Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Θεωρία αριθμών»

μ
 
Πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με τον [[Διόφαντου της Αλεξάνδρειας]]. Πιθανότατα έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ., δηλαδή, περίπου πεντακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Έξι από τα δεκατρία βιβλία του Διοφάντου'' [[Αριθμητικά]]'' επιβίωσαν στο πρωτότυπο κείμενο στα ελληνικά. Τέσσερα βιβλία επιβίωσαν σε μια αραβική μετάφραση. Η'' Arithmetica'' είναι μια συλλογή από λυμένα προβλήματα, όπου ο στόχος είναι πάντα να βρούμε λογικές λύσεις σε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μορφή <math>\scriptstyle f(x,y)=z^2</math> or <math>\scriptstyle f(x,y,z)=w^2</math>. Έτσι, στις μέρες μας, μιλάμε για'' Diophantine εξισώσεις'' όταν μιλάμε για πολυωνυμικές εξισώσεις στις οποίες ορθολογικοί ή ακέραιος πρέπει να βρεθούν ως λύσεις.
 
 
Κάποιος μπορεί να πει ότι Διόφαντος σπούδαζε ορθολογικά σημεία - δηλαδή, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι λογικό - να είναι [[καμπύλη]] s και [[αλγεβρικό ποικιλία | αλγεβρικό ποικιλίες]]. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους Έλληνες της κλασικής εποχής, που έκανε ό,τι θα αποκαλούσαμε τώρα βασική άλγεβρα και γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Ο Διόφαντος έκανε αυτό που θα ονομάζαμε σήμερα βασικό αλγεβρική γεωμετρία με καθαρά αλγεβρικό όρους. Στη σύγχρονη γλώσσα, τι έκανε ο Διόφαντος όταν ήταν να βρει ορθολογική parametrizations των ποικιλιών? Δηλαδή, δίνεται μια εξίσωση της μορφής (ας πούμε)
<math>\scriptstyle i=1,2,3</math> δίνει μια λύση για <math>\scriptstyle f(x_1,x_2,x_3)=0.</math>
 
Ο Διόφαντος μελέτησε επίσης τις εξισώσεις μερικών μη ορθολογικών καμπύλώνκαμπυλών, για τις οποίες δεν υπάρχει ορθολογική παραμετροποίηση όσο είναι δυνατόν. Κατάφερε να βρει κάποια λογικά σημεία σε αυτές τις καμπύλες ([[ελλειπτικών καμπυλών]], όπως συμβαίνει, σε ό, τι φαίνεται να είναι η πρώτη γνωστή εμφάνιση τους) μέσω αυτού που ανέρχεται σε εφαπτόμενη κατασκευής: μεταφράζεται σε γεωμετρία συντεταγμένων
 
 
 
 
 
 
 
 
Ο Διόφαντος μελέτησε επίσης τις εξισώσεις μερικών μη ορθολογικών καμπύλών, για τις οποίες δεν υπάρχει ορθολογική παραμετροποίηση όσο είναι δυνατόν. Κατάφερε να βρει κάποια λογικά σημεία σε αυτές τις καμπύλες ([[ελλειπτικών καμπυλών]], όπως συμβαίνει, σε ό, τι φαίνεται να είναι η πρώτη γνωστή εμφάνιση τους) μέσω αυτού που ανέρχεται σε εφαπτόμενη κατασκευής: μεταφράζεται σε γεωμετρία συντεταγμένων
(η οποία δεν υπήρχε στο χρόνο Diophantus '), η μέθοδος του θα απεικονιστεί αφού χαραχθεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα γνωστό ορθολογική σημείο, και στη συνέχεια βρίσκοντας το άλλο σημείο της τομής της εφαπτομένης με την καμπύλη δηλαδή ότι το άλλο στοιχείο είναι ένα νέο ορθολογική σημείο. (Ο Διόφαντος κατέφυγε επίσης σε ό,τι θα μπορούσε να ονομαστεί σήμερα σαν μια ειδική περίπτωση μιας τέμνουσας κατασκευής.)
 
83.354

επεξεργασίες