Θεωρία αριθμών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Omertak (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη
Γραμμή 55:
Δεν γνωρίζουμε κανένα σαφή αριθμητικό υλικό [[αιγυπτιακά μαθηματικά | αρχαίας Αιγύπτου]] ή [[Vedic]] πηγές, αν υπάρχει κάποια άλγεβρα και στις δύο. Το [[Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων]] εμφανίζεται ως μια άσκηση </ref> Sun Zi,'' Suan Ching'', κεφάλαιο 3, Πρόβλημα 26. Αυτό μπορεί να βρεθεί σε {{harvnb | Lam | Ang | 2004 | pp = 219-220}}, το οποίο περιέχει μια πλήρη μετάφραση του'' Suan Ching'' (με βάση {{harvnb | Qian | 1963}}). Βλέπε επίσης τη συζήτηση στο {{harvnb | Lam | Ang | 2004 | pp = 138-140}} </ ref> στο [[Sun Tzu (μαθηματικός) | Sun Zi]]. 'S'' Suan Ching'' (επίσης γνωστή ως'' [[Η Μαθηματική Classic της Sun Zi]]'' (3ο, 4ο ή 5ο αιώνα μ.Χ..) </ref name="YongSe"> Η ημερομηνία του κειμένου έχει περιοριστεί στο 220-420 μ.Χ. (Yan Dunjie) ή στο 280-473 μ.Χ. (Wang Ling) μέσω των εσωτερικών στοιχείων (= φορολογικών συστημάτων που ανέλαβε το κείμενο) Βλέπε {{harvnb | Lam | Ang | 2004 | pp = 27-28}}.. </ ref> (υπάρχει ένα σημαντικό βήμα παραβλέψαμε σε λύση της Sun Zi είναι:. </ref group=note> Sun Zi,'' Suan Ching'', Κεφ. 3, πρόβλημα 26,
σε {{harvnb | Lam | Ang | 2004 | pp = 219-220}}: <blockquote>
[26] Τώρα υπάρχει ένας άγνωστος αριθμός των πράγματα. Αν μετρήσουμε από τριάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 2? Αν μετρήσουμε από πεντάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 3? .Αν μετρήσουμε από εφτάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 2. Βρείτε τον αριθμό των πραγμάτων. ''Απάντηση'' : 23. <br/>
 
 
Γραμμή 187:
 
*'' Τα πρώτα βήματα προς την κατεύθυνση της [[αναλυτικής θεωρίας αριθμών]]''.Στο έργο του των ποσών των τεσσάρων τετραγώνων, [[λειτουργία Partition λειτουργία (Θεωρία Αριθμών) # Partition | χωρίσματα.]], [[Πεντάγωνο αριθμούς]], και η [[διανομή (θεωρία Αριθμών) | διανομή]] των πρώτων αριθμών,ο Euler καινοτόμησε τη χρήση του τι μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλυση (ειδικότερα, άπειρη σειρά) στην θεωρία αριθμών. Δεδομένου ότι έζησε πριν από την ανάπτυξη της [[σύνθετης ανάλυσης]], οι περισσότεροι από το έργο του περιορίζεται στην επίσημη χειραγώγηση της [[δύναμικης σειράς]]. Έκανε, ωστόσο, να κάνει κάποια πολύ σημαντική (αν και όχι πλήρως αυστηρή) πρώιμο έργο σε ό, τι αργότερα θα ονομάζεται [[συνάρτηση Ζήτα]] </ref> {{harvnb | Varadarajan | 2006 | pp = 45-55}}. ?. βλέπε επίσης το κεφάλαιο ΙΙΙ </ ref>
 
*''Τετραγωνικές μορφές''. Μετά to προβάδισμα του Fermat,o Euler έκανε περαιτέρω έρευνα σχετικά με το θέμα των πρώτων αριθμών που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή <math>\scriptstyle x^2 + N y^2</math>, κάποιες από αυτές προεικονίζει η [[τετραγωνική αμοιβαιότητας]]. {{SFN | Varadarajan | 2006 | pp 44-47 =}} {{SFN | Weil | 1984 | pp 177-179 =}} {{SFN | Edwards | 1983 | pp = 285-291}}
*'' Diophantine εξισώσεις''.Ο Euler εργάστηκε σε μερικές Diophantine εξισώσεις του γένους 0 και 1 {{SFN | Varadarajan | 2006 | pp = 55-56}}. {{SFN | Weil | 1984 | pp = 179-181}} Συγκεκριμένα, μελέτησε το εργο του [[Διόφαντος ]].Προσπάθησε να το συστηματοποιήσει, αλλά ο χρόνος δεν ήταν ακόμη ώριμος για μια τέτοια προσπάθεια - και η αλγεβρική γεωμετρία ήταν ακόμα στα σπάργανα {{SFN | Weil | 1984 | p = 181}} έκανε προκήρυξη υπήρχε μια σύνδεση μεταξύ Diophantine προβλήματα και [[ελλειπτικά ολοκληρώματα]], {{SFN | Weil | 1984 | p = 181}} την μελέτη του οποίου είχε ο ίδιος ξεκίνηση.
 
 
====Lagrange, Legendre and Gauss====
[[Image:Disqvisitiones-800.jpg|upright|150px|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]]'s [[Disquisitiones Arithmeticae]], first edition]]
 
 
 
 
 
Ο [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736-1813) ήταν ο πρώτος που θα δώσει την πλήρη αποδείξη ορισμένων από του Fermat και την εργασία και τις παρατηρήσεις του Euler - για παράδειγμα, η [[Lagrange είναι τεσσάρων τετραγωνικών θεώρημα | τεσσάρων τετραγωνικών θεώρημα]] και η βασική θεωρία του misnamed για την "Pell της εξίσωσης" (για την οποία μια αλγοριθμική λύση βρέθηκε από τον Fermat και τους συγχρόνους του, αλλά και από Jayadeva και [[Bhaskara II]] πριν από αυτούς.) Επίσης σπούδασε τις [[τετραγωνικές μορφές]] σε πλήρη γενικότητα (σε αντίθεση με <math>\scriptstyle m X^2 + n Y^2</math>) -και καθορίζει σχέση ισοδυναμίας τους, που δείχνει πώς να τους εντάξουμε σε μειωμένη μορφή, κλπ.
 
 
Ο [[Adrien-Marie Legendre]] (1752-1833) ήταν ο πρώτος που αναφέρει το δίκαιο της τετραγωνική αμοιβαιότητας.Επίσης,το
conjectured αυτό που ισοδυναμεί με το [[θεώρημα των πρώτων αριθμών]] και [θεώρημα [Dirichlet για αριθμητική progressions]]. Έδωσε μια πλήρη λύση της εξίσωσης <math>\scriptstyle a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0</math> {{SFN | Weil | 1984 | pp = 327-328}} και εργάστηκε πάνω στις τετραγωνικές μορφές σύμφωνα με τα όσα αργότερα αναπτύχθηκαν πλήρως από Gauss {{SFN | Weil | 1984 | pp = 332-334}}.Στην ηλικία του, ήταν ο πρώτος για να αποδείξει το «τελευταίο θεώρημα του Φερμά» για <math>n=5</math>(ολοκλήρωση των εργασιών από του [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], και πιστώνοντας την ίδια και στον [[Sophie Germain]]). {{SFN | Weil | 1984 | pp = 337-338}}
 
[[File:10 DM Serie4 Vorderseite.jpg|thumb|left|Carl Friedrich Gauss]]
 
Στο έργο του'' [[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798), [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]] (1777-1855) απέδειξε το δίκαιο της [[τετραγωνική αμοιβαιότητας]] και ανέπτυξε τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών και (ειδικότερα, τον καθορισμό σύνθεσή τους). Εισήγαγε επίσης κάποιους βασικούς συμβολισμούς ([[congruences]]) και αφιέρωσε ένα κεφάλαιο στην υπολογιστική θεμάτων, συμπεριλαμβανομένων των δοκιμών primality {{SFN | Goldstein | Schappacher | 2007 | p = 14}}. Η τελευταία ενότητα των ''Disquisitiones'' δημιουργήσει μια σύνδεση μεταξύ των [[ρίζων της ενότητας]] και θεωρία Αριθμών:
<blockquote>Η θεωρία της διαίρεσης του κύκλου ... που αντιμετωπίζεται sec. 7 δεν ανήκει
από μόνη της στην αριθμητική, αλλά οι αρχές της μπορούν να εξαχθούν μόνο από την υψηλότερη αριθμητική </ref> Από τον πρόλογο του'' Disquisitiones Arithmeticae'' η μετάφραση έχει ληφθεί από {{harvnb | Goldstein | Schappacher | 2007 | p = 16}}. </ ref><blockquote>
 
Με τον τρόπο αυτό,ο Gauss έκανε αναμφισβήτητα μια πρώτη επιδρομή προς δύο κατευθύνσεις προς την εργασία του [[Εβαρίστ Galois]] και [[Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών]].
 
===Maturity and division into subfields===
[[Image:ErnstKummer.jpg|upright|thumb|[[Ernst Kummer]]]]
[[Image:Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg|upright|left|thumb|[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]]]
 
Ξεκινώντας στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, οι ακόλουθες εξελίξεις έλαβαν χώρα σταδιακά:
. * Η αύξηση στην αυτοσυνειδησία της θεωρίας αριθμών (ή'' υψηλότερη αριθμητική'') ως πεδίο μελέτης </ref> Δείτε τη συζήτηση στο κεφάλαιο 5 του {{harvnb | Goldstein | Schappacher | 2007}}. Πρόωρα σημάδια της αυτο-συνείδησης υπάρχουν ήδη επιστολές του Fermat: έτσι στις παρατηρήσεις του σχετικά με την θεωρία αριθμών είναι, και πώς "το έργο του Διόφαντου του [...] δεν ανήκουν πραγματικά σε [αυτό]» (όπως αναφέρεται στο {{harvnb | Weil | 1984 |. p = 25}}) </ ref>
* Η ανάπτυξη τον πολύ σύγχρονων μαθηματικών που απαιτούνται για βασικές σύγχρονες θεωρίες αριθμών είναι: [[σύνθετη ανάλυση]], [[Θεωρία Ομάδων]], [[θεωρία Galois]]-συνοδεύεται από τη μεγαλύτερη αυστηρότητα στην ανάλυση και την αφαίρεση στην άλγεβρα.
* Η τραχιά υποδιαίρεση της θεωρίας αριθμών σε σύγχρονες υποπεδία, ιδίως,στην [[αναλυτική θεωρία αριθμών | αναλυτική]] και στην [[Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών]].
 
Η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών μπορεί να ειπωθεί για να ξεκινήσει τη μελέτη της αμοιβαιότητας και της [[ρίζα της ενότητας | cyclotomy]], αλλά πραγματικά τέθηκε με την ανάπτυξη της [[αφηρημένη άλγεβρα]] και στις αρχές της ιδανική θεωρία και της [αποτίμησης [(άλγεβρα ) | αποτίμησης]] θεωρίας (δείτε παρακάτω). Ένα συμβατικό σημείο εκκίνησης για αναλυτική θεωρία αριθμών είναι το [θεώρημα [Dirichlet για αριθμητική progressions]] (1837), {{SFN | Apostol | 1976 | p = 7}} {{SFN | Davenport | Montgomery | 2000 | p = 1}} απόδειξη της οποίας είναι η εισαγωγή [[L-λειτουργίες]] και η συμμετοχή σε κάποια ασυμπτωτική ανάλυση και μια διαδικασία περιορισμού σε μια πραγματική μεταβλητή </ref> Δείτε την απόδειξη στο {{harvnb | Davenport | Montgomery | 2000 | loc = ενότητα 1}}. </ ref > Η πρώτη χρήση της αναλυτικής και οι ιδέες στην θεωρία αριθμών στην πραγματικότητα
πηγαίνει πίσω στο Euler (1730), {{SFN | Iwaniec | Κοβάλσκι | 2004 | p = 1}} {{SFN | Varadarajan | 2006 | loc = τμήματα 2.5, 3.1 και 6.1}} που χρησιμοποιούνται επίσημη σειρά ισχύος και μη αυστηρή (ή σιωπηρή) στον περιορισμό της επιχειρήματα. Η χρήση των'' σύνθετη ανάλυση'' σε αριθμό θεωρία έρχεται αργότερα: το έργο του [[Bernhard Riemann]] (1859) σχετικά με την [[συνάρτηση Ζήτα| zeta λειτουργία]] είναι το κανονικό σημείο εκκίνησης {{SFN | Granville | 2008 | pp = 322-348}} [[Jacobi είναι τεσσάρων τετραγωνικών θεώρημα]] (1839), η οποία είναι προγενέστερη,και ανήκει σε μια αρχικά διαφορετική έλικα που έχει ληφθεί από τώρα σε πρωταγωνιστικό ρόλο στην αναλυτική θεωρία αριθμών,([[σπονδυλωτή μορφές ]]) </ref> Δείτε το σχόλιο σχετικά με τη σημασία της σπονδυλωτής στο {{harvnb | Iwaniec | Κοβάλσκι | 2004 | p = 1}}. </ ref>
 
Η ιστορία του κάθε υποπεδίο εν συντομία από το δικό του τμήμα παρακάτω.Δείτε το κύριο άρθρο της κάθε υποπεδίο για πληρέστερη κατανόηση. Πολλά από τα πιο ενδιαφέροντα ερωτήματα σε κάθε περιοχή παραμένουν ανοιχτά .
 
 
==Main subdivisions==
 
===Elementary tools===
 
Ο όρος'' [[στοιχειώδης απόδειξη | στοιχειώδη]]'' δηλώνει γενικά μια μέθοδο που δεν χρησιμοποιεί τη [[σύνθετη ανάλυση]]. Για παράδειγμα, η [[θεώρημα των πρώτων αριθμών]] για πρώτη φορά αποδείχθηκε το 1896, αλλά μια στοιχειώδης απόδειξη βρέθηκε μόνο το 1949 από [[Paul Erdős | Erdős]] και [[Atle Selberg | Selberg]] {{SFN |. Goldfeld | 2003}} Ο όρος είναι κάπως διφορούμενος για παράδειγμα, οι αποδείξεις που βασίζονται σε σύνθετες [[Tauberian θεώρημα]] s (π.χ. [[Wiener-Ikehara θεώρημα | Wiener-Ikehara]]) εχουν συχνά θεωρηθεί αρκετά διαφωτιστικές, αλλά δεν είναι στοιχειώδες, παρά τη χρήση ανάλυσης Fourier. Εδώ, όπως και αλλού, μια ''στοιχειώδης απόδειξη'' μπορεί να είναι μεγαλύτερη και πιο δύσκολη για τους περισσότερους αναγνώστες από μια μη-στοιχειώδη.
 
 
Η Θεωρία των αριθμών έχει τη φήμη ότι είναι ένα πεδίο πολλών αποτελέσματων των οποίων μπορεί να δηλωθεί με τον ειδήμονα. Την ίδια στιγμή, οι αποδείξεις από τα αποτελέσματα αυτά δεν είναι ιδιαίτερα προσιτές, εν μέρει επειδή το φάσμα των εργαλείων που χρησιμοποιούν είναι, αν μη τι άλλο, ασυνήθιστα στα ευρεία μέσα στα μαθηματικά </ref> Βλέπε, π.χ., το αρχικό σχόλιο στο {{harvnb |. Iwaniec | Κοβάλσκι | 2004 |. p = 1}} </ ref>
 
 
===Analytic number theory===
{{main|Analytic number theory}}
 
[[Image:Complex zeta.jpg|right|thumb|[[Riemann zeta function]] ζ(''s'') in the [[complex plane]]. The color of a point ''s'' gives the value of ζ(''s''): dark colors denote values close to zero and hue gives the value's [[Argument (complex analysis)|argument]].]]
[[File:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|thumb|The action of the [[modular group]] on the [[upper half plane]]. The region in grey is the standard [[fundamental domain]].]]
 
'' Αναλυτική Θεωρία Αριθμών'' μπορεί να οριστεί:
* Όσον αφορά τα εργαλεία της, όπως η μελέτη των ακεραίων με τη βοήθεια των εργαλείων από τις πραγματικές και πολύπλοκες αναλύσεις.{{SFN | Apostol | 1976 | p = 7}} ή
* Όσον αφορά τις ανησυχίες της, όπως η μελέτη εντός της θεωρίας των αριθμών,των εκτιμήσεων για το μέγεθος και την πυκνότητα, σε αντίθεση με τις ταυτότητες </ref> {{harvnb | Granville | 2008 | loc = ενότητα 1}}:. "Η κύρια διαφορά είναι ότι στην αλγεβρική Θεωρία Αριθμών [...] θεωρείτε συνήθως στις ερωτήσεις με τις απαντήσεις που δίνονται από ακριβείς τύπους, ενώ στην αναλυτική θεωρία αριθμών [...] ψάχνει κανείς για'' καλές προσεγγίσεις''. "</ ref>
 
 
 
Ορισμένα θέματα που γενικά θεωρείται ότι είναι μέρος της ψυχαναλυτικής θεωρίας αριθμού, π.χ., [[θεωρία κόσκινου]], </ref group=note>.Θεωρία Κόσκινου-αριθμητικά δεδομένα ως μία από τις κύριες υποπεριοχές της αναλυτική θεωρίας αριθμών σε πολλά τυποποιημένες λύσεις.Βλέπε, για παράδειγμα, {{harvnb | Iwaniec | Κοβάλσκι | 2004}} ή {{harvnb | Montgomery | Vaughan | 2007}} </ ref> καλύπτονται καλύτερα από το δεύτερο και όχι το πρώτο ορισμό: μερικά από τα θεωρία κόσκινου, για παράδειγμα, χρησιμοποιεί μικρή ανάλυση , </ref group=note>.Αυτή είναι η περίπτωση για τα μικρά κόσκινα (ειδικότερα, ορισμένες συνδυαστικά κόσκινα όπως οι [[Brun κόσκινο]]), αντί για το [[μεγάλο κόσκινο]],η μελέτη του τελευταίου περιλαμβάνει πλέον τις ιδέες από την [[αρμονική ανάλυση | αρμονικές]] και [[λειτουργική ανάλυση]] </ ref> όμως θεωρείται ότι είναι μέρος της ψυχαναλυτικής θεωρίας αριθμών.
 
 
Τα ακόλουθα είναι παραδείγματα των προβλημάτων στην αναλυτική θεωρία αριθμών: το [[θεώρημα των πρώτων αριθμών]], η [[εικασία του Γκόλντμπαχ]] (ή το [[twin προνομιακή εικασίες]], ή [[Hardy-Littlewood εικασίες]] s) , το [[Waring πρόβλημα]] και το [[Riemann Hypothesis]]. Μερικά από τα πιο σημαντικά εργαλεία της αναλυτικής θεωρίας αριθμών είναι η [[μέθοδος του κύκλου]], [[μέθοδοι κόσκινο]] και [[L-λειτουργίες]] (ή, μάλλον, η μελέτη των ιδιοτήτων τους). Η θεωρία του [[σπονδυλωτή μορφές]] (και, γενικότερα, [[automorphic μορφές]]) και καταλαμβάνει όλο και κεντρική θέση στην εργαλειοθήκη των αναλυτικό αριθμό θεωρία.
 
 
Κάποιος μπορεί να ζητήσει αναλυτικές ερωτήσεις σχετικά με τον [[αλγεβρικό αριθμό]] s, και η χρήση των αναλυτικών μέσα για να απαντήσει σε αυτά τα ερωτήματα.Συνεπώς,το αλγεβρικό και αναλυτικό κομμάτι της θεωρία αριθμών τέμνονται. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να καθορίσει τα[[προνομιακά ιδεώδη]] της (γενικεύσεις του [[πρώτου αριθμόυ]] που ζουν στον τομέα των αλγεβρικών αριθμών) και να ρωτήσει πόσο προνομιακά είναι τα ιδεώδη που υπάρχουν μέχρι ένα ορισμένο μέγεθος. Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί μέσω της εξέτασης της [[Dedekind zeta λειτουργία]] , η οποία είναι γενικεύσεις της [[συνάρτηση Ζήτα]], ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της αναλυτικής καθώς και το αντικείμενο που περιγράφει την κατανομή των πρώτων αριθμών.
 
===Algebraic number theory===
{{main|Algebraic number theory}}
 
Η '' Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών'' μελέτα της αλγεβρικές ιδιότητες και το αλγεβρικό αντικείμενα του ενδιαφέροντος στην θεωρία των αριθμών. (Έτσι,η αναλυτική και η αλγεβρική θεωρία αριθμών μπορεί και να κάνει επικάλυψη:Δηλαδη ο πρώην ορίζεται από τις μεθόδους της,όπως το τελευταίο από τα αντικείμενα της μελέτης).Ένα βασικό θέμα είναι ο [[αλγεβρικό αριθμό]] s, που είναι γενικεύσεις των ρητών αριθμών. Εν συντομία, ένας ''αλγεβρικός αριθμός'' είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός που είναι μια λύση σε κάποιο πολυωνυμικής εξίσωσης <math>\scriptstyle f(x)=0</math> με τους ορθολογικούς συντελεστές.Για παράδειγμα, κάθε διάλυμα <math>x</math> of <math>\scriptstyle x^5 + (11/2) x^3 - 7 x^2 + 9 = 0
</math> (ας πούμε) είναι ένας αλγεβρικός αριθμός. Τα πεδία των αλγεβρικών αριθμών που ονομάζεται επίσης και'' [[αλγεβρικός τομέας αριθμών]] s'', ή (και πιο σπάνια)'' [[πεδίο αριθμού]] s''.
 
 
Θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι το απλούστερο είδος αριθμών πεδίων (δηλαδή, τετραγωνική πεδία) είχαν ήδη μελετηθεί από τον Gauss, όπως και η συζήτηση της τετραγωνικής μορφής'' Disquisitiones Arithmeticae'' μπορεί να αναμορφωθεί από την άποψη των [[ιδανικών (θεωρία του δακτυλίου) | ιδανικές]] και τους
[[Norm (μαθηματικά) | νόρμες]] στα τετραγωνικά πεδία. (Ο''τετραγωνικός τομέας'' αποτελείται από όλα
αριθμούς της μορφής <math>\scriptstyle a + b \sqrt{d}</math>, όπου
<math>a</math> και <math>b</math> αποτελούν ορθολογικούς αριθμούς και <math>d</math>
είναι ένα σταθερός ρητός αριθμός των οποίων η τετραγωνική ρίζα δεν είναι λογική.)
Για το θέμα αυτό, το 11ο αιώνα η [[μέθοδος chakravala]] -με σύγχρονους όρους-ποσά σε έναν αλγόριθμο για την εύρεση των μονάδων μιας πραγματικής τετραγωνική πεδίο αριθμού. Ωστόσο, ούτε η [[Bhaskara II | Bhaskara]], ούτε ο Gauss γνώριζε των αριθμό των πεδίων ως τέτοιο.
 
 
Οι λόγοι του θέματος όπως την ξέρουμε τέθηκαν στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν το'' ιδανικό''των αριθμών, η θεωρία των ''ιδανικών'' και''θεωρία αποτίμησης''. Είναι τρεις συμπληρωματικοί τρόποί η αντιμετώπισης με την έλλειψη της μοναδικής παραγοντοποίησης στο αλγεβρικό πεδίο αριθμών. (Για παράδειγμα, στο πεδίο που παράγεται από τους ρητούς
και<math>\scriptstyle \sqrt{-5}</math>, ο αριθμός <math>6</math> μπορεί να factorised τόσο ως <math>\scriptstyle 6 = 2 \cdot 3</math> και
<math>\scriptstyle 6 = (1 + \sqrt{-5}) ( 1 - \sqrt{-5})</math> όλα <math>2</math>, <math>3</math>, <math>\scriptstyle 1 + \sqrt{-5}</math> και
<math>\scriptstyle 1 - \sqrt{-5}</math> είναι ανάγωγο, και ως εκ τούτου, σε μια απλή έννοια,υπάρχει ανάλογη με primes μεταξύ των ακεραίων).Η αρχική ώθηση για την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών (από το [[Ernst Kummer | Kummer]].) φαίνεται να έχουν έρθει από τη μελέτη των υψηλότερων νόμων της αμοιβαιότητας , {{SFN | Edwards | 2000 | p = 79}}, δηλαδή,τις γενικεύσεις της [[τετραγωνικής αμοιβαιότητας]].
 
Τα πεδία Αριθμών συχνά μελετήθηκαν ως επεκτάσεις των μικρότερων πεδίων αριθμών: πεδίο'' L'' λέγεται ότι είναι μια''επέκταση του πεδίου'' '' Κ'' αν'' L'' περιέχει'' Κ''.
(Για παράδειγμα, οι μιγαδικών αριθμών'' C'' είναι μια επέκταση των reals'' R'', και οι πραγματικοί'' R'' είναι μια επέκταση των ρητών'' Q''.)
Ταξινόμηση των πιθανών επεκτάσεων ενός δεδομένου πεδίο αριθμών είναι δύσκολη και εν μέρει ένα ανοικτό πρόβλημα.Οι Abelian επεκτάσεις-που είναι, επεκτάσεις των '' L'' του'' Κ'', έτσι ώστε η [[Galois ομάδα]] </ref group=note>.Η ομάδα Galois της επέκτασης'' K / L'' αποτελείται από τις εργασίες ([[isomorphisms]]) που αποστέλλουν στοιχεία του L με άλλα στοιχεία της L, αφήνοντας να καθοριστεί όλα τα στοιχεία του K .
Έτσι, για παράδειγμα,'' Gal (C / R)'' αποτελείται από δύο στοιχεία: το στοιχείο της ταυτότητας
(λαμβάνοντας κάθε στοιχείο'' Χ'' +'' iy'' της'' C'' στον εαυτό του) σύζευξη και πολύπλοκες
(ο χάρτης λαμβάνοντας κάθε στοιχείο'' Χ'' +'' iy'' στο'' Χ'' -'''' iy)].