Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τα συμπεράσματα των θεωρημάτων του Γκέντελ ισχύουν μόνο για τις τυπικές θεωρίες που ικανοποιούν τις απαραίτητες υποθέσεις. Δεν ικανοποιούν όλα τα αξιωματικά συστήματα αυτές τις υποθέσεις, ακομάακόμα και όταν αυτά τα συστήματα έχουν μοντέλα που συμπεριλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς ως υποσύνολο. Για παράδειγμα, υπάρχουν πρώτου βαθμού αξιωματικοποιήσεις της [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδειας γεωμετρίας]] και των [[Πραγματικά κλειστά πεδία|πραγματικών κλειστών πεδίων]] που δεν ικανοποιούν τις υποθέσεις των θεωρημάτων του Γκέντελ. Το γεγονός κλειδί είναι ότι αυτές οι αξιωματικοποιήσεις δεν είναι αρκετά εκφραστικές ώστε να ορίσουν το σύνολο των φυσικών αριθμών ή να αναπτύξειαναπτύξουν βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών.