Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Valiasend (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Valiasend (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 14:
<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.</math>
<br/>Για μεγάλες τιμές του n, ο <math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n</math> όρος κυριαρχεί αυτήν την έκφραση, έτσι οι αριθμοί του Πελ είναι περίπου ανάλογοι στις δυνάμεις της ασημένιας αναλογίας <math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)</math>, ανάλογοι στον ρυθμό ανάπτυξης τον αριθμών Φιμπονάτσι σαν δυνάμεις της χρυσής αναλογίας.
<br/>Ένας τρίτος ορισμός είναι δυνατός, απ τον τύπο του πίνακαμήτρας
:<math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.</math>
 
Πολλές ταυτότητες μπορούν να εξαχθούν ή να αποδειχθούν από αυτούς τους ορισμούς. Για παράδειγμα μια ταυτότητα ανάλογη της [[ταυτότητα του Κασίνι|ταυτότητας του Κασίνι]] για τους αριθμούς του Φιμπονάτσι,<br/>
:<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,</math>
<br/>είναι μια άμεση συνέπεια του τύπου του πίνακα (διαπιστώθηκε από την εξέταση των παραγόντων που επηρεάζουν τις μήτρες στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της τύπου της μήτρας).<ref>Για τον τύπο μήτρας και τις συνέπειές της βλέπε Ερκολάνο (1979) και Κίλιτς και Τάσκι (2005). Οι πρόσθετες ταυτότητες για τους αριθμούς Πελ αναφέρονται από τον Horadam (1971) και τον Bicknell (1975).</ref>
 
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]]