Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 267:
όπου ''I'' είναι ο μοναδιαίος πίνακας της ίδιας διάστασης με τον ''A''. Αντίστροφα, det(''A'') είναι το γινόμενο των [[ιδιοδιανύσματα|ιδιοτιμών]] του ''A'', μετρώντας τις [[αλγεβρική πολλαπλότητα|αλγεβρικές πολλαπλότητες]]. Το γινόμενο όλων των μη μηδενικών ιδιοτιμών αναφέρεται σαν [[ψευδο-ορίζουσα]].
Ένα [[Ερμιτιανός πίνακας]] είναι [[θετικά ορισμένος πίνακας|θετικά ορισμένος]] αν όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές. Το [[κριτήριο του Sylvester]] ισχυρίζεται ότι είναι ισοδύναμο με το να είναι θετικές οι ορίζουσες των υποπινάκων
:<math>A_k := \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,k} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{k,1} & a_{k,2} & \dots & a_{k,k} \end{bmatrix} </math>
για όλα τα ''k'' από 1 μέχρι ''n''.
Το [[ίχνος(γραμμική άλγεβρα)|ίχνος]] tr(''A'') είναι εξ ορισμού το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου του ''A'' και επίσης ισούται με το άθροισμα των ιδιοτιμών. Έτσι, για μιγαδικούς πίνακες ''A'',
:<math>\det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{tr}(A))\, </math>
ή, για πραγματικούς πίνακες ''A'',
:<math>\mathrm{tr}(A) = \log(\det(\exp(A))). \,</math>
Εδώ το exp(''A'') συμβολίζει τον [[εκθετικός πίνακας|εκθετικό πίνακα]] του ''Α'', επειδή κάθε ιδιοτιμή λ του ''Α'' αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή exp(λ) του exp(''A''). Ειδικότερα, όταν δίνεται κάποιος [[λογαριθμικός πίνακας|λογάριθμος]] του ''Α'', ο οποίος είναι, κάθε πίνακας ''L'' που ικανοποιεί την
:<math>\exp(L) = A\,</math>
η ορίζουσα ενός ''Α'' δίνεται από
:<math>\det(A) = \exp(\mathrm{tr}(L)). \,</math>
Για παράδειγμα, για ''n'' = 2, ''n''=3, και ''n'' = 4, αντίστοιχα,
:<math>\det(A) = \bigl( (\mathrm{tr}A)^2 - \mathrm{tr}(A^2)\bigr )/2, \, </math>
:<math>\det(A) = \Bigl((\mathrm{tr}A)^3 - 3 \mathrm{tr}A ~ \mathrm{tr}(A^2) + 2 \mathrm{tr}(A^3)\Bigr)/6, \,</math>
:<math>\det(A)= \Bigl( (\mathrm{tr}A)^4 - 6 \mathrm{tr}(A^2)(\mbox{tr}A)^2+3(\mbox{tr}(A^2))^2 +8\mbox{tr}(A^3)~\mbox{tr}A -6\mbox{tr}(A^4)\Bigr)/24~.</math>
σύμφωνα με το[[Cayley-Hamilton_theorem#Illustration_for_specific_dimensions_and_practical_applications|θεώρημα Cayley-Hamilton]].
==Παραπομπές==
| |||