Λογισμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
'''Λογισμός''' είναι η [[Μαθηματικά|μαθηματική]] μελέτη της αλλαγής
'''Λογισμός''' είναι η [[Μαθηματικά|μαθηματική]] μελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η [[Γεωμετρία|γεωμετρία]] είναι η μελέτη του σχήματος και η [[Άλγεβρα|άλγεβρα]] είναι η μελέτη των πράξεων και η εφαρμογή τους για την επίλυση των εξισώσεων. Έχει δύο κύριους κλάδους τον [[Διαφορικός λογισμός|διαφορικό λογισμό]] (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον [[Ολοκληρωτικός λογισμός|ολοκληρωτικό λογισμό]] (σχετικά με τη σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες), αυτοί οι δύο κλάδοι συνδέονται μεταξύ τους με το [[Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού|θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού]]. Και οι δύο κλάδοι κάνουν χρήση των θεμελιωδών εννοιών της [[Σύγκλιση|σύγκλισης]] άπειρων [[Ακολουθία|ακολουθιών]] και άπειρων [[Σειρά|σειρών]] σε ένα καλά καθορισμένο [[Όριο (μαθηματικά)|όριο]]. Λογισμός έχει ευρέως διαδεδομένες χρήσεις στον τομέα της [[Επιστήμη|επιστήμης]], της [[Οικονομία|οικονομίας]], και της [[Μηχανική|μηχανικής]] και μπορεί να λύσει πολλά προβλήματα που η [[Άλγεβρα|άλγεβρα]] μόνη της δεν μπορεί.▼
<ref>{{citation
|title=Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change
|first1=Donald R.
|last1=Latorre
|first2=John W.
|last2=Kenelly
|first3=Iris B.
|last3=Reed
|first4=Sherry
|last4=Biggers
|publisher=Cengage Learning
|year=2007
|isbn=0-618-78981-2
|page=2
|url=http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C}}, [http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2 Chapter 1, p 2]
</ref>
▲
Λογισμός είναι ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης εκπαίδευσης μαθηματικών. Μια πορεία στο λογισμό είναι μια πύλη για άλλες, πιο προχωρημένα θέματα στα μαθηματικά που είναι αφιερωμένα στη μελέτη των [[Συνάρτηση|συναρτήσεων]] και των ορίων, γενικά ονομάζονται [[Μαθηματική ανάλυση|μαθηματική ανάλυση]].
Γραμμή 9 ⟶ 26 :
[[File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|200px|right|[[Ισαάκ Νεύτων]] ανέπτυξε τη χρήση του λογισμού στους [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|νόμους της κίνησης]] και της [[Βαρύτητα|βαρύτητας]].]]
Η αρχαία περίοδο εισήγαγε κάποιες από τις ιδέες που οδήγησαν στον ολοκληρωτικό λογισμό, αλλά δεν φαίνεται να είχαν αναπτύξει αυτές τις ιδέες σε ένα αυστηρό και συστηματικό τρόπο. Υπολογισμοί όγκων και περιοχών, ένας σκοπός του ολοκληρωτικού λογισμού, μπορεί να βρεθεί στο [[Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας|μαθηματικό πάπυρο της Μόσχας]] (περ. 1820 π.Χ.), αλλά οι τύποι είναι απλές οδηγίες, με καμία ένδειξη ως προς τη μέθοδο, και μερικά από αυτά δεν διαθέτουν σωστές συνιστώσες.
<ref>Morris Kline, ''Mathematical thought from ancient to modern times'', Vol. I</ref> Από την εποχή των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών, ο [[Εύδοξος ο Κνίδιος|Εύδοξος]] (περ. 408 - 355 π.Χ.), χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξαντλήσεως, η οποία προδιαγράφει την έννοια του ορίου, για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων, ενώ ο [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδης]] (περ. 287-212 π.Χ.) αναπτύξει περαιτέρω την ιδέα, εφευρίσκοντας διαισθητικά μεθόδους που μοιάζουν με τις μεθόδους του ολοκληρωτικού λογισμού. <ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes'' ISBN 978-0-521-66160-7</ref> Η μέθοδος της εξάντλησης αργότερα ανακαλύφθηκε εκ νέου στην Κίνα από [[Liu Hui|Liu Hui]] τον 3ο μ.Χ. αιώνα, προκειμένου να βρει το εμβαδόν ενός κύκλου. <ref>{{cite journal
|series=Chinese studies in the history and philosophy of science and technology
|volume=130
|title=A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles
|first1=Liu
|last1=Dun
|first2=Dainian
|last2=Fan
|first3=Robert Sonné
|last3=Cohen
|publisher=Springer
|year=1966
|isbn=0-7923-3463-9
|page=279
|url=http://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC}}, [http://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC&pg=PA279 Chapter , p. 279]
</ref>
Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο [[Zu Chongzhi|Zu Chongzhi]] δημιούργησε μια μέθοδο που αργότερα ονομάζεται [[Cavalieri's principle|αρχή του Cavalieri]] να βρείτε τον όγκο μιας [[Σφαίρα|σφαίρας]].
<ref>{{cite book
|title=Calculus: Early Transcendentals
|edition=3
|first1=Dennis G.
|last1=Zill
|first2=Scott
|last2=Wright
|first3=Warren S.
|last3=Wright
|publisher=Jones & Bartlett Learning
|year=2009
|isbn=0-7637-5995-3
|page=xxvii
|url=http://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C}}, [http://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27 Extract of page 27]
</ref>
=== Μεσαίωνας ===
Τον 14ο αιώνα, ο ινδός μαθηματικός [[Madhava of Sangamagrama|Madhava Sangamagrama]] και το σχολείο [[Kerala school of astronomy and mathematics|Kerala]] της αστρονομίας και των μαθηματικών όρισε συστατικά του λογισμού, όπως η [[Σειρά Taylor|σειρά Taylor]] και άπειρες προσεγγίσεις [[Σειρά|σειράς]].
<ref>http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html</ref>
=== Σύγχρονη εποχή ===
Στην Ευρώπη, το θεμελιώδες έργο ήταν μια πραγματεία που οφείλετε στον [[Bonaventura Cavalieri|Bonaventura Cavalieri]] , ο οποίος υποστήριξε ότι οι όγκοι και οι περιοχές θα πρέπει να υπολογίζεται ως το άθροισμα των όγκων και των περιοχών της απειροελάχιστα λεπτές διατομές. Οι ιδέες του ήταν παρόμοιες με του Αρχιμήδη στη μέθοδο, αλλά αυτή η πραγματεία χάθηκε μέχρι τις αρχές του εικοστού αιώνα.Το έργο του Cavalieri δεν ήταν σεβαστό δεδομένου ότι οι μέθοδοι του είχαν οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα, και οι απειροελάχιστες ποσότητες που εισήγαγε ήταν κακόφημες απο την πρώτη του.
Ο [[Πιέρ ντε Φερμά|Πιέρ ντε Φερμά]] υποστηρίζοντας ότι δανείστηκε από τον [[Διόφαντος|Διόφαντο]], εισήγαγε την έννοια της επάρκειας ([[Adequality|Adequality]]), η οποία αντιπροσώπευε την ισότητα μέχρι έναν απειροελάχιστο λανθασμένο όρο.
<ref>[[André Weil]]: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, p. 28.</ref> Ο συνδυασμός επιτεύχθηκε από τον [[John Wallis|John Wallis]], [[Isaac Barrow|Isaac Barrow]], [[James Gregory|James Gregory]], τα δύο τελευταία αποδείκνυε το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού γύρω από 1670. Ο [[κανόνας του προϊόντος|κανόνας του προϊόντος]] και τον [[κανόνα της αλυσίδας|κανόνα της αλυσίδας]], η έννοια των υψηλότερων παραγώγων, [[Σειρά Taylor|σειρές Taylor]] και αναλυτικές λειτουργίες εισήχθησαν από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νεύτων]] σε μια ιδιότυπη σημειογραφία που θα χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής.
<ref>Donald Allen: Calculus, http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/calc1/calc1.html</ref> Στα έργα του ο Ισαάκ Νεύτων αναδιατυπώνε τις ιδέες του για να ταιριάζουν με το μαθηματικό ιδίωμα της εποχής του, αντικατέστησε τους υπολογισμούς των απειροελάχιστων από ισοδύναμα γεωμετρικά επιχειρήματα, τα οποία θεωρήθηκαν υπεράνω κριτικής. Συνήθιζε τις μεθόδους του λογισμού για την επίλυση του προβλήματος της πλανητικής κίνησης, το σχήμα της επιφάνειας ενός περιστρεφόμενου ρευστού, το πεπλατυσμένο σχήμα της γης, η κίνηση του βάρους συρόμενη σε ένα κυκλοειδές και πολλά άλλα προβλήματα που συζητήθηκαν στο [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia Mathematica]] του (1687). Σε άλλη εργασία ανέπτυξε σειρά επεκτάσεων για τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των κλασματικών και των άρρητων δυνάμεων και ήταν σαφές ότι κατάλαβε τις αρχές της σειράς Taylor. Δεν δημοσιεύονται όλες οι ανακαλύψεις του. [[File:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|200px|left|[[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] Ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε τα αποτελέσματά του για την ανάπτυξη του λογισμού.]]
Αυτές οι ιδέες ήταν τοποθετημένες στον πραγματικό απειροστικό λογισμό από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς|Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]], ο οποίος αρχικά είχε κατηγορηθεί για λογοκλοπή από τον Νεύτων.
<ref>Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. [http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=7d8_4WPc9SMC&oi=fnd&pg=PA3&dq=Gottfried+Wilhelm+Leibniz+accused+of+plagiarism+by+Newton&ots=09h9BdTlbE&sig=hu5tNKpBJxHcpj8U3kR_T2bZqrY#v=onepage&q=plagairism&f=false|Online Copy]</ref> Πλέον θεωρείτε ως ένας ανεξάρτητος εφευρέτης που έχει συμβάλλει στο λογισμό. Η συμβολή του ήταν να παρέχει ένα σαφές σύνολο κανόνων για την εργασία του με απειροελάχιστες ποσότητες, επιτρέποντας τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου και υψηλότερες, και απέδειξε τον κανόνα της αλυσίδας. Σε αντίθεση με τον Νεύτων ο Λάιμπνιτς έδωσε πολλή προσοχή στο τρόπο που θα γράψει τους τύπος, συχνά περνούσε μέρες για τον καθορισμό των κατάλληλων συμβόλων για τις έννοιες. Ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτων συνήθως και οι δυο πιστώνονται με την εφεύρεση του λογισμού. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτη που έγραψε για την εφαρμογή του λογισμού στη γενική φυσική και ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε ένα μεγάλο μέρος του συμβολισμού που χρησιμοποιείται στο λογισμό μέχρι και σήμερα. Οι βασικές ιδέες που εισήγαγαν τόσο Νεύτων όσο και ο Λάιμπνιτς ήταν οι νόμοι της παραγώγησης και της ολοκλήρωσης, τη δεύτερη παράγωγο και μεγαλύτερη, και την προσέγγιση πολυωνυμικών σειρών. Από την εποχή του Νεύτωνα, το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού ήταν γνωστό.
Γραμμή 30 ⟶ 91 :
Από την εποχή του Νεύτων και του Λάιμπνιτς πολλοί μαθηματικοί έχουν συμβάλει στη συνεχή ανάπτυξη του λογισμού. Μια από τις πρώτες και πιο ολοκληρωμένες δουλειές σχετικά με την πεπερασμένη και την απειρωστή ανάλυση γράφτηκε το 1748 από τη [[Maria Gaetana Agnesi|Maria Gaetana Agnesi]].
<ref>{{cite web| url=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| title=Maria Gaetana Agnesi| first=Elif| last=Unlu| month=April| year=1995| publisher =Agnes Scott College}}</ref>
==Πηγές==
=== Σημειώσεις ===
{{Reflist|2}}
=== Βιβλία ===
{{Refbegin|2}}
*[[Ron Larson (mathematician)|Larson, Ron]], Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
*McQuarrie, Donald A. (2003). ''Mathematical Methods for Scientists and Engineers'', University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
*[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
*[[George B. Thomas|Thomas, George B.]], Maurice D. Weir, [[Joel Hass]], Frank R. Giordano (2008), "Calculus", 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X
{{Refend}}
| |||