Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 325:
=== Τετράγωνο τριγωνικών αριθμών ===
{{main|Square triangular number}}
Η απαιτούμενη εξίσωση <math>\frac{t(t+1)}{2}=s^2\, </math> είναι ισοδύναμο με <math>4t^2+4t+1=8s^2+1 \,</math> η οποία γίνεται
<math>H^2=2P^2+1</math> με τις υποκαταστάσεις <math>H=2t+1 \mbox{ and } P=2s </math>. Εξ ου και η νιοστή λύση είναι <math>t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}</math> και <math>s_n=\frac{P_{2n}}{2}.</math>
Παρατηρήστε ότι <math>t</math> και <math>t+1</math> είναι πρώτα μεταξύ τους, έτσι ώστε <math>\frac{t(t+1)}{2}=s^2\, </math> συμβαίνει ακριβώς όταν είναι γειτονικά ακέραιοι, ένα τετράγωνο <math>H^2</math> και η άλλη δύο φορές το τετράγωνο <math>2P^2</math>. Επειδή γνωρίζουμε όλες τις λύσεις αυτής της εξίσωσης, έχουμε επίσης
:<math>t_n=\begin{cases}2P_n^2&\mbox{if }n\mbox{ is even};\\H_{n}^2&\mbox{if }n\mbox{ is odd.}\end{cases}</math>
and <math>s_n=H_nP_n\,</math>
Αυτή η εναλλακτική έκφραση φαίνεται στον επόμενο πίνακα.
{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math> H_n </math>
! <math> P_n </math>
!
!t
!t+1
!s
!
|a
|b
|c
|-
|0
|1
|0
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|1
|1
|1
|
|1
|2
|1
|
|1
|0
|1
|-
|2
|3
|2
|
|8
|9
|6
|
|3
|4
|5
|-
|3
|7
|5
|
|49
|50
|35
|
|21
|20
|29
|-
|4
|17
|12
|
|288
|289
|204
|
|119
|120
|169
|-
|5
|41
|29
|
|1681
|1682
|1189
|
|697
|696
|985
|-
|6
|99
|70
|
|9800
|9801
|6930
|
|4059
|4060
|5741
|}
| |||