Θεώρημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Διόρθωση συντακτικών λαθών με τη χρήση AWB (8097) |
||
Γραμμή 3:
Στα [[μαθηματικά]], ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που [[μαθηματική απόδειξη|αποδεικνύεται]] με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα [[αξίωμα|αξιώματα]].
Στην τυπική [[μαθηματική λογική]], η έννοια '''θεώρημα''' μπορεί να ερμηνευθεί ως μια [[μαθηματική πρόταση]] που μπορεί να [[τυπική απόδειξη|παραχθεί]] σύμφωνα με τους [[συμπερασματικό σύστημα|συμπερασματικούς κανόνες]] ενός συγκεκριμένου [[τυπικό σύστημα|τυπικού συστήματος]]. Οι προτάσεις μιας [[θεωρία
Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από [[συμπερασματικός κανόνας|συμπερασματικούς κανόνες]] και [[αξίωμα|αξιώματα]] χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Αυτό δεν έχει να κάνει με τη [[σημασιολογία]] της γλώσσας: η έκφραση που προκύπτει από μια παραγωγή είναι [[συντακτική συνέπεια]] όλων των εκφράσεων που προηγούνται. Στα μαθηματικά, η παραγωγή ενός θεωρήματος ερμηνεύεται συχνά ως απόδειξη της αλήθειας της έκφρασης που προκύπτει, αλλά διαφορετικά [[παραγωγικό σύστημα|παραγωγικά συστήματα]] μπορούν να δώσουν άλλες ερμηνείες, ανάλογα με το νόημα των κανόνων παραγωγής.
Οι αποδείξεις των θεωρημάτων έχουν δυο μέρη, που λέγονται '''[[υπόθεση|υποθέσεις]]''' και '''συμπεράσματα'''. Η απόδειξη ενός μαθηματικού θεωρήματος είναι ένα λογικό επιχείρημα που επιδεικνύει ότι τα συμπεράσματα είναι αναγκαία συνέπεια των υποθέσεων, με την έννοια ότι αν οι υποθέσεις είναι αληθείς, τότε και τα συμπεράσματα πρέπει επίσης να είναι αληθή, χωρίς περαιτέρω υποθέσεις. Η έννοια του θεωρήματος είναι επομένως θεμελιωδώς ''[[συμπερασματικά]]'', σε αντίθεση με την έννοια μιας επιστημονικής [[θεωρία
Αν και μπορούν να γραφούν σε τελείως συμβολική μορφή με χρήση, για παράδειγμα, του [[προτασιακός λογισμός|προτασιακού λογισμού]], τα θεωρήματα πιο συχνά γράφονται σε φυσική γλώσσα όπως π.χ. τα [[Ελληνική γλώσσα|Ελληνικά]] ή τα [[Αγγλική γλώσσα|Αγγλικά]]. Το ίδιο ισχύει και για τις αποδείξεις, που συχνά εκφράζονται ως λογικά οργανωμένα και καθαρά διατυπωμένα, άτυπα επιχειρήματα που σκοπό έχουν να δείξουν ότι μπορεί να κατασκευαστεί μια τυπική συμβολική απόδειξη. Τέτοια επιχειρήματα είναι τυπικά πιο εύκολα να ελεγχθούν από τα αμιγώς συμβολικά. Πράγματι, πολλοί μαθηματικοί θα εξέφραζαν προτίμηση για μια απόδειξη που όχι μόνο δείχνει την εγκυρότητα ενός θεωρήματος, αλλά επίσης εξηγεί με κάποιο τρόπο ''γιατί'' είναι προφανώς αλήθεια. Σε κάποιες περιπτώσεις μια εικόνα αρκεί για να αποδείξει ένα θεώρημα.
Γραμμή 24:
Ορισμένα θεωρήματα είναι ''προφανή,'' με την έννοια ότι έπονται από ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς. Κάποια άλλα λέγονται ''βαθειά'': οι αποδείξεις τους μπορεί να είναι εκτεταμένες και δύσκολες, να χρησιμοποιούν περιοχές των μαθηματικών που θεωρούνται μακρινές από τη διατύπωση του θεωρήματος, ή να καταδεικνύουν εκπληκτικές διασυνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών.<ref>Βλ. [http://mathworld.wolfram.com/DeepTheorem.html Deep Theorem].</ref> Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά να έχει βαθιά απόδειξη. Κλασσικό παράδειγμα είναι το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]], και υπάρχει πλήθος άλλων παραδειγμάτων από απλά, αλλά δύσκολα θεωρήματα στη [[θεωρία αριθμών]] και τη [[συνδυαστική]], ανάμεσα σε άλλες περιοχές.
Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το [[θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων]] και η [[εικασία του Κέπλερ]]. Και τα δύο γνωρίζουμε ότι ισχύουν, ανάγοντάς τα σε υπολογιστική αναζήτηση, που στη συνέχεια επαληθεύεται με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή. Αρχικά, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδεχόντουσαν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά τα τελευταία χρόνια έχει γίνει περισσότερο αποδεκτή. Ο μαθηματικός [[Ντόρον Ζάιλμπέργκερ]] έχει φτάσει να ισχυριστεί ότι αυτά είναι πιθανώς τα μόνα μη προφανή αποτελέσματα που έχουν ποτέ αποδειχθεί από μαθηματικούς.<ref>[http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html Doron Zeilberger's 51st Opinion<!-- Αυτόματα δημιουργημένος τίτλος -->]</ref> Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε σαφείς υπολογισμούς, όπως οι πολυωνυμικές ταυτότητες, οι τριγωνομετρικές ταυτότητες, και οι υπεργεωμετρικές ταυτότητες<ref>
== Ορολογία ==
Γραμμή 42:
* Το '''''[[Αντιστροφή (λογική)|Αντίστροφο]]''''' ενός άλλου θεωρήματος. Για παράδειγμα, αν ένα θεώρημα δηλώνει ότι το ''Α'' έχει σχέση με το ''Β'', τότε το αντίστροφό του θα δήλωνε ότι το ''Β'' έχει σχέση με το ''Α''. Το αντίστροφο ενός θεωρήματος δεν είναι απαραιτήτως πάντα αληθές.
Λίγα πασίγνωστα θεωρήματα έχουν ακόμα πιο ιδιοσυγκρατικά ονόματα. Ο '''[[Αλγόριθμος διαίρεσης]]''' είναι ένα θεώρημα που εκφράζει το αποτέλεσμα της [[
Μία μη-αποδεδειγμένη δήλωση που πιστεύεται πως είναι αληθής καλείται '''''[[εικασία]]''''' (ή ενίοτε '''''υπόθεση''''', αλλά με διαφορετικό νόημα από το παραπάνω). Για να θεωρηθεί εικασία, μια δήλωση πρέπει συνήθως να προταθεί δημόσια, οπότε το όνομα του ατόμου που έκανε την πρόταση μπορεί να προσκολληθεί στην εικασία, όπως με την [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]. Άλλες διάσημες εικασίες αποτελούν η [[Εικασία του Κόλλατζ]] και η [[Υπόθεση του Ρίμαν]].
Γραμμή 50:
{{Ενσωμάτωση κειμένου|en|theorem}}
{{Μαθηματικά-επέκταση}}▼
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]]
[[Κατηγορία:Λογική]]
▲{{Μαθηματικά-επέκταση}}
[[am:እርግጥ]]
| |||