχτεί. Μια θεωρία όμως μέσα στην οποία μπορεί να αποδειχτεί μια λάθος πρόταση είναι αντιφατική και άρα ασυνεπής.
 
== Δεύτερο θεώρημα μη-πληρότητας ==