Τοπολογικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 9:
#Αν ''Ν'' είναι μία γειτονιά του ''χ'', τότε το ''χ'' ∈ ''Ν''. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο ανήκει σε κάθε γειτονία αυτού του σημείου.
#Αν ''Ν'' είναι ένα υποσύνολο του ''Χ'' που περιέχει μία γειτονιά του ''χ'', τότε ''Ν'' είναι μία γειτονία του ''χ''. Αυτό σημαίνει ότι κάθε [[υποσύνολο]] μιας γειτονιάς ενός σημείου ''χ'' του ''Χ'' ειναι ξανά μια γειτονιά του''χ''.
#Το [[Τομή συνόλων|Σημείο τομής]] δύο γειτονιών του ''χ'' είναι μία γειτονιά του ''χ''
#Οποιαδήποτε γειτονιά ''Ν'' του ''χ'' περιέχει μία γειτονιά ''Μ'' του ''χ'' ώστε ''Ν'' να είναι γειτονία για κάθε σημείο του ''Μ''
Γραμμή 20:
Με δεδομένη τέτοια δομή, μπορούμε να ορίσουμε ένα υποσύνολο ''U'' του ''Χ'' να είναι ''ανοιχτό'' αν ''U'' είναι μία γειτονία όλων των σημείων του ''U''. Είναι ένα αξιοσημείωτο γεγονός ότι τα ανοιχτά σύνολα στη συνέχεια ικανοποιούν τα κομψά αξιώματα που δίνονται παρακάτω, και που, δεδομένου αυτών των αξιωμάτων, μπορούμε να ανακτήσουμε τις γειτονιές που πληρούν τα παραπάνω αξιώματα ορίζοντας ''Ν'' να είναι μία γειτονιά του ''χ'' αν ''Ν'' περιέχει ένα ανοιχτό σύνολο ''U'' ώστε ''χ'' ∈ ''U''.{{sfn|Brown|2006|loc=section 2.2}}
Ένας ''τοπολογικός χώρος'' είναι τότε ένα [[σύνολο]] ''Χ'' μαζί με μία συλλογή από [[υποσύνολο|υποσύνολα]] του ''Χ'', ονομάζονται '''ανοιχτά σύνολα''' και ικανοποιούν τα ακόλουθα [[αξίωμα|αξιώματα]]:
#Τα [[κενό σύνολο]] και το ίδιο το ''Χ'' είναι ανοιχτά.
#Οποιαδήποτε [[Ένωση συνόλων|Ένωση]] ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτή.
#Η τομή οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό
Γραμμή 52:
Κάτω από αυτόν τον ορισμό, τα σύνολα στην τοπολογία τ είναι τα κλειστά σύνολα, και τα συμπληρωματικά τους στο ''Χ'' είναι τα ανοιχτά σύνολα.
Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο είναι χρησιμοποιώντας τα [[αξιώματα κλεισίματος του Kuratowski]], τα οποία ορίζουν τα κλειστά σύνολα ως τα [[σταθερά σημεία]] ενός [[Τελεστής|τελεστή]]
για το [[δυναμοσύνολο]] του <var>X</var>.
Ένα [[δίχτυ]] είναι μία γενίκευση της έννοιας της [[Ακολουθία|ακολουθίας]]. Μία τοπολογία είναι εντελώς καθορισμένη αν για κάθε δίκτυ στο ''Χ'' το σύνολο από τα [[σημεία συσσώρευσης]] του ορίζεται.
Μία ποικιλία από αξιωματισμούς των τοπολογικών χώρων αναφέρονται στις Ασκήσεις του βιβλίου του Vaidyanathaswamy.
Γραμμή 65:
Μία ποικιλία τοπολογιών μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα σύνολο για να σχηματιστεί ένας τοπολογικός χώρος. Όταν κάθε σύνολο σε μία τοπολογία τ<sub>1</sub> είναι επίσης μία τοπολογία τ<sub>2</sub> και τ<sub>1</sub> είναι ένα υποσύνολο της τ<sub>2</sub>, λέμε ότι η τ<sub>2</sub> είναι ''[[λεπτότερη]]'' από την τ<sub>1</sub>, και η τ<sub>1</sub> είναι ''[[χονδρότερη]]'' από την τ<sub>2</sub>. Μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο στην ύπαρξη ορισμένων ανοιχτών συνόλων θα ισχύει επίσης για κάθε λεπτότερη τοπολογία, και όμοια μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο σε ορισμένα σύνολα που δεν είναι ανοιχτά εφαρμόζονται σε οποιαδήποτε χονδρότερη τοπολογία. Οι όροι ''μεγαλύτερος'' και ''μικρότερος'' χρησιμοποιούνται μερικές φορές στη θέση τou λεπτότερος και πιο χονδρότερος, αντίστοιχα. Οι όροι ''ισχυρότερος'' και ''ασθενέστερος'' χρησιμοποιούνται επίσης στη βιβλιογραφία, αλλά με μικρή συμφωνία σχετικά με την έννοια, έτσι κάποιος πρέπει πάντα να είναι σίγουρος για τη σύμβαση του συγγραφέα όταν διαβάζει.
Η συλλογή όλων των τοπολογιών ενός δοσμένου σταθερού συνόλου ''Χ'' σχηματίζει ένα [[πλήρες πλέγμα]]: αν ''F'' = {τ<sub>α</sub>| α στο A} είναι μία συλλογή από τοπολογίες στο ''Χ'', τότε η [[Infimum|κάλυψη]] του ''F'' είναι η τομή του ''F'', και η [[ένταξη]] της ''F'' είναι η κάλυψη της συλλογής όλων των τοπολογιών του ''Χ'' που περιέχουν κάθε μέλος της ''F''.
== Συνεχείς συναρτήσεις ==
Μία [[συνάρτηση]] ''f'' : ''X''→ ''Y'' μεταξύ τοπολογικών χώρων ονομάζεται '''[[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχής]]''' αν για όλα τα ''x'' ∈ ''X'' και όλες τις γειτονιές ''N'' της ''f''(''x'') υπάρχει μία γειτονιά ''M'' του ''χ'' ώστε ''f''(''M'') ⊆ ''N''. Αυτό σχετίζεται εύκολα στον συνηθισμένο ορισμό της ανάλυσης. Ισοδύναμα, ''f'' είναι συνεχής αν η [[αντίστροφη εικόνα]] κάθε ανοιχτού συνόλου είναι ανοιχτή.{{sfn|Armstrong|1983|loc=theorem 2.6}} Αυτή είναι μία προσπάθεια να συλλάβει τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχουν ''άλματα'' ή ''διαχωρισμοί'' στη συνάρτηση. Ένας [[ομοιομορφισμός]] είναι μία [[αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία]] που είναι συνεχής και της οποίας η [[αντίστροφη συνάρτηση]] είναι επίσης συνεχής. Δύο χώροι ονομάζονται ''ομοιομορφικοί'' αν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ τους. Από τη σκοπιά της τοπολογίας, ομοιομορφικοί χώροι είναι ουσιαστικά ταυτόσημες.
Στη [[Θεωρία κατηγοριών]],'''Top''',στην [[κατηγορία των τοπολογικών χώρων]] με τοπολογικούς χώρους όπως [[αντικείμενα]] και συνεχείς συναρτήσεις όπως [[μορφισμοί]] είναι ένα από τις θεμελιώδης [[κατηγορίες]] των μαθηματικών. Η προσπάθεια να ταξινομήσει τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας (μέχρι τον ομοιομορφισμό) από [[σταθερές]] έχει θέσει και παράξει ολόκληρες περιοχές της έρευνα, όπως [[θεωρία Ομοτοπία|ομοτοπίας]], [[θεωρία ομολογίας]]. και [[θεωρίας-Κ]], για να ονομάσουμε απλά κάποιες.
== Παραδείγματα τοπολογικών χώρων==
| |||