Τοπολογικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 71:
Στη [[Θεωρία κατηγοριών]],'''Top''',στην [[κατηγορία των τοπολογικών χώρων]] με τοπολογικούς χώρους όπως [[αντικείμενα]] και συνεχείς συναρτήσεις όπως [[μορφισμοί]] είναι ένα από τις θεμελιώδης [[κατηγορίες]] των μαθηματικών. Η προσπάθεια να ταξινομήσει τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας (μέχρι τον ομοιομορφισμό) από [[σταθερές]] έχει θέσει και παράξει ολόκληρες περιοχές της έρευνα, όπως [[θεωρία ομοτοπίας]], [[θεωρία ομολογίας]]. και [[θεωρίας-Κ]], για να ονομάσουμε απλά κάποιες.
== Παραδείγματα τοπολογικών χώρων==
Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Αν σε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος.Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[διακριτή τοπολογία]] στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[τετριμμένη τοπολογία]] (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι [[Hausdorff χώροι]] όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας για το '''R''', το σύνολο των [[πραγματικών αριθμών]]. Η πρότυπη τοπολογία για το '''R''' παράγεται από τα [[ανοιχτά διαστήματα]]. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει [[βάση]] ή βάσεις για την τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οι [[Ευκλείδιοι χώροι]] '''R'''<sup>''n''</sup> μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία για το '''R'''<sup>''n''</sup> τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές [[μπάλες]]. Όμοια, '''C''', το σύνολο των [[μιγαδικών αριθμών]], και '''C'''<sup>''n''</sup> έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες.
Σε κάθε [[μετρικό χώρο]] μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε [[νόρμα διανυσματικό χώρο]]. Για έναν πεπερασμένης διάστασης [[διανυσματικό χώρο]] αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες).
Πολλά σύνολα των [[γραμμικών μετασχηματισμών]] στην [[συναρτησιακή ανάλυση]] είναι προικισμένα με τοπολογίες που ορίζονται προσδιορίζοντας πότε μία συγκεκριμένη ακολουθία συναρτήσεων συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση.
Οποιοδήποτε [[τοπικό πεδίο]] έχει μια εγγενή τοπολογία σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πέρα από εκείνο το πεδίο.
Κάθε [[πολλαπλότητα]] έχει μία [[φυσική τοπολογία]] δεδομένου ότι είναι τοπικά Ευκλείδια. Όμοια, κάθε [[simplex]] κάθε [[σύμπλοκο]] κληρονομεί μία φυσική τοπολογία από '''R'''<sup>n</sup>.
Η [[τοπολογία Zariski]] ορίζεται αλγεβρικά στο [[φάσμα ενός δακτυλίου]] ή μιας [[αλγεβρικής ποικιλίας]]. Στον '''R'''<sup>''n''</sup> ή στον '''C'''<sup>''n''</sup>, τα κλειστά σύνολα της τοπολογίας Zariski είναι τα [[σύνολα λύσεων]] των συστημάτων των [[πολυωνυμικών]] εξισώσεων.
Ένα [[γραμμικό γράφημα]] έχει μία φυσική τοπολογία που γενικεύει πολλές από τις γεωμετρικές πτυχές των [[γραφημάτων]] με [[κορυφές]] και [[ακμές]].
Ο [[χώρος Sierpiński]] είναι ο πιο απλός μη διακριτός τοπολογικός χώρος. Έχει σημαντικές σχέσεις με τη [[θεωρία υπολογισμού]] και τη σημασιολογία.
Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε δοθέν [[πεπερασμένο σύνολο]]. Τέτοιοι χώροι ονομάζονται [[πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι]]. Πεπερασμένοι χώροι χρησιμοποιούνται κάποιες φορές για να παρέχουν παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα σε εικασίες για τους τοπολογικούς χώρους γενικότερα.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[πεπερασμένου συμπληρώματος τοπολογία]], στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι το κενό σύνολο και τα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτή είναι η μικρότερη [[T1 space|T<sub>1</sub>]] τοπολογία σε οποιοδήποτε άπειρο σύνολο.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[μετρήσιμου συμπληρώματος τοπολογία]], στην οποία ένα σύνολο ορίζεται ως ανοιχτό αν είναι είτε κενό είτε το συμπλήρωμα του είναι μετρήσιμο. Όταν το σύνολο είναι μη μετρήσιμο, αυτή η τοπολογία εξυπηρετεί ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις.
Στην πραγματική γραμμή μπορεί επίσης να δοθεί η [[χαμηλότερη ορίου τοπολογία]]. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα <nowiki>[</nowiki>''a'', ''b''). Αυτή η τοπολογία για το '''R''' είναι αυστηρά λεπτότερη από την Ευκλείδια τοπολογία που ορίζεται παραπάνω; μία αλληλουχία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτήν την τοπολογία αν και μόνο αν συγκλίνει από επάνω στην Ευκλείδια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες που ορίζονται σε αυτό.
Αν Γ είναι ένας [[τακτικός αριθμός]], τότε το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορούν να τροφοδοτούνται με την [[τάξη τοπολογίας]] που παράγεται από τα διαστήματα (''a'', ''b''), [0, ''b'') και (''a'', Γ) όπου ''a'' και ''b'' είναι στοιχεία του Γ
== Τοπολογικές κατασκευές ==
Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η [[υποχώρου τοπολογία]] στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολο. Για οποιαδήποτε [[οικογένεια με δείκτες]] ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί η [[τοπολογία προϊόντος]], η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις [[προβολών]]. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση για το προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Για τα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος.
Ένας [[χώρος πηλίκο]] ορίζεται ως εξής: αν ''Χ'' είναι ένας τοπολογικός χώρος και ''Υ'' είναι ένα συνολο, και αν ''f'' : ''X''→ ''Y'' είναι μία [[επιρριπτική]] [[συνάρτηση]], τότε η τοπολογία πηλίκο για το ''Y'' είναι μία συλλογή υποσυνόλων του ''Υ'' που έχει ανοιχτές [[αντίστροφες εικόνες]] κάτω από την ''f''. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία για το ''Y'' για το οποίο η ''f'' είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία [[σχέση ισοδυναμίας]] ορίζεται για τον τοπολογικό χώρο ''Χ''. Η αντιστοιχία ''f'' είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο των [[κλάσεων ισοδυναμίας]].
Η '''τοπολογία Vietoris''' για το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου '''Χ''', που ονομάστηκε προς τιμή του [[Leopold Vietoris]], παράγεται από την ακόλουθη βάση: για κάθε ''n''-πλειάδα ''U''<sub>1</sub>,..., ''U''<sub>''n''</sub> των ανοιχτών συνόλων του ''Χ'', κατασκευάζουμε ένα βασικό σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα της ένωσης των ''U''<sub>''i''</sub> που έχουν μη κενές τομές με κάθε ''U''<sub>''i''</sub>.
== Κατάταξη τοπολογικών χώρων ==
Τοπολογικοί χώροι μπορούν να ταξινομηθούν γενικά, [[μέχρι]] τους ομοιομορφισμούς, από τις [[τοπολογικές ιδιότητες]] τους. Μία τοπολογική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα των χώρων που είναι αναλλοίωτη από τους ομοιομορφισμούς. Για να αποδείξουμε ότι δύο χώροι δεν είναι ομοιομορφικοί αρκεί να βρεθεί μία τοπολογική ιδιότητα που δεν τη μοιράζονται. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων είναι [[ορθότητα]], [[συμπαγές]], και διάφορα [[αξιώματα διαχωρισμού]]
Βλέπε το άρθρο ''[[τοπολογικές ιδιότητες]]'' για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα
== Τοπολογικοί χώροι με αλγεβρική δομή ==
Για οποιαδήποτε [[αλγεβρικά αντικείμενα]] μπορούμε να εισαγάγουμε την διακριτή τοπολογία, σύμφωνα με την οποία οι αλγεβρικές πράξεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Για οποιαδήποτε τέτοια δομή που δεν είναι πεπερασμένη, συχνά έχουμε μία φυσική τοπολογία συμβατή με τις αλγεβρικές πράξεις, με την έννοια ότι οι αλγεβρικές πράξεις συνεχίζουν να είναι συνεχείς. Αυτό οδηγεί σε έννοιες όπως [[τοπολογικές ομάδες]],[[τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι]], [[τοπολογικοί δακτύλιοι]] και [[τοπικά πεδία]].
== Τοπολογικοί χώροι με δομή διάταξης ==
* '''Φασματικός'''. Ένας χώρος είναι [[Φασματικός]] αν και μόνο αν είναι το πρωταρχικό [[φάσμα ενός δακτυλίου]] (θεώρημα [[Melvin Hochster|Hochster]])
* '''Σειρά ειδίκευσης'''. Σε έναν χώρο η [['''σειρά''' '''ειδίκευσης''' (ή '''κανονική''' '''σειρά''')]] ορίζεται από 'x'' ≤ ''y'' αν και μόνο αν [[αξιώματα σύγκλισης Kuratowski|cl]]{''x''} ⊆ [[αξιώματα σύγκλισης Kuratowski|cl]]{''y''}.
== Ειδικότητες και γενικεύσεις ==
Οι ακόλουθοι χώροι και άλγεβρες είναι είτε πιο ειδικοί(ες) ή πιο γενικοί(ες) από τους τοπολογικούς χώρους που συζητήθηκαν παραπάνω
* [[Εγγύτεις χώροι]] παρέχουν μια έννοια της εγγύτητας των δύο συνόλων.
* [[Μετρικοί χώροι]] ενσωματώνουν μία [[μετρική]], μια ακριβή έννοια της απόστασης μεταξύ των σημείων.
* [[Ενιαίοι χώροι]] αξιωματοποιούν διατάσσοντας την απόσταση μεταξύ των κρίσιμων σημείων.
* [[χώροι Cauchy]] αξιωματοποιούν τη δυνατότητα να ελέγξετε αν ένα δίχτυ είναι [[Cauchy]]. Οι Cauchy χώροι αποτελούν ένα γενικό πλαίσιο για τη μελέτη [[ολοκληρωμάτων]]
* [[χώροι Σύγκλισης]] εγκλωβίζουν μερικά από τα χαρακτηριστικά της σύγκλισης των [[φίλτρων]].
* [[Grothendieck θέσεις]] είναι [[κατηγορίες]] με επιπρόσθετα στοιχεία αξιωματοποιώντας αν μια οικογένεια βέλη καλύπτει ένα αντικείμενο. Οι θέσεις είναι μια γενική ρύθμιση για τον καθορισμό των [[τροχαλιών]].
==Βλέπε επίσης==
*[[Kolmogorov χώρος]] (T<sub>0</sub>)
*[[T1 space|προσιτός/Fréchet χώρος]] (T<sub>1</sub>)
*[[Hausdorff χώρος]] (T<sub>2</sub>)
*[[εντελώς Hausdorff χώρος]] και Urysohn χώρος (T<sub>2½</sub>)
*[[κανονικός χώρος]] και κανονικός Hausdorff χώρος (T<sub>3</sub>)
*[[Tychonoff χώρος]] και εντελώς κανονικός χώρος (T<sub>3½</sub>)
*[[φυσιολογικός Hausdorff χώρος]] (T<sub>4</sub>)
*[[εντελώς φυσιολογικός Hausdorff χώρος]] (T<sub>5</sub>)
*[[τέλεια φυσιολογικός Hausdorff χώρος]] (T<sub>6</sub>)
*[[Χώρος (μαθηματικά)]]
*[[εντελώς Heyting άλγεβρα]] – Το σύστημα όλων των ανοικτών συνόλων ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου με εντολή ένταξη είναι μια πλήρης άλγεβρα Heyting.
==Σημειώσεις==
{{refimprove|date=April 2012}}
{{Reflist}}
==Αναφορές==
* {{cite book |last=Armstrong |first=M. A. |title=Basic Topology |series=Undergraduate texts in mathematics |year=1983 |origyear=1979 |publisher=Springer |isbn=0-387-90839-0 |ref=harv}}
* Bredon, Glen E., ''Topology and Geometry'' (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]]; ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison-Wesley (1966).
* [[Ronald Brown (mathematician)|Brown, Ronald]], ''Topology and groupoids'', Booksurge (2006) ISBN 1-4196-2722-8 (3rd edition of differently titled books) (order from amazon.com).
* [[Eduard Čech|Čech, Eduard]]; ''Point Sets'', Academic Press (1969).
* [[William Fulton (mathematician)|Fulton, William]], ''Algebraic Topology'', (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
* Lipschutz, Seymour; ''Schaum's Outline of General Topology'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
* [[James Munkres|Munkres, James]]; ''Topology'', Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
* Runde, Volker; ''A Taste of Topology (Universitext)'', Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
* [[Lynn Arthur Steen|Steen, Lynn A.]] and [[J. Arthur Seebach, Jr.|Seebach, J. Arthur Jr.]]; ''[[Counterexamples in Topology]]'', Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
*{{cite book | author=Vaidyanathaswamy, R. | title=Set Topology | publisher=Chelsea Publishing Co. | year=1960 | isbn=100486404560 {{Please check ISBN|reason=Invalid length.}}}}
*{{cite book | author=Willard, Stephen | title=General Topology | publisher=Dover Publications | year=2004 | isbn=0-486-43479-6}}
==Εξωτερικές συνδέσεις==
*{{springer|title=Topological space|id=p/t093130}}
*{{planetmath reference|id=380|title=Topological space}}
[[Category:General topology]]
[[Category:Topological spaces| ]]
| |||