Αριθμητική ανάλυση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Έτσι, ένας αλγόριθμος που λύνει ένα καλά κατασκευασμένο πρόβλημα μπορεί να είναι είτε αριθμητικά σταθερός είτε αριθμητικά ασταθής. Μια τέχνη της αριθμητικής ανάλυσης είναι η έρευση ένας σταθερού αλγόριθμου για την επίλυση ενός καλά κατασκευασμένου μαθηματικού προβλήματος. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας του 2, (η οποίο είναι περίπου 1,41421) είναι ένα καλά ορισμένο πρόβλημα. Πολλοί αλγόριθμοι λύνουν αυτό το πρόβλημα, ξεκινώντας με μια αρχική προσέγγιση του ''x''₁ ως <math>\sqrt{2}</math>, για παραράδειγμα ''x''₁=1.4, και υπολογίζοντας στη συνέχεια τις βελτιωτικές εικασίες ''x''₂, ''x''₃, κτλ... Μία τέτοια μέθοδος είναι η γνωστή [[ΒαβυλώνιαBαβυλώνια μέθοδος]], η οποίοποίa δίνεται από τύπο ''x''_''k''+1 = ''x_k''/2 + 1/''x_k''. AnotherΜία άλλη iterationεπανάληψη, whichτην weοποία willθα callονομάζουμε Methodμέθοδο XΧ, isδίνεται από givenτον byτύπο ''x''_{''k'' + 1} = (''x''_''k''²&minus;2)² + ''x''_''k''.<ref>This is a [[fixed point iteration]] for the equation <math>x=(x^2-2)^2+x=f(x)</math>, whose solutions include <math>\sqrt{2}</math>. The iterates always move to the right since <math>f(x)\geq x</math>. Hence <math>x_1=1.4<\sqrt{2}</math> converges and <math>x_1=1.42>\sqrt{2}</math> diverges.</ref> We have calculated a few iterations of each scheme in table form below, with initial guesses ''x''₁ = 1.4 and ''x''₁ = 1.42.