Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 344:
===Παράγωγος===
Εξ ορισμού, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας τον [[τύπος του Leibniz|τύπο του Leibniz]], η ορίζουσα ενός πραγματικού (ή ανάλογα μιγαδικού)τετραγωνικού πίνακα είναι μια [[πολυώνυμο|πολυωνυμική συνάρτηση]] από το '''R'''<sup>''n'' × ''n''</sup> στο '''R'''. Ως τέτοια είναι παντού [[παράγωγος|διαφορίσιμη]]. Η παράγωγός της πορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον [[τύπος του Jacobi|τύπο του Jacobi]]:
:<math>\frac{\mathrm{d} \det(A)}{\mathrm{d} \alpha} = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \alpha}\right).</math>
όπου adj(''A'') συμβολίζει τον [[προσαρτημένος|προσαρτημένο]] του ''A''. Ειδικότερα, αν ο ''A'' είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:
:<math>\frac{\mathrm{d} \det(A)}{\mathrm{d} \alpha} = \det(A) \operatorname{tr}\left(A^{-1} \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \alpha}\right).</math>
Εκφράζεται ως προς τα στοιχεία του ''A'', είναι
: <math> \frac{\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}= \operatorname{adj}(A)_{ji}= \det(A)(A^{-1})_{ji}.</math>
Ακόμα μία ισοδύναμη διατύπωση είναι
:<math>\det(A + \epsilon X) - \det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A) X) \epsilon + O(\epsilon^2) = \det(A) \operatorname{tr}(A^{-1} X) \epsilon + O(\epsilon^2)</math>,
που χρησιμοποιεί το συμβολισμό Ο μεγάλο. Στην ειδική περίπτωση όπου <math>A = I</math>, ο μοναδιαίος πίνακας, είναι:
:<math>\det(I + \epsilon X) = 1 + \operatorname{tr}(X) \epsilon + O(\epsilon^2).</math>
Αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται στην περιγραφή του [[εφαπτόμενος χώρος|εφαπτόμενου χώρου]] κάποιου πίνακα των [[ομάδα Lie|ομάδων Lie]].
Αν ο πίνακας Α είναι γραμμένος ως <math>A = \begin{bmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c}\end{bmatrix}</math> όπου '''a''', '''b''', '''c''' είναι διανύσματα, τότε η κλίση σε ένα από τα τρία διανύσματα μπορεί να γραφεί σαν το [[εξωτερικό γινόμενο]] των δύο άλλων:
: <math> \begin{align}
\nabla_\mathbf{a}\det(A) &= \mathbf{b} \times \mathbf{c} \\
\nabla_\mathbf{b}\det(A) &= \mathbf{c} \times \mathbf{a} \\
\nabla_\mathbf{c}\det(A) &= \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\end{align} </math>
==Αφηρημένες αλγεβρικές απόψεις==
===Ορίζουσα ενός ενδομορφισμού===
==Παραπομπές==
| |||