Θεωρία αριθμών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη |
||
Γραμμή 81:
Ο [[Ευκλείδης]] αφιέρωσε ένα μέρος της ''Elements'' του στους προνομιακούς αριθμούς και τη διαιρετότητα, θέματα που ανήκουν σαφώς στη θεωρία αριθμών και τις βασικές αρχές αυτές στα(Βιβλία VII έως IX του [[Στοιχεία του Ευκλείδη]]). Συγκεκριμένα, έδωσε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (ο [[αλγόριθμος του Ευκλείδη]]?'' Στοιχεία'', Πρότ VII.2) και την πρώτη γνωστή απόδειξη του,η [απεραντοσύνη [των πρώτων αριθμών] ] ('' Στοιχεία'', Πρότ IX.20).
Το 1773,ο [[Gotthold Ephraim Lessing | Lessing]] δημοσίευσε ένα [[επίγραμμα]] που είχε βρεθεί σε ένα χειρόγραφο κατα την διάρκεια της εργασίας του ως βιβλιοθηκάριος? Ισχυρίστηκε ότι είναι μια επιστολή που απέστειλε ο [[Αρχιμήδης]] στο [[Ερατοσθένης] ] {{SFN | Vardi | 1998 | p = 305-319}}. {{SFN | Weil | 1984 | pp = 17-24}} Το επίγραμμα που προτείνει αυτό που έχει γίνει γνωστό ως
[[Βοοειδή πρόβλημα του Αρχιμήδη ']]?Η λύση του (απουσιάζει από το χειρόγραφο), απαιτεί την επίλυση μιας ασαφούς εξίσωσης (που μειώνει σε ό,τι αργότερα θα misnamed [[εξίσωση Pell του]]). Σε ό, τι γνωρίζουμε, όπως εξισώσεις για πρώτη φορά με επιτυχία αντιμετωπίζεται από την [[# σχολείο Indian: Αριαμπάτα, Brahmagupta, Bhaskara | Ινδικό σχολείο]]. Δεν είναι γνωστό εάν ο Αρχιμήδη ο ίδιος είχε μια μέθοδο διαλύματος.
==== Διόφαντος ====
[[Εικόνα:. Διόφαντος-cover.jpg | thumb | όρθια | Σελίδα τίτλου της έκδοσης 1621 του «Διόφαντος'' Αριθμητικά'', μεταφράζεται σε [[Λατινικά]] από το [[Claude Gaspard de Bachet Méziriac]]]]
Πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με τον[[Διόφαντου της Αλεξάνδρειας]]? Που πιθανότατα έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ., δηλαδή, περίπου πεντακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Έξι από τα δεκατρία βιβλία του Διοφάντου'' [[Αριθμητικά]]'' επιβιώσαν στο πρωτότυπο κείμενο στα ελληνικά.Τέσσερα βιβλία επιβιώσαν σε μια αραβική μετάφραση. Η'' Arithmetica'' είναι μια συλλογή από λυμένα προβλήματα, όπου ο στόχος είναι πάντα να βρούμε λογικές λύσεις σε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μορφή <math>\scriptstyle f(x,y)=z^2</math> or <math>\scriptstyle f(x,y,z)=w^2</math>. Έτσι, στις μέρες μας, μιλάμε για'' Diophantine εξισώσεις'' όταν μιλάμε για πολυωνυμικές εξισώσεις στις οποίες ορθολογικοί ή ακέραιος πρέπει να βρεθούν ως λύσεις.
Κάποιος μπορεί να πει ότι Διόφαντος σπούδαζε ορθολογικά σημεία - δηλαδή, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι λογικό - να είναι [[καμπύλη]] s και [[αλγεβρικό ποικιλία | αλγεβρικό ποικιλίες]].Ωστόσο, σε αντίθεση με τους Έλληνες της κλασικής εποχής, που έκανε ό,τι θα αποκαλούσαμε τώρα βασική άλγεβρα και γεωμετρικά χαρακτηριστικά.Ο Διόφαντος έκανε αυτό που θα ονομάζαμε σήμερα βασικό αλγεβρική γεωμετρία με καθαρά αλγεβρικό όρους. Στη σύγχρονη γλώσσα, τι έκανε ο Διόφαντος όταν ήταν να βρει ορθολογική parametrizations των ποικιλιών? Δηλαδή, δίνεται μια εξίσωση της μορφής (ας πούμε)
<math>\scriptstyle f(x_1,x_2,x_3)=0</math>,και ο στόχος του ήταν να βρει (στην ουσία) τρεις [[ορθολογική λειτουργίες]] <math>\scriptstyle r</math> and <math>\scriptstyle s</math> τέτοια ώστε, για όλες τις τιμές της <math>\scriptstyle x_i = g_i(r,s)</math>, θέτοντας
<math>\scriptstyle i=1,2,3</math> δίνει μια λύση για <math>\scriptstyle f(x_1,x_2,x_3)=0.</math>
Ο Διόφαντος μελέτησε επίσης τις εξισώσεις μερικών μη ορθολογικών καμπύλών, για τις οποίες δεν υπάρχει ορθολογική παραμετροποίηση όσο είναι δυνατόν. Κατάφερε να βρει κάποια λογικά σημεία σε αυτές τις καμπύλες ([[ελλειπτικών καμπυλών]], όπως συμβαίνει, σε ό, τι φαίνεται να είναι η πρώτη γνωστή εμφάνιση τους) μέσω αυτού που ανέρχεται σε εφαπτόμενη κατασκευής: μεταφράζεται σε γεωμετρία συντεταγμένων
(η οποία δεν υπήρχε στο χρόνο Diophantus '), η μέθοδος του θα απεικονιστεί αφού χαραχθεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα γνωστό ορθολογική σημείο, και στη συνέχεια βρίσκοντας το άλλο σημείο της τομής της εφαπτομένης με την καμπύλη δηλαδή ότι το άλλο στοιχείο είναι ένα νέο ορθολογική σημείο. (Ο Διόφαντος κατέφυγε επίσης σε ό,τι θα μπορούσε να ονομαστεί σήμερα σαν μια ειδική περίπτωση μιας τέμνουσας κατασκευής.)
Ενώ ο Διόφαντος ήταν εν πολλοίς με λογικές λύσεις, ανέλαβε κάποια αποτελέσματα σχετικά με ακέραιους αριθμούς, μεταξύ άλλων, ότι κάθε ακέραιος είναι το άθροισμα των τεσσάρων τετραγώνων (αν και ποτέ δεν δήλωσε τόσο ρητά).
==== Indian School: Αριαμπάτα, Brahmagupta, Bhaskara ====
Ενώ η ελληνική αστρονομία-χάρη στον [[Μέγας Αλέξανδρος | Αλέξανδρος]] και τις κατακτήσεις και πιθανώς επηρεασμένος απο την ινδική μάθηση, και το μέχρι τοτε σημείο της εισαγωγής της τριγωνομετρίας, {{SFN | Plofker | 2008 | p = 134}} φαίνεται να είναι η περίπτωση ότι τα ινδικά μαθηματικά είναι διαφορετικά την εγχώρια παράδοση. </ref name="Plofbab"> Κάθε πρώιμη επαφή μεταξύ των Βαβυλωνίων και των ινδικών μαθηματικών παραμένει εικαστική {{harv | Plofker | 2008 | p = 42}} </ ref> ειδικότερα,αφού δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι τα στοιχεία του Ευκλείδη έφθασαν στην Ινδία πριν από το 18ο αιώνα {{SFN | Mumford | 2010 | p = 387}}.
Ο [[Αριαμπάτα | Αριαμπάτα]] (476-550 CE), έδειξε ότι ζεύγη των ταυτόχρονων ισοτιμιών <math>\scriptstyle n\equiv a_1 \pmod m_1</math>, <math>\scriptstyle n\equiv a_2 \pmod m_2</math> θα μπορούσε να λυθεί με μια μέθοδο που ονομάζεται'' kuṭṭaka'', ή'' ψεκαστήρας'' </ref> Αριαμπάτα, Aryabhatiya, κεφάλαιο 2, στίχοι 32-33, παρατίθεται στο: {{harvnb | Plofker | 2008 | pp = 134-140}}. Δείτε επίσης {{harvnb | Clark | 1930 | pp = 42-50}}. Μια ελαφρώς πιο σαφής περιγραφή του kuṭṭaka δόθηκε αργότερα στον [[Brahmagupta]],'' Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3-5 (στο {{harvnb | Colebrooke | 1817 | p = 325}}, που αναφέρεται στο {{harvnb | Clark | 1930 |. p = 42}}) </ ref> Αυτό είναι μια διαδικασία (μια γενίκευση) του [[αλγόριθμος του Ευκλείδη]], η οποία ανακαλύφθηκε πιθανότατα ανεξάρτητα από την Ινδία {{SFN |. Mumford | 2010 | p = 388}}.Ο Αριαμπάτα φαίνεται να είχε στο μυαλό εφαρμογές σε αστρονομικούς υπολογισμούς {{SFN |. Plofker | 2008 | p = 119}}
Ο [[Brahmagupta]] (628 CE) ξεκίνησε την συστηματική μελέτη του αορίστου τετραγωνικής εξισώσεις, ιδίως, η misnamed [[εξίσωση Pell του | εξίσωση Pell]], όπου ο [[Αρχιμήδης]] μπορεί να είχε προηγουμένως ενδιαφέρθει, και το οποίο δεν λύθηκε στη Δύση μέχρι την εποχή του Fermat και Euler. Αργότερα σανσκριτικοί συγγραφείς θα ακολουθήσουν, χρησιμοποιώντας τεχνική ορολογίας Brahmagupta του. Μια γενική διαδικασία (το [[Chakravala μέθοδος | chakravala]], ή «κυκλική μέθοδος") για την επίλυση της εξίσωσης Pell όταν τελικά βρέθηκε από Jayadeva (αναφέρεται στην ενδέκατο αιώνα? Το έργο του ηταν διαφορετικά χάνεται)? Η πρώτη έκθεση επιζών εμφανίζεται στο [ . [Bhaskara II]] 's Bija-Ganita (το δωδέκατο αιώνα) {{SFN | Plofker | 2008 | p = 194}}
Δυστυχώς, τα ινδικά μαθηματικά παρέμειναν σε μεγάλο βαθμό άγνωστα στη Δύση μέχρι το τέλος του δέκατου όγδοου αιώνα καθώς ο {{SFN | Plofker | 2008 | p = 283}} Brahmagupta και το έργο Bhaskara είχε μεταφραστεί στα Αγγλικά το 1817 από [[Henry Thomas Colebrooke | Henry Colebrooke]] . {{SFN | Colebrooke | 1817}}
== Κριτήρια διαιρετότητας ==
| |||