Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 289:
:<math>\det(A) = \Bigl((\mathrm{tr}A)^3 - 3 \mathrm{tr}A ~ \mathrm{tr}(A^2) + 2 \mathrm{tr}(A^3)\Bigr)/6, \,</math>
:<math>\det(A)= \Bigl( (\mathrm{tr}A)^4 - 6 \mathrm{tr}(A^2)(\mbox{tr}A)^2+3(\mbox{tr}(A^2))^2 +8\mbox{tr}(A^3)~\mbox{tr}A -6\mbox{tr}(A^4)\Bigr)/24~.</math>
σύμφωνα με το [[θεώρημα Cayley-Hamilton]]. Τέτοιες εκφράσεις εξάγονται από τις [[ταυτότητες του Νεύτωνα]].
Στην γενική περίπτωση,
:<math>
\det (A) = \sum_{k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}}\prod_{l=1}^{n} \frac{(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!} \mathrm{tr}(A^{l})^{k_{l}},
</math>
όπου το άθροισμα είναι πάνω στο σύνολο όλων των ακεραίων ''k<sub>l</sub>'' ≥ 0 που ικανοποιεί την εξίσωση
:<math>
\sum_{l=1}^{n}lk_{l} = n.
</math>
Μια ταυτότητα αυθαίρετης διάστασης ''n'' απορρέει από το ανάπτυγμα της [[σειρά του Mercator|σειράς του Mercator]] από τον λογάριθμο,
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\begin{align}
\det(I + A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( - \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j}\mathrm{tr}(A^j) \right) ^k\, ,
\end{align}
</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
==Παραπομπές==
| |||