Λογάριθμος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Xqbot (συζήτηση | συνεισφορές) μ r2.7.3) (Ρομπότ: Προσθήκη: sn:Muzanehwaro; διακοσμητικές αλλαγές |
|||
Γραμμή 1:
[[
'''Λογάριθμος''' ενός αριθμού είναι η [[Δύναμη (μαθηματικά)|δύναμη]] στην οποία πρέπει να υψωθεί ένας δεδομένος αριθμός, η [[βάση (μαθηματικά)|βάση]], ώστε να παραχθεί αυτός ο αριθμός. Για παράδειγμα ο λογάριθμος του 1000 με βάση το 10 είναι 3, επειδή το 1000 ισούται με 10 υψωμένο εις την 3:{{nowrap|1000 {{=}} 10<sup>3</sup> {{=}}
Οι λογάριθμοι εισήχθησαν από τον [[Τζον Νάπιερ]] στις αρχές του 17ου αιώνα ως μέσο για την απλοποίηση των υπολογισμών. Υιοθετήθηκαν με ραγδαίους ρυθμούς από επιστήμονες, μηχανικούς και άλλους ώστε να κάνουν πράξεις με [[λογαριθμικός κανόνας|λογαριθμικούς κανόνες]] και [[πίνακας λογαρίθμων|πίνακες λογαρίθμων]]. Αυτές οι μέθοδοι υπολογισμού βασίζονται στο, σημαντικό από μόνο του, γεγονός ότι ο λογάριθμος ενός [[γινόμενο|γινομένου]] ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του:
Γραμμή 13:
Κατά τον ίδιο τρόπο με τον οποίο ο λογάριθμος αντιστρέφει την [[ύψωση σε δύναμη]], ο [[μιγαδικός λογάριθμος]] είναι η [[αντίστροφη συνάρτηση]] της εκθετικής συνάρτησης εφαρμοζόμενης στους [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς αριθμούς]]. Ο [[διακριτός λογάριθμος]] είναι μια άλλη παραλλαγή η οποία έχει εφαρμογές στην [[κρυπτογράφηση δημοσίου κλειδιού]].
== Προέλευση και ορισμός ==
Η ιδέα του λογαρίθμου είναι να αντιστραφεί η πράξη της [[ύψωση σε δύναμη|ύψωσης σε δύναμη]]. Για παράδειγμα, η τρίτη δύναμη ([[κύβος (άλγεβρα)|κύβος]]) του 2 είναι το 8, επειδή το 8 είναι το γινόμενο τριών παραγόντων ίσων με 2:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,</math>
Κατά συνέπεια ο λογάριθμος του 8 με βάση το 2 είναι το 3.
=== Ύψωση σε δύναμη ===
Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού ''b'' είναι το γινόμενο 3 παραγόντων, κάθε ένας από τους οποίους είναι το ''b''. Γενικότερα, η ύψωση του ''b'' στη {{nowrap|''n''-στή}} δύναμη, όπου ''n'' είναι ένας [[φυσικός αριθμός]], γίνεται πολλαπλασιάζοντας ''n'' παράγοντες ''b''. Η {{nowrap|''n''-στή}} δύναμη του ''b'' γράφεται ''b''<sup>''n''</sup>, έτσι
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n\ \pi\alpha\rho\acute{\alpha}\gamma o\nu\tau\epsilon\varsigma}.</math>
Η ''n''-στή δύναμη του ''b'', ''b''<sup>''n''</sup>, ορίζεται όταν ο ''b'' είναι θετικός αριθμός και ο ''n'' είναι [[πραγματικός αριθμός]]. Για παράδειγμα ''b''<sup>
=== Ορισμός ===
Ο λογάριθμος ενός αριθμού ''y'' ως προς ''βάση'' ''b'' είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί ο ''b'' ώστε να παραχθεί ο ''y''. Με άλλα λόγια ο λογάριθμος του ''y'' με βάση το ''b'' είναι η λύση ''x'' της εξίσωσης<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|ref = harv}}, κεφάλαιο 1</ref>
Γραμμή 29:
Ο λογάριθμος συμβολίζεται log<sub>''b''</sub>(''y'') (διαβάζεται ως «λογάριθμος του ''y'' με βάση το ''b''»). Για να ορίζεται ο λογάριθμος, θα πρέπει η βάση ''b'' να είναι [[θετικός αριθμός|θετικός]] πραγματικός αριθμός μη ίσος με 1 και ο ''y'' να είναι θετικός αριθμός.{{#tag:ref|Οι περιορισμοί για το ''y'' και το ''b'' εξηγούνται στην ενότητα [[#Αναλυτικές ιδιότητες|«Αναλυτικές ιδιότητες»]].|group=σημ.}}
=== Παραδείγματα ===
Για παράδειγμα {{nowrap|log<sub>2</sub>(16) {{=}} 4}}, καθώς {{nowrap|2<sup>4</sup> {{=}}
: <math>\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1,\, </math>
καθώς
Γραμμή 37:
Ένα τρίτο παράδειγμα: log<sub>10</sub>(150) ισούται περίπου με 2,176, το οποίο βρίσκεται μεταξύ 2 και 3, καθώς το 150 βρίσκεται μεταξύ {{nowrap|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} και {{nowrap|10<sup>3</sup> {{=}} 1000}}. Τέλος, για οποιαδήποτε βάση ''b'', {{nowrap|log<sub>''b''</sub>(''b'') {{=}} 1}} and {{nowrap|1=log<sub>''b''</sub>(1) = 0}} καθώς {{nowrap|''b''<sup>1</sup> {{=}} ''b''}} και {{nowrap|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}, αντίστοιχα.
== Λογαριθμικές ταυτότητες ==
Αρκετοί σημαντικοί τύποι, που αποκαλούνται και ''λογαριθμικές ταυτότητες'', συσχετίζουν τους λογάριθμους μεταξύ τους.<ref>Όλες οι δηλώσεις της ενότητας αυτής μπορούν να βρεθούν, για παράδειγμα, στα {{harvnb|Shirali|2002|loc=ενότητα 4|nb=yes}}, {{harvnb|Downing|2003|p=275}}, ή {{harvnb|Bhapkar|2009|p= 1-1|nb=yes}}.</ref>
=== Γινόμενο, πηλίκο, δύναμη και ρίζα ===
Ο λογάριθμος ενός γινομένου ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του. Ο λογάριθμος του λόγου δύο αριθμών ισούται με την διαφορά των λογαρίθμων τους. Συνεπώς ο λογάριθμος της {{nowrap|''n''-στής}} δύναμης ενός αριθμού ισούται με ''n'' φορές τον λογάριθμο του αριθμού αυτού, ενώ ο λογάριθμος της {{nowrap|''n''-στής}} ρίζας του αριθμού ισούται με τον λογάριθμό του διαιρεμένο δια ''n''. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται αυτές οι ταυτότητες μαζί με παραδείγματα:
Γραμμή 59:
</center>
=== Αλλαγή βάσης ===
Ο λογάριθμος log<sub>''b''</sub>(''x'') μπορεί να υπολογιστεί από τους λογαρίθμους του ''x'' και του ''b'' ως προς μία αυθαίρετη βάση ''k'' χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
: <cite id=labelLogarithmBaseChange><math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\, </math></cite>
Γραμμή 67:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>
== Ειδικές βάσεις ==
Ανάμεσα σε όλες τις επιλογές για την βάση ''b'', τρεις είναι ιδιαίτερα κοινές. Αυτές είναι ''b'' = 10, ''b'' = [[Αριθμός e (μαθηματικά)|''e'']] (η [[άρρητος αριθμός|άρρητη]] μαθηματική σταθερά
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Έτσι, ο log<sub>10</sub>(''x'') σχετίζεται με τον αριθμό των [[δεκαδικό ψηφίο|δεκαδικών ψηφίων]] ενός θετικού ακεραίου ''x'': ο αριθμός των ψηφίων είναι ο μικρότερος [[ακέραιος]] που είναι αμέσως μεγαλύτερος από τον log<sub>10</sub>(''x'').<ref> {{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, σ. 20</ref> Για παράδειγμα, log<sub>10</sub>(1430) ισούται περίπου με 3,15. Ο επόμενος ακέραιος είναι το 4, το οποίο είναι ο αριθμός των ψηφίων του 1430. Ο λογάριθμος με βάση το δύο χρησιμοποιείται στην [[επιστήμη των υπολογιστών]], όπου το [[δυαδικό σύστημα]] χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά.
Γραμμή 85:
| [[δυαδικός λογάριθμος]]
| lb(''x'')<ref name=gullberg>{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location=New York|publisher = W. W. Norton & Co|year = 1997|isbn=978-0-393-04002-9}}</ref>
| ld(''x''), log(''x'')<br />(στην επιστήμη υπολογιστών), lg(''x'')
| επιστήμη υπολογιστών, [[πληροφορική]]
|-
Γραμμή 95:
{{Citation|title = Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis|author = Irving Stringham|publisher = The Berkeley Press|year = 1893|page = xiii|url = http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=}}</ref><ref>{{Citation|title = Introduction to Financial Technology|author = Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year = 2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln
}}</ref>|name=adaa|group=σημ.}}
| log(''x'')<br />(στα μαθηματικά και πολλές [[γλώσσα προγραμματισμού|γλώσσες προγραμματισμού]]{{#tag:ref|Για παράδειγμα [[C (γλώσσα προγραμματισμού)|C]], [[Java]], [[Haskell]], and [[BASIC]].|group=σημ.}})
| μαθηματική ανάλυση, φυσική, χημεία,<br />[[στατιστική]], [[οικονομικά]], και κάποια γνωστικά πεδία μηχανικών
|-
! scope="row"|10
| [[κοινός λογάριθμος]]
| lg(''x'')
| log(''x'')<br />(μηχανική, βιολογία, αστρονομία),
| διάφορα πεδία [[Επιστήμες μηχανικών|μηχανικής]], <br />λογαριθμικοί [[μαθηματικός πίνακας|πίνακες]], [[επιστημονικά κομπιουτεράκια]]
|}
== Ιστορία ==
=== Πρόδρομοι ===
Ο [[ινδικά μαθηματικά|Ινδός μαθηματικός]] [[Βιρασένα]] εργάστηκε πάνω στην έννοια του ''ardhaccheda'': ο αριθμός των φορών που ένας αριθμός της μορφής 2<sup>''n''</sup> μπορεί να διαιρεθεί. Για ακριβείς δυνάμεις του 2, αυτό είναι ο λογάριθμος με βάση το 2, ο οποίος είναι ακέραιος αριθμός, για άλλους αριθμόυς είναι αόριστος. Περιέγραψε σχέσεις όπως ο τύπος του γινομένου και εισήγαγε επίσης ακέραιους λογαρίθμους με βάση 3 (''trakacheda'') και 4 (''caturthacheda'').<ref>{{citation| contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi|publisher=Popular Prakashan|year=2000| contribution-url=http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref><ref>{{Citation|edition=3rd|date=1996|title=THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL|editor=Dr. Hiralal Jain |publisher=Jain Samskriti Samrakshaka Sangha|location=Solapur|url=http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|unused_data=Mathematics of Dhavala}}, part 3-4-5, book 4</ref> Ο [[Μίχαελ Στίφελ]] δημοσίευσε το έργο ''Arithmetica integra'' το 1544 στη [[Νυρεμβέργη]] το οποίο περιέχει ένα πίνακα<ref>{{Citation|first=Michaele|last=Stifelio|publisher=Iohan Petreium|location=London|year=1544|title=Arithmetica Integra|url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419}}</ref> ακεραίων και δυνάμεων του 2 οποίος θεωρείται πρώιμη εκδοχή ενός λογαριθμικού πίνακα.<ref>{{Citation | last=Bukhshtab | first=A.A. | last2=Pechaev | first2=V.I. | year=2001 | contribution=Arithmetic | contribution-url=http://eom.springer.de/A/a013260.htm | editor-last=Hazewinkel | editor-first=Michiel | title=Encyclopaedia of Mathematics | publisher=Springer | isbn=978-1556080104}}</ref><ref>
{{Citation|title = Precalculus mathematics|author = Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>
=== Από τον Νάπιερ στον Όιλερ ===
[[
Η μέθοδος των λογαρίθμων δόθηκε στη δημοσιότητα από τον [[Τζον Νάπιερ]] το 1614, σε ένα βιβλίο υπό τον τίτλο ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (''Περιγραφή του Θαυμαστού Κανόνα των Λογαρίθμων'').<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge}}</ref>
Γραμμή 132:
{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|ref=harv}}, ενότητα 2</ref>
[[
Το 1647 ο ''[[Grégoire de Saint-Vincent]]'' συσχέτισε τους λογάριθμους με τον τετραγωνισμό της υπερβολής, επισημαίνοντας ότι η επιφάνεια ''f''(''t'') κάτω από την υπερβολή από {{nowrap|''x'' {{=}} 1}} to {{nowrap|''x'' {{=}} ''t''}} ικανοποιεί την σχέση
Γραμμή 144:
{{harvnb|Maor |2009 |loc=ενότητες1, 13}}</ref><ref>{{Citation |last1=Eves |first1=Howard Whitley |title=An introduction to the history of mathematics |publisher=Saunders |location=Philadelphia |edition=6th |series=The Saunders series |isbn=978-0-03-029558-4 |year=1992}}, ενότητα 9-3</ref><ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991|ref=harv}}, σ. 484, 489</ref>
=== Λογαριθμικοί πίνακες, λογαριθμικοί κανόνες και ιστορικές εφαρμογές ===
[[
Απλοποιόντας δύκολου υπολογισμού, οι λογάριθμοι συνέβαλαν στην πρόοδο της επιστήμης, και ειδικότερα της [[αστρονομία]]ς. Ήταν κρίσιμοι για τις προόδους στην [[τοπογραφία]], την [[αστρονομική ναυτιλία]] και άλλα πεδία. Ο [[Πιέρ Σιμόν Λαπλάς]] ονόμασε του λογάριθμους
Γραμμή 155:
</blockquote>
Ένα κομβικό εργαλείο που επέτρεψε στην πράξη την χρήση των λογαρίθμων πριν τα κομπιουτεράκια και τους υπολογιστές ήταν ο ''πίνακας λογαρίθμων''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=Oxford University Press | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, ενότητα 2</ref> Ο πρώτος τέτοιος πίνακας συντέθηκε από τον [[Χένρι Μπριγκς]] το 1617, αμέσως μετά την εφεύρεση του Νάπιερ. Εν συνεχεία γράφτηκαν πίνακες με ευρύτερο πεδίο και μεγαλύτερη ακρίβεια. Αυτοί οι πίνακες είχαν τιμές του log<sub>''b''</sub>(''x'') και του ''b''<sup>''x''</sup> για κάθε ''x'' σε ένα συγκεκριμένο εύρος, με συγκεκριμένη ακρίβεια, και συγκεκριμένη βάση ''b'' (συνήθως {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). Για παράδειγμα, ο πρώτος πίνακας του Μπριγκς περιείχε τους κοινούς λογάριθμους όλως των ακεραίων στο εύρος
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \ b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
Γραμμή 167:
:<math>\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,</math>
Πολλοί λογαριθμικοί πίνακες δίνουν λογάριθμους παρέχοντας ξεχωριστά το ακέραιο logariumik;o (χαρακτηριστικό) και το δεκαδικό λογαριθμικό (''mantissa'') μέρος του ''x''.<ref>{{Citation | last1=Spiegel | first1=Murray R. | last2=Moyer | first2=R.E. | title=Schaum's outline of college algebra | publisher=McGraw-Hill | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 | year=2006}}, σ. 264</ref> Το χαρακτηριστικό του {{nowrap|10
:<math>\log_{10}(3542) = \log_{10}(10\cdot 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \, </math>
Γραμμή 173:
Μία ακόμα σημαντική εφαρμογή ήταν ο [[λογαριθμικός κανόνας]], ένα ζεύγος λογαριθμικώς χωρισμένων κλιμάκων όπως φαίνεται εδώ:
[[
Η μή κινούμενη λογαριθμική κλίμακα, ο [[κανόνας του Gunter]], εφευρέθηκε λίγο μετά την εφεύρεση του Νάπιερ. Ο ''[[William Oughtred]]'' τον χρησιμοποίησε για να κατασκευάσει τον κινούμενο κανόνα, ένα ζεύγος λογαριθμικών κλιμάκων που κινούνται η μία ως προς την άλλη. Οι αριθμοί τοποθετούνται σε αποστάσεις ανάλογες των διαφορών των λογαρίθμων τους. Κινώντας τη άνω κλίμακα προκύπτει μηχανική άθριση των λογαρίθμων. Για παράδειγμα, προσθέτωντας την απόσταση από το 1 στο 2 στην κάτω κλίμακα με την απόσταση από το 1 στο 3 στην πάνω κλίμακα δίνει το γινόμενο 6, το οποίο διαβάζεται στο κάτω μέρος. Ο λογαριθμικός κανόνας ήταν απαραίτητο εργαλείο υπολογισμών για μηχανικούς και επιστήμονες μέχρι την δεκαετία του 1970, επειδή επιτρέπει, με το κόστος της μικρότερης ακρίβειας, πολύ ταχύτερους υπολογισμούς από ότι τεχνικές με βάση πίνακες.<ref name="ReferenceA"/>
Γραμμή 193:
Η μοναδική λύση ''x'' είναι ο λογάριθμος του ''y'' με βάση ''b'', log<sub>''b''</sub>(''y''). Η συνάρτηση η οποία αποδίδει τιμές στο ''y'' αποκαλείται ''λογαριθμική συνάρτηση'' ή ''συνάρτηση λογαρίθμου'' (ή απλά ''λογάριθμος'').
=== Αντίστροφη συνάρτηση ===
[[
Σύμφωνα με τον τύπο του λογαρίθμου μίας δύναμη, για οποιονδήποτε αριθμό ''x'',
:<math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.</math>
Γραμμή 203:
Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν στενή σχέση με τις αρχικές συναρτήσεις. Οι [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικές τους παραστάσεις]] μπορούν να βρεθούν, η μία από την άλλη, αλλάζοντας τις συντεταγμένες ''x'' με τις ''y'' (ή με ανάκλαση στην διαγώνια ευθεία ''x'' = ''y''), όπως φαίνεται δεξιά: ένα σημείο (''t'', ''u'' = ''b''<sup>''t''</sup>) στη γραφική παράσταση της ''f'' έχει τιμή (''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'') στο γράφημα του λογαρίθμου και αντίστροφα. Κατά συνέπεια, log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο άπειρο καθώς το ''x'' τείνει στο άπειρο, δεδομένου ότι το ''b'' είναι μεγαλύτερο από ένα. Σε αυτή την περίπτωση η log<sub>''b''</sub>(''x'') ειναι [[γνησίως αύξουσα συνάρτηση|γνησίως αύξουσα]]. Για {{nowrap|''b'' < 1}}, η log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο μείον άπειρο αντίστοιχα. Όταν το ''x'' τείνει στο μηδέν, η log<sub>''b''</sub>(''x'') τείνει στο μείον άπειρο για {{nowrap|''b'' > 1}} (συν άπειρο για {{nowrap|''b'' < 1}}, αντίστοιχα).
=== Παράγωγος και αντιπαράγωγος ===
[[
Οι αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων κληροδοτούνται στις αντίστροφές τους.<ref name=LangIII.3 /> Έτσι, καθώς η {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} είναι συνεχής και [[παραγωγίσιμη συνάρτηση]], έτσι είναι και η log<sub>''b''</sub>(''y''). Χοντρικά, μία συνεχής συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν η γραφική της παράσταση δεν έχει «γωνίες». Επιπροσθέτως, καθώς η [[παράγωγος]] της ''f''(''x'') ισούται με ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> σύμφωνα με τις ιδιότητες της [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]], σύμφωνα με τον [[Παράγωγος#Κανόνες παραγώγισης|κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης]] η παράγωγος του log<sub>''b''</sub>(''x'') δίνεται από τον τύπο<ref name=LangIV.2>{{harvnb|Lang|1997 |nb=yes|loc=ενότητα IV.2}}</ref><ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
Τουτέστιν, η [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] της [[εφαπτομένη]]ς που εφάπτεται στη γραφική παράσταση του λογαρίθμου με βάση ''b'' στο σημείο {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} ισούται με {{nowrap|1/(''x''
:<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
Το πηλίκο στο δεξιό μέρος αποκαλείται [[λογαριθμική παράγωγος]] της ''f''. Υπολογίζοντας το ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') μέσω της παραγώγου ln(''f''(''x'')) είναι γνωστό ως [[λογαριθμική παραγώγιση]].<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris || title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=Dover Publications | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, σ. 386</ref> The antiderivative of the natural logarithm ln(''x'') is:<ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))}}</ref>
Γραμμή 213:
Σχετικοί τύποι, όπως οι αντιπαράγωγοι λογαρίθμων με άλλες βάσεις μπορούν να προκύψουν από αυτή την εξίσωση με αλλαγή βάσεων.<ref>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|year=1972|nb=yes|p=69}}</ref>
=== Ολοκληρωτική αναπαράσταση του φυσικού λογαρίθμου ===
[[
Ο φυσικός λογάριθμος του ''t'' είναι ίσος με το [[ολοκλήρωμα]] του 1/''x'' ''dx'' από το 1 στο ''t'':
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
Γραμμή 224:
Η εξίσωση (1) χωρίζει το ολοκλήρωμα σε δύο μέρη, ενώ στην εξίσωση (2) γίνεται αλλαγή μεταβλητής ({{nowrap begin}}''w'' = ''x''/''t''{{nowrap end}}).<ref group="σημ.">Με αλλαγή μεταβλητής <math>w=\frac{x}{t}</math> συνεπάγεται ότι <math>dw=d\frac{x}{t}=\frac{1}{t}dx</math> συνεπώς <math>\int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \int_1^u \frac{t}{x} \, \frac{1}{t}dx = \int_1^u \frac{1}{x} \, dx</math>.</ref> Στο σχήμα παρακάτω, ο χωρισμός αντιστοιχεί στη διαίρεση της επιφάνειας στο κίτρινο και το μπλε τμήμα. Μειώνοντας την οριζόντια και την κατακόρυφη κλίμακα κατά τον ίδιο παράγοντα ''t'' δεν αλλάζει το μέγεθος. Μετακινώντας την κατάλληλα, η επιφάνεια ταιριάζει ξανά στη γραφική παράσταση της συνάρτησης {{nowrap begin}}''f''(''x'') = 1/''x''{{nowrap end}}. Κατά συνέπεια, η αριστερή μπλε επιφάνεια η οποία είναι το ολοκλήρωμα της ''f''(''x'') από το ''t'' στο ''tu'' είναι η ίδια με το ολοκλήρωμα από το ''1'' στο ''u''.
[[
Ο τύπος της δύναμης {{nowrap begin}}ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t''){{nowrap end}} μπορεί να προκύψει με παρόμοιο τρόπο:
Γραμμή 238:
[[Όριο ακολουθίας|συγκλίνει]] σε ένα αριθμό γνωστό ως [[σταθερά Euler-Mascheroni]]. Αυτή η σχέση βοηθά στην ανάλυση της απόδοσης αλγορίθμων όπως ο [[quicksort]].<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, ενότητες 11.5 και 13.8</ref>
== Υπολογισμός ==
Οι λογάριθμοι είναι εύκολο να υπολογιστούν σε κάποιες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(10,000) = 4{{nowrap end}}. Εν γένει μπορούν να υπολογιστούν με χρήση [[δυναμοσειρά|δυναμοσειρών]] ή του [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος|αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου]] ή να παρθούν από προϋπολογισμένο [[λογαριθμικός πίνακας|λογαριθμικό πίνακα]] με δεδομένη ακρίβεια.<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel | title=Elementary functions | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | year=2006}}, ενότητες 4.2.2 (σ. 72) και 5.5.2 (σ. 95)</ref><ref>{{Citation|author=Hart, Cheney, Lawson et al.|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, ενότητα 6.3, σ.
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>
Η [[Μέθοδος Newton]], μία επαναληπτική μέθοδος προσεγγιστικής επίλυσης εξισώσεων, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του λογάριθμου, επειδή η αντίστροφη συνάρτηση, η εκθετική συνάρτηση, μπορεί να υπολογιστεί αποδοτικά.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268 |journal=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–292}}, ενότητα 1 για επισκόπιση του θέματος</ref>
Γραμμή 245:
Από θεωρητική άποψη, σύμφωνα με το [[θεώρημα Gelfond-Schneider]], οι λογάριθμοι συνήθως παίρνουν «δύσκολες» τιμές. Η τυπική διατύπωση βασίζεται στην έννοια των [[αλγεβρικοί αριθμοί|αλγεβρικών αριθμών]], οι οποίοι περιλαμβάνουν όλους τους [[ρητοί αριθμοί|ρητούς αριθμούς]], αλλά και αριθμούς όπως η [[τετραγωνική ρίζα του 2]] ή ο
:<math>\sqrt{-5+\sqrt[3]{3 / 13}}.</math>
Οι [[μιγαδικοί αριθμοί]] οι οποίοι δεν είναι αλγεβρικοί αποκαλούνται [[υπερβατικοί αριθμοί]],<ref>{{citation|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url=http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> για παράδειγμα το π και το ''e'' είναι τέτοιοι αριθμοί. [[Σχεδόν όλοι]] οι μιγαδικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί. Με βάση αυτά, σύμφωνα με το θεώρημα
=== Δυναμοσειρές ===
;Σειρά Taylor
[[
Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ''z'' που ικανοποιεί το {{nowrap|0 < ''z'' < 2}}, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:{{#tag:ref|Η ίδια σειρά δίνει την κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου για μιγαδικούς αριθμούς ''z'' με <nowiki>|</nowiki>''z''
:<math>
\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
Γραμμή 273:
για μιγαδικούς αριθμούς ''z'' με θετικό [[πραγματικό μέρος]].<ref name=AbramowitzStegunp.68 /> Χρησιμοποιόντας τον [[Συμβολισμός Σίγμα|συμβολισμό Σίγμα]] μπορεί να γραφτεί και ως
:<math>\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>
Αυτή η σειρά μπορεί να προκύψει από την παραπάνω σειρά Taylor. Συγκλίνει πιο γρήγορα από την σειρά Taylor, ειδικά αν το ''z'' είναι κοντά στο 1. Για παράδειγμα για {{nowrap begin}}''z'' = 1.5{{nowrap end}}, ο πρώτοι τρεις όροι της δεύτερης σειράς προσεγγίζουν το ln(1.5) με σφάλμα περίπου 3×10<sup>−6</sup>. Αυτή η γρήγορη σύγκλιση για ''z'' κοντά στο 1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τον ακόλουθο τρόπο: δεδομένης μίας μικρής ακρίβειας προσέγγισης {{nowrap|''y''
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
ο λογάριθμος του ''z'' είναι:
Γραμμή 283:
Αν ο λογάριθμος ενός μεγάλου ακεραίου n είναι γνωστός, τότε αυτή η σειρά μπορεί να αποδώσει μία ταχέως συγκλίνουσα σειρά για το log(n+1).
=== Προσέγγιση με τον αριθμητικό-γεωμετρικό ===
Ο [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος]] αποδίδει υψηλής ακρίβειας προσεγγίσεις του φυσικού λογαρίθμου. Το ln(''x'') προσεγγίζεται με ακρίβεια 2<sup>
:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>
Γραμμή 294:
Και ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος και οι σταθερές π και ln(2) μπορούν να υπολογιστούν από ταχέως συγκλίνουσες σειρές.
== Εφαρμογές ==
[[
Οι λογάριθμοι έχουν πολλές εφαρμογές εντός και εκτός των μαθηματικών. Κάποιες χρήσεις τους έχουν σχέση με την έννοια της [[ανεξαρτησία κλίμακας|ανεξαρτησίας κλίμακας]]. Για παράδειγμα, κάθε τμήμα του όστρακου ενός [[Ναυτίλος (ζωολογία)|ναυτίλου]] είναι σχεδόν αντίγραφο του επόμενου, κλιμακωμένο κατά ένα σταθερό παράγοντα. Έτσι δημιουργείται [[λογαριθμική σπείρα]].<ref>{{Harvnb|Maor|2009|nb=yes|p= 135}}</ref> Ο [[νόμος του Benford]] για την κατανομή των πρώτων ψηφίων δεδομένων μπορεί επίσης να εξηγηθεί από την ανεξαρτησία κλίμακας.<ref>{{Citation | last1=Frey | first1=Bruce | title=Statistics hacks | publisher=O'Reilly|location=Sebastopol, CA| series=Hacks Series |url=http://books.google.com/?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&dq=statistics+hacks+benfords+law#v=onepage&q&f=false| isbn=978-0-596-10164-0 | year=2006}}, κεφάλαιο 6, ενότητα 64</ref> Οι λογάριθμοι συνδέονται και με την [[αυτοομοιότητα]]. Για παράδειγμα, οι λογάριθμοι εμφανίζονται στην ανάλυση αλγορίθμων που λύνουν ένα πρόβλημα χωρίζοντάς το σε δύο παρόμοια μικρότερα προβλήματα κάνοντας επαλληλία στις λύσεις.<ref>{{Citation | last1=Ricciardi | first1=Luigi M. | title=Lectures in applied mathematics and informatics | url=http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ | publisher=Manchester University Press | location=Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 | year=1990}}, σ. 21, ενότητα 1.3.2</ref> Οι διαστάσεις των αυτοόμοιων γεωμετρικών σχημάτων, δηλαδή τα σχήματα των οποίων τα μέρη μοιάζουν με το σύνολο βασίζονται επίσης σε λογάριθμους. Οι [[λογαριθμική κλίμακα|λογαριθμικές κλίμακες]] είναι χρήσιμες για την ποσοτικοποίηση των σχετικών αλλαγών μίας τιμής αντί για τις απόλυτες διαφορές. Επιπροσθέτως, επειδή η λογαριθμική συνάρτηση log(''x'') αυξάνεται πολύ αργά για μεγάλα ''x'', οι λογαριθμικές κλίμακες χρησιμοποιούνται για την συμπίεση μεγάλης κλίμακας επιστημονικών δεδομένων. Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και σε πάρα πολλούς επιστημονικούς τύπους, όπως για παράδειγμα η [[πυραυλική εξίσωση Tsiolkovsky]], η [[εξίσωση Fenske]] και η [[εξίσωση Nernst]].
=== Λογαριθμική κλίμακα ===
[[
Οι επιστημονικές ποσότητες συχνά εκφράζονται ως λογάριθμοι άλλων ποσοτήτων, χρησιμοποιώντας μία λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα, το [[ντεσιμπέλ]] είναι λογαριθμική μονάδα μέτρησης. Βασίζεται στον κοινό λογάριθμο [[Λόγος (μαθηματικά)|λόγων]]
Η ισχύς ενός σεισμού μετριέται λαμβάνοντας τον κοινό λογάριθμο της ενέργειας που ελευθερώνεται κατά την δόνηση. Αυτό χρησιμοποιείται στην [[κλίμακα μεγέθους ροπής]] ή την [[κλίμακα Ρίχτερ]]. Για παράδειγμα ένας σεισμός μεγέθους 5.0 απελευθερώνει 10 φορές και ένας μεγέθους 6.0 100 φορές την ενέργεια ενός σεισμού μεγέθους 4.0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, ενότητα 4.4.</ref> Μία άλλη λογαριθμική κλίμακα είναι το [[φαινόμενο μέγεθος]]. Μετράει την λαμπρότητα των αστέρων λογαριθμικά.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=Cambridge University Press|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, ενότητα 8.3, σ. 231</ref> Ακόμα ένα παράδειγμα είναι το [[pH]] στη [[χημεία]], το pH είναι ο αρνητικός κοινός λογάριθμος της [[ενεργότητα]]ς των ιόντων [[υδροξώνιο|υδροξωνίου]] (η μορφή που παίρουν τα [[ιόν]]τα [[υδρογόνο]]υ H<sup>+</sup> στο νερό).<ref>{{Citation|author=[[IUPAC]]|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2η|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook}}</ref> Η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ουδέτερο νερό είναι 10<sup>−7</sup> [[Συγκέντρωση διαλύματος|mol·L<sup>−1</sup>]], έτσι το pH είναι 7. Το ξύδι τυπικά έχει pH περίπου 3. Η διαφορά 4 με το ουδέτερο νερό αντιστοιχεί σε διαφορά 10<sup>4</sup> στη ενεργότητα, δηλαδή η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ξύδι είναι περίπου 10<sup>−3</sup> mol·L<sup>−1</sup>.
Γραμμή 307:
Τα [[ημιλογαριθμικό γράφημα|ημιλογαριθμικά]] γραφήματα κάνουν χρήση της λογαριθμικής κλίμακας για οπτικοποίηση, όπου ένας άξονας, τυπικά ο κατακόρυφος, είναι σε λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα το γράφημα στα αριστερά, συμπιέζει την μεγάλη αύξηση από το 1 εκατομμύριο στο 1 τρισεκατομμύριο στον ίδιο χώρο (στον κατακόρυφο άξονα) με την αύξηση από το 1 στο 1 εκατομμύριο. Σε τέτοιου είδους γραφήματα, οι [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικές συναρτήσεις]] του τύπου {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} εμφανίζονται ως ευθείες γραμμές με [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] ανάλογη του ''b''. Σε γραφήματα με λογαριθμική κλίμακα και στους δύο άξονες, συναρτήσεις του τύπου {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''x''<sup>''k''</sup>{{nowrap end}} αναπαρίστανται ως ευθείες με κλίση ανάλογη του εκθέτη ''k''. Αυτό έχει εφαρμογή στην οπτικοποίηση και ανάλυση [[εκθετικός νόμος|εκθετικών νόμων]].<ref>{{Citation|last1=Bird|first1=J. O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book |publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3rd|isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, ενότητα 34</ref>
=== Ψυχολογία ===
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται σε διάφορους νόμους που περιγράφουν την [[ανθρώπινη αντίληψη]]:<ref>{{Citation | last1=Goldstein | first1=E. Bruce | title=Encyclopedia of Perception | url=http://books.google.de/books?id=Y4TOEN4f5ZMC | publisher=Sage | location=Thousand Oaks, CA | series=Encyclopedia of Perception | isbn=978-1-4129-4081-8 | year=2009}}, σ.
Ψυχολογικές μελέτες έχουν διαπιστώσει ότι μαθηματικώς ακαλλιέργητα άτομα τείνουν να εκτιμούν τις ποσότητες λογαριθμικά, δηλαδή τοποθετούν ένα αριθμό σε μία αβαθμονόμητη γραμμή στον λογάριθμό του, έτσι ώστε το 10 τοποθετείται τόσο κοντά στο 20 όσο το 100 στο 200. Η αύξηση της μαθηματικής κατανόησης μετατοπίζει αυτή την συμπεριφορά προς την γραμμική εκτίμμηση.<ref>{{Citation | doi=10.1111/1467-9280.02438 | last1=Siegler|first1=Robert S.|last2=Opfer|first2=John E.|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|issue=3|pages=237–43|year=2003|journal=Psychological Science
|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf | pmid=12741747}}</ref><ref>{{Citation|last1=Dehaene| first1=Stanislas|last2=Izard|first2=Véronique |last3=Spelke| first3=Elizabeth|last4=Pica| first4=Pierre| title=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|volume=320|issue=5880|pages=1217–1220|doi=10.1126/science.1156540|pmc=2610411|pmid=18511690| year=2008|journal=Science|postscript=<!--None-->}}</ref>
=== Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική ===
[[
[[
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και στην [[θεωρία πιθανοτήτων]]: σύμφωνα με τον [[νόμος των μεγάλων αριθμών|νόμο των μεγάλων αριθμών]], για ένα [[δίκαιο νόμισμα]] , καθώς ο αριθμός που ρίχνεται το νόμισμα τείνει στο άπειρο, η παρατηρούμενη αναλογία των «κεφαλών» τείνει στο μισό. Οι αυξομειώσεις αυτής της αναλογίας γύρω από το μισό περιγράφονται από τον [[νόμο του επαναλαμβανόμενου λογάριθμου]].<ref>{{Citation | last1=Breiman | first1=Leo | title=Probability | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | series=Classics in applied mathematics | isbn=978-0-89871-296-4 | year=1992}}, ενότητα 12.9</ref>
Γραμμή 326:
Ο [[νόμος του Benford]] περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά [[σύνολο δεδομένων|σύνολα δεδομένων]], όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι ''d'' (από 1 έως 9) ισούται με log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d''), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, ενότητα 2.1</ref> Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.<ref>{{Citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi| first2=William | last2 = Hillison | first3 = Carl | last3 = Pacini | url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf| volume=V |pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting}}</ref>
=== Υπολογιστική πολυπλοκότητα ===
Η [[ανάλυση αλγορίθμων]] είναι κλάδος της [[επιστήμη υπολογιστών|επιστήμης υπολογιστών]] που μελετά την απόδοση [[αλγόριθμος|αλγορίθμων]].<ref name=Wegener>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pages 1-2</ref> Οι λογάριθμοι είναι πολύτιμοι για την περιγραφεί αλγόριθμων οι οποίοι [[Διαίρει και βασίλευε (υπολογιστές)|χωρίζουν ένα πρόβλημα]] σε μικρότερα, και έπειτα συνδυάζονται οι λύσει των υποπροβλημάτων.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, σ. 143</ref>
Γραμμή 334:
Μία συνάρτηση ''f''(''x'') λέγεται ότι [[λογαριθμική αύξηση|αυξάνεται λογαριθμικά]] αν η ''f''(''x'') είναι (ακριβώς ή προσεγγιστικά) ανάλογη του λογαρίθμου του ''x''. (Οι βιολογικές περιγραφές της ανάπτυξης οργανισμών, ωστόσο, χρησιμοποιούν αυτό τον όρο για εκθετικές συναρτήσεις.<ref>{{Citation |last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995}}, κεφάλαιο 19, σ. 298</ref>) Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε [[φυσικός αριθμός]] ''N'' μπορεί να αναπαρασταθεί σε [[Δυαδικό σύστημα|δυαδική μορφή]] σε όχι παραπάνω από {{nowrap|log<sub>2</sub>(''N'') + 1}} [[bit]]. Με άλλα λόγια, το ποσό της [[Μνήμη υπολογιστή|μνήμης]] που απαιτείται για την αποθήκευση του ''N'' αυξάνεται λογαριθμικά με το ''N''.
=== Εντροπία και χάος ===
[[
Η [[εντροπία]] είναι χοντρικά μέτρο της αταξίας κάποιου συστήματος. Στην [[στατιστική θερμοδυναμική]], η εντροπία ''S'' ενός φυσικού συστήματος ορίζεται ως
Γραμμή 343:
Οι [[εκθέτης Lyapunov|εκθέτες Lyapunov]] κάνουν χρήση λογαρίθμων για την μέτρηση της χαοτικότητας ενός [[δυναμικό σύστημα|δυναμικού συστήματος]]. Για παράδειγμα, για ένα σωματίδιο που κινείται σε ένα οβάλ τραπέζι μπιλιάρδου, ακόμα και μικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών έχουν αποτέλεσμα πολύ διαφορετικές τροχιές. Τέτοια συστήματα είναι [[θεωρία του χάους|χαοτικά]] κατά [[ντετερμινιστικό σύστημα|ντετερμινιστικό]] τρόπο επειδή μικρά σφάλματα μετρήσεων της αρχικής κατάστασης οδηγούν με προβλέψιμο τρόπο σε πολύ διαφορετικές τελικές καταστάσεις.<ref>{{Citation | last1=Sprott | first1=Julien Clinton | title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | url=http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C | publisher=World Scientific |location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0| year=2010}}, ενότητα 1.9</ref> Τουλάχιστον ένας εκθέτης Λιαπούνοφ ενός ντετερμινιστικώς χαοτικού συστήματος είναι θετικός.
=== Φράκταλ ===
[[
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται στους ορισμούς των [[διάσταση φράκταλ|διαστάσεων]] [[φράκταλ]].<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά αντικείμενα με την ιδιότητα της [[αυτοομοιότητα]]ς: τα μικρότερα μέρη αναπαράγουν, τουλάχιστον χοντρικά, την πλήρη δομή. Το [[τρίγωνο Σιερπίνσκι]] (εικόνα) μπορεί να καλυφθεί από τρία αντίγραφα του εαυτού του, το καθένα με το μισό αρχικό μήκος. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η [[διάσταση Hausdorff]] της δομής να είναι {{nowrap begin}}log(3)/log(2) ≈ 1.58{{nowrap end}}. Μία άλλη βασισμένη στους λογάριθμους έννοια διάσταση, αποκτάται με το μέτρημα των κουτιών που απαιτούνται για την κάληψη του υπό εξέταση φράκταλ ([[διάσταση Minkowski–Bouligand]]).
Γραμμή 359:
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Διάστημα'''<br />(<small>οι δύο τόνοι στα παραδείγματα παίζονται ταυτόχρονα</small>)
||1/12 του τόνου {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|play}}
||[[Ημιτόνιο]] {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|play}}
Γραμμή 375:
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''Αντίστοιχος αριθμός ημιτονίων'''<br /><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6 \,</math>
|| <math>1 \,</math>
Γραμμή 383:
|| <math>12 \,</math>
|-
|| '''Αντίστοιχος αριθμός σεντς'''<br /><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3 \,</math>
|| <math>100 \,</math>
Γραμμή 392:
|}
=== Θεωρία αριθμών ===
Οι φυσικοί λογάριθμοι συνδέονται στενά με την [[απαρίθμηση των πρώτων αριθμών]] (2, 3, 5, 7, 11, ...), σημαντικό θέμα στην [[θεωρία αριθμών]]. Για οποιονδήποτε [[ακέραιος|ακέραιο]] ''x'', η ποσότητα των [[πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]] που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το ''x'' συμβολίζεται ως π(''x''). Σύμφωνα με το [[θεώρημα των πρώτων αριθμών]], το π(''x'') δίνεται προσεγγιστικά από τον τύπο:
Γραμμή 406:
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του [[τύπος του Stirling|τύπου του Stirling]], μίας προσέγγισης του ''n''! για μεγάλους ''n''.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=CRC Press|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, κεφάλαιο 4</ref>
== Γενικεύσεις ==
=== Μιγαδικός λογάριθμος ===
[[
Οι [[μιγαδικοί αριθμοί]] ''a'' που επιλύουν την εξίσωση
Γραμμή 418:
:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}. \,</math>
Το [[όρισμα (μιγαδική ανάλυση)|όρισμα]] φ δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τον ''z'': το φ' = φ + 2π είναι επίσης όρισμα του ''z'' επειδή προσθέτοντας 2π ακτίνια ή 360 μοίρες{{#tag:ref|Δείτε [[Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)|ακτίνιο]] για την μετατροπή μεταξύ 2[[Αριθμός π|
[[
Με την χρήση των [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] του [[ημίτονο|ημιτόνου]] και του [[συνημίτονο|συνημιτόνου]], ή της [[μιγαδική εκθετική συνάρτηση|μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης]], αντίστοιχα, τα ''r'' και φ είναι τέτοια ώστε ικανοποιούν ταυτότητες:<ref>{{Citation|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=World Scientific|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, ενότητα 1.2</ref>
Γραμμή 530:
[[sk:Logaritmus]]
[[sl:Logaritem]]
[[sn:Muzanehwaro]]
[[sq:Logaritmet]]
[[sr:Логаритам]]
| |||