Ομάδα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 427:
για κάθε σταθερά ''c''. Ομάδες πινάκων πάνω από αυτούς τους τομείς εμπίπτουν σε αυτό το καθεστώς, όπως και οι αβελιανοί δακτύλιοι και αβελιανές αλγεβρικές ομάδες, οι οποίες είναι βασικές για θεωρία αριθμών. Galois ομάδες του άπειρου επέκταση του πεδίου, όπως η απόλυτη ομάδα Galois μπορεί επίσης να εξοπλιστεί με μια τοπολογία, η λεγόμενη τοπολογία Κρουλ (Krull), η οποία με τη σειρά της είναι κεντρικής σημασίας για τη γενίκευση της παραπάνω σκιαγραφούμενης σύνδεσης των πεδίων και των ομάδων σε άπειρες επεκτάσεις τομέων. Μια προηγμένη γενίκευση αυτής της ιδέας, προσαρμοσμένη στις ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, είναι η βασική ομάδα Etale.
===Ομάδες
Οι ομάδες Lie (προς τιμήν του Sophus Lie) είναι ομάδες οι οποίες έχουν επίσης μια πολλαπλή δομή, δηλαδή οι χώροι που αναζητούν τοπικά σαν ένα Ευκλείδειο χώρο της κατάλληλης διάστασης. Και πάλι, η πρόσθετη δομή, εδώ η δομή πολλαπλή, πρέπει να είναι συμβατή, δηλαδή οι συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε πολλαπλασιασμό και η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει να είναι λεία.
Ένα πρότυπο παράδειγμα είναι η γενική γραμμική ομάδα που εισάγεται παραπάνω: είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του χώρου όλων των Ν-με-Ν μήτρες, επειδή αυτή δίνεται από την ανισότητα
Γραμμή 434:
όπου το ''A'' συμβολίζει έναν πίνακα ''n''x''n''.
Οι ομάδες Lie είναι θεμελιώδους σημασίας στη σύγχρονη φυσική: συνδέσεις του θεωρήματος Noether είναι συνεχείς συμμετρίες σε διατηρούμενες ποσότητες, περιστροφή, καθώς και μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο είναι βασικές συμμετρίες των νόμων της μηχανικής.. Μπορούν, για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή απλών μοντέλων-επιβολή, ας πούμε, αξονική συμμετρία σε μία κατάσταση τυπικά θα οδηγήσει σε σημαντική απλούστευση στις εξισώσεις πρέπει κανείς να λύσει για να παρέχει μια φυσική περιγραφή. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι μετασχηματισμοί Lorentz, οι οποίοι αφορούν τις μετρήσεις του χρόνου και της ταχύτητας των δύο παρατηρητές σε κίνηση σε σχέση με το άλλο. Μπορούν να προκύψουν με έναν αμιγώς φτωχό θεωρητικό τρόπο ομάδας, εκφράζοντας τους μετασχηματισμούς ως περιστροφική συμμετρία του Minkowski χώρου. Ο τελευταίος εξυπηρετεί-στην απουσία σημαντικής βαρύτητας-ως μοντέλο του χωροχρόνου στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Η πλήρης ομάδα συμμετρίας χώρου Minkowski, δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των μεταφράσεων, που είναι γνωστό ως ομάδα Poincaré. Από τα παραπάνω, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο στην ειδική θεωρία της σχετικότητας και, κατά συνέπεια, για την κβαντική θεωρία πεδίου. συμμετρίες που ποικίλουν ανάλογα με την τοποθεσία είναι κεντρικής σημασίας για τη σύγχρονη περιγραφή των φυσικών αλληλεπιδράσεων με τη βοήθεια της θεωρίας βαθμίδας.
==Γενικεύσεις==
| |||