Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το '''Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής''' είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα της [[θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]] στα [[μαθηματικά]]. Σύμφωνα με αυτό, κάθε [[φυσικός αριθμός]] μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε [[γινόμενο]] [[Πρώτος αριθμός|πρώτων παραγόντων]] κατά ένα και μοναδικό τρόπο, αν δεν λάβουμε υπόψιν μας την σειρά των παραγόντων στο γινόμενο.

Η απόδειξη χωρίζεται σε δύο σκέλη. Στο πρώτο σκέλος θα αποδείξουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων και στο δεύτερο θα αποδείξουμε οτιότι αυτή η ανάλυση είναι μοναδική για κάθε φυσικό αριθμό.

Έστω <math>k</math>><math>1</math>· εφαρμόζοντας την μέθοδο της [[Μαθηματική επαγωγή|μαθηματικής επαγωγής]] έχουμε:

2) Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθμό <math>n</math> με <math>2</math> &le; <math>n</math> &le;<math>k-1</math>, υπάρχουν πρώτοι αριθμοί <math>p_1,...,p_m</math>(, όχι αναγκαστικά διαφορετικοί), έτσι ώστε

<center><math>k=bc</math> και <math>1</math><<math>b</math>&le;<math>c</math><<math>k</math>.</center>

Τότε, σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, μπορούμε να γράψουμε

όπου <math>p_1,...,p_a</math> και <math>q_1,...,q_d</math> είναι πρώτοι. Επομένως

Δηλαδή αποδείξαμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε γινόμενο πρώτων. Τώρα θα αποδείξουμε ότι αυτή η ανάλυση είναι μοναδική.

με <math>a</math>&le;<math>d</math>, δύο πρωτογενείς αναλύσεις του <math>k</math>. Παρατηρούμε ότι το <math> p_1</math> διαιρεί το <math>k</math>. Επομένως, <math> p_1|q_1...q_d</math>. Από το [[λήμμα του Ευκλείδη]] αυτό συνεπάγεται ότι <math> p_1| q_j</math> για κάποιο δείκτη <math>j</math>. Και επειδή o <math>q_j</math> είναι πρώτος, <math> p_1 = q_j</math>. Χωρίς [[βλάβη της γενικότητας]] μπορούμε να υποθέσουμε ότι <math> q_j = q_1</math> Συνεπώς,

Με την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι ο πρώτος <math>p_2</math> ταυτίζεται με κάποιον από τους πρώτους <math>q_2...q_d</math> που και πάλι χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός είναι ο <math>q_2</math>. Συνεχίζοντας αυτή την διαδικασία συμπεραίνουμε ότι οι <math> p_1,...p_a</math> ταυτίζονται με κάποιους από τους <math> q_1,...,q_d</math>. Χωρίς βλάβη της γενικότητας

<center><math>1=q_1...q_{d-a}</math></center>. Αν <math>d>a</math> η ισότητα αυτή είναι αδύνατο να ισχύει, άρα αναγκαστικά <math>a=d</math>.

Το λήμμα του Ευκλείδη είναι απαραίτητο για την απόδειξη της μοναδικότητας. Το λήμμα ισχύει στο [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]] των ακεραίων αριθμών αλλά δεν ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε δακτύλιο αριθμών. Η παρατήρηση αυτή έγινε από τον Γερμανό μαθηματικό [[Έρνστ Κούμερ]] το [[1843]].