Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 166:
=== Διαφορικός Λογισμός και Λογισμός των Μεταβολών ===
Αυτό το έργο είναι η επέκταση της ιδέας που περιέχεται σε ένα έγγραφο που είχε αποστείλει στο Βερολίνο το 1772, και ο σκοπός του ήταν να αντικαταστήσει στον διαφορικό λογισμό μία ομάδα θεωρημάτων που βασίζονταν στην ανάπτυξη των αλγεβρικών
▲Διαλέξεις του Λαγκράνζ για το διαφορικό λογισμό στο Ecole Polytechnique αποτελούν τη βάση της πραγματείας της Αναλυτίκης Θεωρίας των λειτουργιών, η οποία δημοσιεύθηκε το 1797.
▲Αυτό το έργο είναι η επέκταση της ιδέας που περιέχεται σε ένα έγγραφο που είχε αποστείλει στο Βερολίνο το 1772, και ο σκοπός του ήταν να αντικαταστήσει στον διαφορικό λογισμό μία ομάδα θεωρημάτων που βασίζονταν στην ανάπτυξη των αλγεβρικών λειτουργιών,με βάση ιδίως την αρχή της γενικότητας της άλγεβρας.Μια παρόμοια μέθοδος που είχε χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν από τον John Landen στην ανάλυση υπολοίπου, που δημοσιεύθηκε στο Λονδίνο το 1758.Ο Λαγκράνζ πίστευε ότι θα μπορούμε να απαλλαγούμε από αυτά τα προβλήματα, που συνδέονται με τη χρήση των απείρων μεγάλων και απείρων μικρών ποσοτήτων, για τις οποίες προέκυψαν πολλές φιλοσοφικές αντιρρήσεις στη θεραπεία του διαφορικού λογισμού.Το βιβλίο χωρίζεται σε τρία μέρη: από αυτά, το πρώτο αναφέρεται στην γενική θεωρία των λειτουργιών, και δίνει μια αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος του Taylor, η ισχύς της οποίας είναι,να τεθεί το ερώτημα, το δεύτερο ασχολείται με εφαρμογές στην γεωμετρία, και το τρίτο με εφαρμογές στη μηχανική.Μια άλλη διατριβή στις ίδιες γραμμές ήταν τα Μαθήματα για τις λειτουργίες υπολογισμού, που εκδόθηκε το 1804,και με δεύτερη έκδοση το 1806. Σε αυτό το βιβλίο ο Λαγκράνζ διατύπωσε τη μέθοδο του Λαγκράνζ πολλαπλασιαστές, στο πλαίσιο των προβλημάτων των μεταβολών λογισμού με ενσωματωμένους περιορισμούς.Αυτά τα έργα αφιερωμένα στον διαφορικό λογισμό και τον λογισμό των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ως το σημείο εκκίνησης για τις έρευνες του Cauchy, Jacobi, και Weierstrass.
=== Απειροελάχιστοι ===
Σε μεταγενέστερη περίοδο ο Λαγκράνζ επανήλθε στη χρήση των απειροελάχιστων σε προτίμηση για να εισάγει το διαφορικό λογισμό στη μελέτη των αλγεβρικών φορμών,και στον πρόλογο στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου Μηχανική Αναλυτική, η οποία εκδόθηκε το 1811, ο ίδιος δικαιολογεί την απασχόληση των απειροελάχιστων , και καταλήγει λέγοντας ότι:
: ''Όταν έχουμε κατανοήσει το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου, και έχουμε επαληθεύσει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της, είτε από τη γεωμετρική μέθοδο της πρωταρχικής και των τελικών δεικτών, ή με την αναλυτική μέθοδο που προέρχονται από συναρτήσεις, που μπορεί να χρησιμοποιήσουμε απείρως μικρές ποσότητες σαν ένα σίγουρο και πολύτιμο μέσο συντόμευσης και απλούστευσης των αποδείξεων μας.''
=== Συνέχεια κλασμάτων ===
Η Ανάλυση του "Equations Des Numεriques", που δημοσιεύθηκε το 1798, ήταν επίσης ο καρπός από τις διαλέξεις του
▲Η Ανάλυση του Equations Des Numεriques, που δημοσιεύθηκε το 1798, ήταν επίσης ο καρπός από τις διαλέξεις του στο Ecole Polytechnique. Εκεί δίνει τη μέθοδο της προσέγγισης στις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης με τη συνέχεια των κλασμάτων, και φέρνοντας στο προσκήνιο πολλά άλλα θεωρήματα. Σε μια σημείωση στο τέλος δείχνει πως το μικρό θεώρημα του Fermat ότι
:''a''<sup>''p''−1</sup> − 1 ≡ 0 (mod ''p'')
όπου p είναι ένας πρώτος και α είναι πρώτος με το p, μπορεί να εφαρμοστεί για να δώσει την πλήρη αλγεβρική λύση οποιασδήποτε διωνυμικής εξίσωσης.Επίσης εδώ εξηγεί πώς η εξίσωση των οποίων οι ρίζες είναι τα τετράγωνα των διαφορών των ριζών της αρχικής εξίσωσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν έτσι ώστε να δώσουν σημαντικές πληροφορίες ως προς τη θέση και τη φύση αυτών των ριζών.
Η θεωρία των πλανητικών κινήσεων είχαν αποτελέσει το αντικείμενο του σε μερικά από τα πιο αξιόλογα έγγραφα του Λαγκράνζ στο
Ο
== Βραβεία και διακρίσεις ==
| |||