Μέγιστος κοινός διαιρέτης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ένας σημαντικός αριθμός για τους υπολογισμούς των ακεραίων αριθμών. Έστω δύο [[φυσικοί αριθμοί]] α και β.

'''Διαιρέτης''' του αριθμού α λέγεται κάθε φυσικός αριθμός κ για τον οποίο υπάρχει αριθμός μ τέτοιος, ώστε: α=μκ

Με άλλα λόγια όποιος από τους αριθμούς α, α/2, α/2, α/4, ... είναι φυσικός, είναι διαιρέτης του α. Κάθε διαιρέτης του α είναι μικρότερος ή ίσος του α, αφού ο μ είναι φυσικός (μη μηδενικός) αριθμός.

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β συμβολίζεται με ΜΚΔ(α,β).

 

Παραγοντοποιούμε τους α και β σε γινόμενο [[πρώτος αριθμός|πρώτων]] παραγόντων. Αποδεικνύεται ότι το ΜΚΔ(α,β) ισούται με το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων υψωμένων ο καθένας στη μικρότερη κοινή δύναμη. Για παράδειγμα:

Έστω ότι α =120 και β =350. Από τη διαδικασία της παραγοντοποίησης προκύπτει ότι 120 = 2³*3*5 και 350 = 2*5²*7. Οι πρώτοι παράγοντες είναι οι 2, 5 οι κοινοί και 3, 7 οι μη κοινοί. Υψωμένοι ο καθένας από τους '''κοινούς''' στη μικρότερη δύναμή του είναι 2, 5. Άρα ΜΚΔ(α,β)= 2*5 = 10.

 

Έστω ότι α=150 και β=350. Από τη διαδικασία της παραγοντοποίησης προκύπτει ότι 150=2*3*5² και 350=2*5²*7. Οι πρώτοι παράγοντες είναι οι 2, 5 οι κοινοί και 3, 7 οι μη κοινοί. Υψωμένοι ο καθένας από τους κοινούς παράγοντες στη μικρότερη δύναμή του είναι 2, 5². Άρα ΜΚΔ(α,β)=2*5²=50.

*[[Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]]

*[[Παραγοντοποίηση]]