Φυσικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Nikos4pap (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Nikos4pap (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 1:
{{bots|deny=AWB}} <!-- has problems with set notation -->
[[File:Three apples.svg|right|thumb|Natural numbers can be used for counting (one apple, two apples, three apples, ...)]]
Στα [[μαθηματικά]], οι '''φυσικοί αριθμοί''' είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη [[μέτρηση]] ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη [[Μέτρηση|σύγκριση]] ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες"). . Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού , ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για την ονομασία.
 
Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το [[μηδέν]] στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι '''[[Ακέραιος αριθμός| θετικοί ακέραιοι]]''' 0, 1, 2, 3, ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους '''μη-αρνητικούς ακέραιους '''0, 1, 2, 3, ...}}}. Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο ''φυσικό αριθμό'' αποκλείοντας το 0 και ''ακέραιο αριθμό'' για να το συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ''ακέραιο αριθμό'' κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ''ακεραίου '' όρου.
Ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη [[Διαιρέτης|διαιρετότητα]], όπως η κατανομή των [[πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]], μελετούνται στη [[θεωρία αριθμών]]. Προβλήματα σχετικά με την καταμέτρηση και την παραγγελία, όπως η [[κατάτμηση ]] [[απαρίθμηση]], μελετούνται στη [[Συνδυαστική]].
 
 
Γραμμή 13:
Η πιο πρωτόγονη μέθοδος που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό αριθμό είναι να βάλεις κάτω μια κουκκίδα για κάθε αντικείμενο. Αργότερα, μια σειρά από αντικείμενα που μπορούσαν να ελέγχονται για την ισότητα, το πλεόνασμα ή το έλλειμμα, διαγράφοντας μια τελεία για κάθε αντικείμενο στο σύνολο.
 
Το πρώτο μεγάλο βήμα προς την αφαίρεση ήταν η χρήση των [[Ελληνικό σύστημα αρίθμησης|συστημάτων αρίθμησης]] για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Αυτό επέτρεψε να αναπτυχθούν συστήματα για την καταγραφή μεγάλων αριθμών. Οι αρχαίοι [[Αίγυπτος| Αιγύπτιοι]] ανέπτυξαν ένα ισχυρό σύστημα αρίθμησης με διάφορα [[Αιγυπτιακά ιερογλυφικάΙερογλυφικά|ιερογλυφικά]] για το 1, 10, αλλά και για όλες τις δυνάμεις του 10 έως και πάνω από 1 εκατομμύριο. Μια πέτρα λιθοτεχνίας από [[ Καρνάκ ]], που χρονολογείται γύρω στο 1500 π.Χ. και τώρα βρίσκεται στο μουσείο του [[ Μουσείο του Λούβρου|Λούβρου]] στο Παρίσι, απεικονίζει το 276 ως 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, και 6, και ομοίως για τον αριθμό 4.622. Οι [[ Βαβυλώνα|Βαβυλώνιοι]] είχαν ένα αξιόλογο σύστημα αρίθμησης που βασιζόταν κυρίως στους αριθμούς 1 και 10.{{citation needed|date=November 2012}}
 
Ένα μεταγενέστερο βήμα ήταν η ανάπτυξη της ιδέας ότι το [[0 (μηδέν)|0]] μπορεί να θεωρηθεί ως ένας αριθμός, με το δικό του ψηφίο. Η χρήση του [[ψηφίοΑριθμός|ψηφίου]] 0 με αξιολογικό συμβολισμό (μέσα σε άλλους αριθμούς) χρονολογείται ήδη από το 700 π.Χ. από τους Βαβυλώνιους, αλλά παραλείπεται ένα τέτοιο ψηφίο όταν θα ήταν το τελευταίο σύμβολο στον αριθμό. Οι πολιτισμοί των [[Olmec]] και των [[Μάγια|Maya]] χρησιμοποίησαν το 0 ως ξεχωριστό αριθμό ήδη από τον 1ο αιώνα π.Χ. , αλλά η χρήση αυτή δεν είχε εξαπλωθεί πέρα από την [[Κεντρική Αμερική]].{{Citation needed|date=October 2012}} Η χρήση του ψηφίου 0 στη σύγχρονη εποχή ξεκίνησε από την [[Ινδία|Ινδό]] μαθηματικό [[ Brahmagupta]] το 628. Ωστόσο, το 0 είχε χρησιμοποιηθεί ως ένας αριθμός στα μεσαιωνικά (για τον υπολογισμό της ημερομηνίας του [[Πάσχα]]), αρχίζοντας από τον [[Dionysius Exiguus]] το 525, χωρίς να συμβολίζεται από ένα ψηφίο (σύμφωνα με τους [[Λατινικούς αριθμούς]] δεν υπήρχε ένα σύμβολο για το 0) αντί του συμβόλου χρησιμοποιήθηκε το ''nulla'' ή το''nullae'', γενική της ''nullus'', η λατινική λέξη "τίποτα", χρησιμοποιήθηκε για να υποδηλώσει μια τιμή 0. <ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13}}</ref>
 
Η πρώτη συστηματική μελέτη των αριθμών ως αφαιρέσεις (δηλαδή, ως αφηρημένες [[οντότητα|οντότητες]] συνήθως πιστώνεται στους [[Αρχαία Ελλάδα|αρχαίους Έλληνες]] φιλόσοφους στον [[Πυθαγόρας|Πυθαγόρα]] και στον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]]. Πρέπει να σημειωθεί ότι πολλοί Έλληνες μαθηματικοί δεν θεωρούσαν ότι το 1 είναι "ένας αριθμός", επομένως το 2 ήταν ο μικρότερος αριθμός. <ref>This convention is used, for example, in [[Euclid's Elements]], see [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html Book VII, definitions 1 and 2].</ref>
 
Ανεξάρτητες μελέτες, επίσης, εμφανίστηκαν περίπου την ίδια ώρα στην [[Ινδία]], [[Κίνα]], και στην [[Κεντρική Αμερική]].{{Citation needed|date=October 2011}}
 
Αρκετοί [[Φυσικός αριθμός|ορισμοί των φυσικών αριθμών]] αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Με τους ορισμούς αυτούς ήταν βολικό να περιλαμβάνεται το 0 (που αντιστοιχεί στο [[Σύνολο|κενό σύνολο]]) ως ένα φυσικός αριθμός. Το να συμπεριλαμβάνεται και το 0 είναι πλέον η κοινή σύμβαση μεταξύ των επιστημόνων της βασικής θεωρίας , της λογικής και της [[πληροφορική]]ς. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί περιλαμβάνουν επίσης το 0, αν και ορισμένοι έχουν διατηρήσει την παλαιότερη παράδοση και λαμβάνουν ότι το 1 είναι ο πρώτος φυσικός αριθμός. <ref>This is common in texts about [[Real analysis]]. See, for example, Carothers (2000) p.3 or Thomson, Bruckner and Bruckner (2000), p.2.</ref> Μερικές φορές, το σύνολο των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός καλείται σύνολο ακεραίων αριθμών ή μετρήσιμων αριθμών. Από την άλλη πλευρά, ο ακέραιος στα λατινικά για το «σύνολο», είναι οι [[ακέραιοι]] που συνήθως υφίστανται για τους αρνητικούς και θετικούς ακέραιους αριθμούς (και το 0) μαζί.
 
==Σημείωση ==
Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν '''N''' ή <math>\mathbb{N}</math> (Ένα N στο [[μαυροπίνακας|μαυροπίνακα]], εμφανίζεται ως {{unicode|ℕ}} σε [[Unicode]]) για να αναφερθούν στο [[σύνολο]] των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο είναι αριθμητικά άπειρο: είναι [[άπειρο]] αλλά [[Μέτρηση|μετρήσιμο]] εξ ορισμού. Αυτό εκφράζεται επίσης λέγοντας ότι ο [[Φυσικός αριθμός|απόλυτος αριθμός ]] του συνόλου είναι [[Aleph number#Aleph-null|aleph-null]] <math>(\aleph_0)</math>.<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>
 
Για να είμαστε σαφείς για το αν το 0 περιλαμβάνεται ή όχι, μερικές φορές ένα ευρετήριο (ή εκθέτης) προστίθεται στο "0", στην πρώτη περίπτωση, ένας εκθέτης "<math>*</math>" στη δεύτερη περίπτωση προστίθεται ο δείκτης "<math>1</math>" {{cn|date=May 2013}}
Γραμμή 31:
<!--(Sometimes, an index or [[superscript]] "+" is added to signify "positive". However, this is often used for "nonnegative" in other cases, as '''R'''<sup>+</sup> = <nowiki>[0,∞)</nowiki> and '''Z'''<sup>+</sup> = { 0, 1, 2, ... }, but rarely in European scientific journals. The notation "<math>*</math>", however, is standard for nonzero, or rather, [[invertible]] elements. The notation <math>\mathbb{N}^0</math> could also mean the empty [[direct product]] <math>\prod_{i=1}^k \mathbb{N}</math> resp. the empty [[direct sum]] <math>\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{N}</math> in the case <math>k=0</math>.)-->
 
Μερικοί συγγραφείς που αποκλείουν το 0 από τους φυσικούς μπορεί να διακρίνουν το σύνολο των θετικών ακέραιων παραπέμποντας στους τελευταίους, σαν ''φυσικούς αριθμούς με το μηδέν'', ''ακέραιους αριθμούς'', ή ''αριθμούς μέτρησης'', συμβολίζοντάς τους με '''W'''.{{cn|date=May 2013}} Άλλοι χρησιμοποιούν το '''P''' συμβολισμό για τους θετικούς ακέραιους αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης αυτού με τους πρώτους αριθμούς. {{cn|date=May 2013}} Σε αυτή την περίπτωση, μια δημοφιλής {{cn|date=May 2013}} σημειογραφία είναι να χρησιμοποιήσετε ένα '''''P''''' για θετικούς ακέραιους (το οποίο εκτείνεται στη χρήση του '''''N''''' για αρνητικούς ακεραίους, και το '''''Z''''' για το 0.
 
Βασικοί θεωρητικοί δηλώνουν συχνά το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου του 0 με το πεζό ελληνικό γράμμα [[ω]]. Αυτό απορρέει από την αναγνώριση ενός [[τακτικός αριθμός|τακτικού αριθμού]] από το σύνολο των τακτικών αριθμών.
Γραμμή 38:
Η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (×) για τους φυσικούς αριθμούς έχουν αρκετές αλγεβρικές ιδιότητες:
*Είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και πολλαπλασιασμό: για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'', και τα δύο {{nowrap|''a'' + ''b''}} και {{nowrap|''a'' × ''b''}} είναι φυσικοί αριθμοί.
*[[Προσεταιριστική ιδιότητα|Προσεταιριστικότητα]]: : για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'', ''b'', και''c'', {{nowrap|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} και {{nowrap|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.
*[[Αντιμεταθετική ιδιότητα|Αντιμεταθετικότητα]]: για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'', {{nowrap|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} και {{nowrap|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.
*Existence of [[identity element]]s: for every natural number ''a'', {{nowrap|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} and {{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
*[[Άλγεβρα Μπουλ|Επιμεριστικότητα]]του πολλαπλασιασμού πάνω προσθήκη για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'', ''b'', και''c'', {{nowrap|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}
*Χωρίς [[Διαιρέτης|μηδενικούς διαιρέτες]]s: Εάν''a'' και ''b'' είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε {{nowrap|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, τότε {{nowrap|''a'' {{=}} 0}} or {{nowrap|''b'' {{=}} 0}}.
 
==Ιδιότητες==
Γραμμή 49:
Εάν το 1 ορίζεται ως ''S''(0), στη συνέχεια {{nowrap|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}. Δηλαδή, {{nowrap|''b'' + 1}}είναι απλώς αμέσως επόμενο του ''b''.
 
Αναλόγως, δεδομένου ότι η προσθήκη έχει οριστεί, ένας [[πολλαπλασιασμός]] × μπορεί να οριστεί μέσω {{nowrap|''a'' × 0 {{=}} 0}} και{{nowrap|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}. Αυτό μετατρέπεται ('''N'''<sup>*</sup>,&nbsp;×) σε ενα ελεύθερο αντιμεταθετικό μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 1. Μια γεννήτρια για αυτό το μονοειδές είναι το σύνολο των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι συμβατές πράξεις, οι οποίες εκφράζονται στοστην [[νόμοΆλγεβρα Μπουλ| επιμεριστική κατανομήςιδιότητα]]:
{{nowrap|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Αυτές οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού κάνουν τους φυσικούς αριθμούς ένα στιγμιότυπο του [[commutative]] [[semiring]]. Τα Semirings είναι μια αλγεβρική γενίκευση των φυσικών αριθμών όπου ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητα ευμετάβλητος. Η έλλειψη από αντίστροφες προσθέσεις, κάτι το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι το '''N''' δεν είναι κλειστό υπό αφαίρεση, σημαίνει ότι το '''N''' ''δεν είναι'' [[δακτύλιος]]; αλλά είναι μια [[semiring]].
 
Εάν οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται ως "εκτός του 0", και "ξεκινώντας από το 1", tοι ορισμοί των + και × είναι όπως παραπάνω,εκτός του ότι αρχίζουν με {{nowrap|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} και{{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
 
Για το υπόλοιπο του άρθρου, παρατιθέμενες μεταβλητές όπως η ''ab'' αναφέρουν το γινόμενο ''a'' × ''b'', και η τυπική [[σειρά λειτουργιών]] υποτίθεται.
 
Η [[Αριθμός|απόλυτη σειρά]] για τους φυσικούς αριθμούς ορίζεται αφήνοντας {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} αν και μόνο αν υπάρχει ένας άλλος φυσικός αριθμός ''c'' με {{nowrap|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. Η σειρά αυτή είναι συμβατή με τις [[Πράξη (μαθηματικά)|αριθμητικές πράξεις]] με την εξής έννοια: αν ''a'', ''b'' και ''c'' a είναι φυσικοί αριθμοί και {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}}, τότε {{nowrap|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} και {{nowrap|''ac'' ≤ ''bc''}}. Μια σημαντική ιδιότητα των φυσικών αριθμών είναι ότι είναι [[καλά οργανωμένοι]]: κάθε μη-κενό σύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο. Η κατάταξη μεταξύ των καλά διατεταγμένων συνόλων εκφράζεται από έναν [[τακτικό αριθμό]]; για τους φυσικούς αριθμούς αυτό εκφράζεται ως''ω''.
 
Ενώ δεν είναι σε γενικές γραμμές δυνατόν να διαιρέσει κανείς ένα φυσικό αριθμό με έναν άλλο και να πάρει ένα φυσικό αριθμό ως αποτέλεσμα, η διαδικασία της ''[[διαίρεση]]ς με το υπόλοιπο'' για κάθε δύο φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'' με {{nowrap|''b'' ≠ 0}} υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ''q'' και ''r'' τέτοιοι ώστε
:''a'' = ''bq'' + ''r'' and ''r'' < ''b''.
 
Ο αριθμός ''q'' ονομάζεται το ''[[ Διαίρεση|πηλίκο]]'' και ''r'' ονομάζεται το ''[[Διαίρεση|υπόλοιπο]]'' της διαίρεσης του ''a'' απο το ''b''.Οι αριθμοί ''q'' και ''r'' προσδιορίζονται μονοσήμαντα από ''a'' και ''b''. Η [[Ευκλείδεια διαίρεση]] είναι το κλειδί για πολλές άλλες ιδιότητες της ([[Διαίρεση|διαιρετότητα]]ς), αλγόριθμους (όπως ο [[αλγόριθμος του Ευκλείδη]]), και ιδέες σε αριθμητικές θεωρίες.
 
==Οι γενικεύσεις==
Δύο γενικεύσεις των φυσικών αριθμών προκύπτουν από τις δύο χρήσεις:
 
*Ένας φυσικός αριθμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου: Γενικότερα ένας [[απόλυτος αριθμός]] είναι ένα μέτρο για το μέγεθος ενός συνόλου επίσης κατάλληλο για άπειρα σύνολα: αυτό αναφέρεται σε μια έννοια του "μεγέθους" τέτοια όπως, εάν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε δύο σύνολα που έχουν [[το ίδιο μέγεθος]]. Το σύνολο των φυσικών αριθμών και σε οποιαδήποτε άλλο αριθμήσιμο άπειρο σύνολο έχει [[πληθάριθμο]] [[Aleph number#Aleph-null|aleph-null]] (<math>\aleph_0</math>).
*[[Γλωσσικοί τακτικοί αριθμοί]] "πρώτοι", "δεύτεροι", "τρίτοι" μπορούν να αποδοθούν στα στοιχεία ενός πλήρως διατεταγμένου πεπερασμένου συνόλου, αλλά και στα στοιχεία από τις καλά οργανωμένες μετρήσιμες άπειρες σειρές, όπως το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε [[τακτικούς αριθμούς]] που περιγράφουν την θέση ενός στοιχείου σε ένα [[καλά οργανωμένο]] σύνολο γενικά. Ένας τακτικός αριθμός χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει το "μέγεθος" ενός καλά οργανωμένου συνόλου, κατά μία έννοια διαφορετική από cardinality: αν υπάρχει ένας [[Συνάρτηση|ισομορφισμός]] ανάμεσα σε δύο καλά ορισμένα σύνολα τότε έχουν τον ίδιο τακτικό αριθμό. Ο πρώτος τακτικός αριθμός που δεν είναι ένας φυσικός αριθμός εκφράζεται ως <math>\omega</math>; Αυτός είναι επίσης ο τακτικός αριθμός του συνόλου των φυσικών αριθμών.
 
Για [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένα]] καλά διατεταγμένα σύνολα, υπάρχει ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ τακτικών και καρδινάλιων αριθμών:ως εκ τούτου μπορούν και οι δύο να εκφράζονται από το ίδιο φυσικό αριθμό, το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Αυτός ο αριθμός μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη θέση ενός στοιχείου σε ένα μεγαλύτερο πεπερασμένο ή άπειρο [[sequence]].
 
Οι [[υπερφυσικοί]] αριθμοί είναι μέρος ενός [[μη καθιερωμένου μοντέλου της αριθμητικής]] λόγω του [[Skolem]].
 
Άλλες γενικεύσεις συζητούνται στο άρθρο σχετικά με [[Αριθμός|τους αριθμούς]]s.
 
==Τυπικοί ορισμοί ==
 
Ιστορικά, ο ακριβής μαθηματικός ορισμός των φυσικών αριθμών αναπτύχθηκε με κάποια δυσκολία. Τα αξιώματα Peano έχουν τις προϋποθέσεις που αναφέρεται ότι οποιοσδήποτε επιτυχής ορισμός πρέπει να πληρεί. Ορισμένες κατασκευές δείχνουν ότι, με δεδομένη τη [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]], [[Αξιώματα Πεάνο|τα μοντέλα]] του Peano αξιώματα πρέπει να υπάρχει.
 
===Αξιώματα Πεάνο===
Γραμμή 86:
*Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός διάδοχος του οποίου είναι το 0.
*Το''S'' είναι [[injective]], δηλαδή οι διακριτοί φυσικοί αριθμοί έχουν διακριτούς διαδόχους: αν {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}}, τότε {{nowrap|''S''(''a'') ≠ ''S''(''b'')}}.
*Εάν ένα ακίνητο κατέχεται από 0 και από τον διάδοχο του κάθε φυσικού αριθμού που διαθέτει, τότε διακατέχεται από όλους τους φυσικούς αριθμούς. (Αυτό το αξίωμα διασφαλίζει ότι η απόδειξη τεχνικής της [[Μαθηματική επαγωγή|μαθηματικής επαγωγής]] είναι έγκυρη.)
 
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το "0" στον παραπάνω ορισμό δεν χρειάζεται να αντιστοιχεί στον αριθμό μηδέν. "0" σημαίνει απλά κάποιο αντικείμενο που όταν συνδυάζεται με την κατάλληλη συνάρτηση διαδοχής, ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. Όλα τα συστήματα που ικανοποιούν αυτά τα αξιώματα είναι στοιχειωδώς ισοδύναμα σε λογική πρώτης τάξης, όμως, υπάρχουν μοντέλα για τα αξιώματα του Peano που είναι μη μετρήσιμα. Αυτά ονομάζονται μη τυποποιημένα πρότυπα για την αριθμητική και είναι εγγυημένα από το Upward Löwenheim-Skolem θεώρημα. Το όνομα "0" χρησιμοποιείται εδώ για το πρώτο στοιχείο (ο όρος "στοιχείο μηδενικής» έχει προταθεί να αφήσει σαν "πρώτο στοιχείο" το "1", "δεύτερο στοιχείο" το "2", κλπ.), το οποίο είναι το μόνο στοιχείο που δεν είναι διάδοχος. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί που αρχίζουν με 1 πληρούν επίσης τα αξιώματα, εάν το σύμβολο 0 ερμηνεύεται ως ο φυσικός αριθμός 1, το σύμβολο ''S''(''0'') σαν τον αριθμό 2, κλπ. Στην πραγματικότητα, στην αρχική σύνθεση του Peano, ο πρώτος φυσικός αριθμός ήταν το 1.
Γραμμή 92:
===Κατασκευές βασισμένες στη θεωρία των συνόλων ===
====Ένα πρότυπο κατασκευής====
Μια τυπική κατασκευή στη [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],μια ειδική περίπτωση της [[von Neumann ordinal]] τακτικής κατασκευής, είναι να καθορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως εξής:
:Ορισμός 0 := {&nbsp;}, το [[κενό σύνολο]],
:και να καθορίσει ''S''(''a'') = ''a'' ∪ {''a''} για κάθε σύνολο ''a''. ''S''(''a'') είναι ο διάδοχος του ''a'', και ''S'' ονομάζεται η λειτουργία διαδόχου.