Μονοτονία συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

{{Μαθηματικές συναρτήσεις}}

[[Αρχείο:Strictly increasing and decreasing functions.png|thumb|250px|Τέσσερις περιπτώσεις συναρτήσεων όπου φαίνεται η σχέση των κατευθύνσεων των μεταβολών της ανεξάρτητης και εξαρημένης μεταβλητής, ανάλογα με τη μονοτονία.]]

*Σταθερή

 

[[Αρχείο:Strictly increasing function.png|thumb|Παράδειγμα γνήσιας αύξουσας συνάρτησης. Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη ή συνεχής.]]

 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α>β, όπου f είναι η συνάρτηση.

 

 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α<β, όπου f είναι η συνάρτηση.

Αν η συνάρτηση είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμούτ της, ή στο πεδίο ορισμού της γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, τότε ονομάζεται ''γνησίως μονότοτονη''. Αυτό ο όρος διακρίνει τις περιπτώσεις όπου μία συνάρτηση μπορεί να είναι σταθερή σε κάποια τμήματα του πεδίου ορισμού της.

 

[[Αρχείο:Function.png|thumb|right|Μεταβάλλεται το x, ανάλογα με τη μονοτονία μεταβάλλεται και το y.]]

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)>=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

 

 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)<=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

 

 

Ανεξάρτητα από τις αλλαγές της εξαρτημένης μεταβλητής η τιμή της συνάρτησης δε μεταβάλλεται. Ισχύει f(α)=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση, ανεξάρτητα αν α>β, α<β ή α=β.

 

 

Η ''κατεύθυνση της μεταβολής'' δύο διαδοχικών τιμών α1 και α2 μιας μεταβλητής α είναι το πρόσημο της διαφοράς Δα=α2-α1. Έτσι, ισχύει:

 

Η μελέτη της μονοτονίας γίνεται πρωτογενώς μέσω του ''λόγου μεταβολής'' της συνάρτησης λ=Δf(α)/Δα, όπου f η συνάρτηση. Το πρόσημο του λόγου μεταβολής δείχνει την ποιοτική σχέση της ανισότητας των f(α),f(β) και της ανισότητας των α,β. Αν η συνάρτηση είνα γνήσια αύξουσα, τότε η μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίδια με αυτήν της ανεξάρτητης και ισχύει λ>0. Παρομοίως, αν η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα τότε λ<0. Αν είναι αύξουσα είναι λ>=0, αν είναι φθίνουσα λ<=0 και αν είναι σταθερή λ=0.

 

<!--εκρεμούν αποδείξεις-->

 

Σημεία στα οποία η μονοτονία είναι διαφορετική στις δυο μεριές του σημείου είναι [[ακρότατα]]. Ο παράγωγος αριθμός σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν (αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως ''μικρό θεώρημα του Φερμά'').

 

[[Αρχείο:Mean value theorem.jpg|thumb]]

Έστω η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία θ [[συνάρτηση εφαπτομένη|εφαπτομένης]] ίση με το λόγο μεταβολής. Αποδεικνύεται ότι αυτή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία που χρησιμοποιήσαμε για τον προσδιορισμό του λόγου μεταβολής τους και το είδος μονοτονίας της εξαρτάται από τη σχέση των ανισοτικών σχέσεων των δύο σημείων. Η εφαπτομένη της θ ονομάζεται και ''κλίση'' της ευθείας. Η εφαπτομένη σε σημείο γραφικής παράστασης έχει κλίση ίση με τον παράγωγο αριθμό στο σημείο επαφής, που ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας θ.