Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Sag1234 (συζήτηση | συνεισφορές)
Sag1234 (συζήτηση | συνεισφορές)
Γραμμή 437:
 
===Όγκος και Ιακωβιανή ορίζουσα===
Όπως επισημάνθηκε παραπάνω, η απόλυτη τιμή της ορίζουσας πραγματικών διανυσμάτων ισούται με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από αυτά τα διανύσματα. Σαν συνέπεια, αν η {{nowrap|''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} είναι η γραμμική απεικόνιση που παριστάνεται από τον πίνακα ''A'', και το ''S'' είναι κάποιο [[μέτρο Lebesgue |μετρήσιμο]] [[υποσύνολο]] του '''R'''<sup>''n''</sup>, τότε ο όγκος της ''f''(''S'') δίνεται από την |det(''A'')| επί τον όγκο του ''S''. Γενικότερα, αν η γραμμική απεικόνιση {{nowrap|''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} παριστάνεται από τον ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'' matrix ''A'', τότε ο ''n''-διάστατος όγκος της ''f''(''S'') δίνεται από:
:<math>\operatorname {volume} (f(S)) = \sqrt{\det(A^\mathrm{T} A)} \times \operatorname{volume}(S).</math>
 
Υπολογίζοντας τον όγκο του [[τετράεδρο|τετράεδρου]] που οριοθετείται από τέσσερα σημεία, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν [[ασύμβατη ευθεία|ασύμβατες ευθείες]].Ο όγκος οποιουδήποτε τετράεδρου, δίνεται από τις κορυφές του '''a''', '''b''', '''c''', και '''d''', είναι (1/6)·|det('''a'''&nbsp;−&nbsp;'''b''',&nbsp;'''b'''&nbsp;−&nbsp;'''c''', '''c'''&nbsp;−&nbsp;'''d''')|, ή με οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό από ζεύγη κορυφών που θα σχημάτιζαν ένα δένδρο που ενώνει τις κορυφές.
 
Για μια γενική [[διαφορίσιμη συνάρτηση]], πολλά από τα παραπάνω μεταφέρονται λαμβάνοντας υπόψη τον [[Ιακωβιανό πίνακα]] της ''f''. Για
:<math>f: \mathbf R^n \rightarrow \mathbf R^n,</math>
ο Ιακωβιανός είναι ο ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' πίνακας του οποίου τα στοιχειά δίνονται από
:<math>D(f) = \left (\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right )_{1 \leq i, j \leq n}. \,</math>
Η ορίζουσά της, η [[Ιακωβιανή ορίζουσα]] εμφανίζεται σε μεγαλύτερης διάστασης εκδοχές της [[ολοκλήρωση με αντικατάσταση|ολοκλήρωσης με αντικατάσταση]]: για κατάλληλη ''f'' και ένα [[ανοικτό υποσύνολο]] ''U'' του '''R''''<sup>''n''</sup> (το πεδίο ορισμού της ''f''), το ολοκλήρωμα από την ''f''(''U'') σε κάποια άλλη συνάρτηση {{nowrap|φ: '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} δίνεται από
:<math> \int_{f(U)} \phi(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U \phi(f(\mathbf{u})) \left|\det(\operatorname{D}f)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.</math>
Η Ιακωβιανή επίσης εμφανίζεται στο [[θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης]].
 
===Ορίζουσα του Vandermonde(εναλλάσσουσα ορίζουσα) ===